2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§8.4 直线、平面垂直的判定与性质（试题部分） .docx

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1、8.4直线、平面垂直的判定与性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、平面垂直的判定与性质理解空间直线、平面垂直的定义;理解空间中直线、平面垂直的有关性质和判定,并会证明;能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2018课标全国,18,12分面面垂直的判定三棱锥的体积2018课标全国,19,12分线面垂直的判定与性质点到平面的距离2017课标全国,18,12分面面垂直的判定与性质空间几何体的体积与侧面积2019课标全国,16,5分线面垂直的判定与性质点到平面的距离2019课标全国,17,12分线面垂直的判定与性质四棱锥的体积分析解读

2、从近几年的高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见的几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中的直线、平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化,属于中档题.破考点 练考向【考点集训】考点直线、平面垂直的判定与性质1.如图,在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是()答案D答案D3.(2020届甘肃西北师大附中9月月考,6)如

3、图,在四面体PABC中,AB=AC,PB=PC,D、E、F分别是棱AB、BC、CA的中点,则下列结论中不一定成立的是()A.BC平面PDF B.DF平面PAEC.平面PDF平面PAE D.平面PDF平面ABC答案D4.(2020届吉林梅河口五中9月月考,18)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,ABC=120.(1)证明:ADBA1;(2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A1D=AB=2,求点A到平面A1BD的距离.答案(1)证明:取AD的中点O,连接OB,OA1.AA1=A1D,ADOA1,又ABC=120,四边形ABCD是平行四边形,BC=AB,A

4、BD是等边三角形,ADOB,又OA1OB=O,AD平面A1OB,A1B平面A1OB,ADBA1.(6分)(2)平面ADD1A1平面ABCD,平面ADD1A1平面ABCD=AD,A1OAD,A1O平面ABCD.由A1D=AB=2及(1)知A1AD,ABD都是边长为2的等边三角形,A1O=BO=3,A1B=6.ABD的面积为3422=3,A1BD的面积为12622-622=152.设点A到平面A1BD的距离为d,则由VA-A1BD=VA1-ABD得13152d=1333,d=2155.(12分)炼技法 提能力【方法集训】方法1证明线线垂直的方法1.(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-

5、A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案C2.(2019辽宁抚顺一模,10)在三棱锥P-ABC中,已知PA=AB=AC,BAC=PAC,点D,E分别为棱BC,PC的中点,则下列结论正确的是()A.直线DE直线ADB.直线DE直线PAC.直线DE直线ABD.直线DE直线AC答案D3.(2020届赣中南五校第一次联考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD平面PAD,ADBC,AB=BC=AP=12AD,APD=BAD=90.(1)证明:PDPB;(2)设点M在棱PC上,且PM=13PC,若MBC的面积为273,求四棱锥

6、P-ABCD的体积.答案(1)证明:BAD=90,BAAD.平面ABCD平面PAD,交线为AD,BA平面PAD,从而BAPD.APD=90,APPD.BAAP=A,PD平面PAB.PB平面PAB,PDPB.(2)设AD=2m(m0),则AB=BC=AP=m,PD=3m,由(1)知BA平面PAD,BAAP,BP=BA2+AP2=2m,取AD的中点F,连接CF,PF,则CFBA,CF=m,BA平面PAD,CF平面PAD,CFPF,PF=12AD=m,PC=CF2+PF2=2m.PM=13PC,CM=23PC,SMBC=23SPBC=2312BCPB2-12BC2=76m2,由76m2=273,解得

7、m=2(m=-2舍去),在PAD中,P到AD的距离h=APPDAD=3m2=3,P到平面ABCD的距离d=h=3,VP-ABCD=13S四边形ABCDd=1312(2+4)23=23.方法2证明线面垂直的方法1.(2018课标全国,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.答案(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=1

8、2AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.2.(2020届河南、河北重点中学摸底考试,19)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是梯形,ABCD,ADAB,且AD=CD=2AB=4,PA=PD=PC=3.(1)若O为AC的中点,证明:PO平面ABCD;(2)求点C到平面PAB的距离.答

9、案(1)证明:因为ABCD,ADAB,所以ADCD,因为AD=CD=4,所以AC=42.(1分)又PA=PC=3,O为AC的中点,所以POAC,PO=32-(22)2=1.(2分)连接OD,在RtACD中,O为AC的中点,所以OD=12AC=22.(3分)因为OD2+PO2=(22)2+12=9=PD2,所以POOD.(4分)又ODAC=O,所以PO平面ABCD.(5分)(2)设点C到平面PAB的距离为h,易知SABC=1224=4.(6分)连接OB,则OB=12AD=2,PB=PO2+OB2=5.(7分)在PAB中,PA=3,AB=2,PB=5,所以cosPAB=9+4-5232=23,(9

10、分)所以SPAB=12321-49=5.(10分)由VC-PAB=VP-ABC,得135h=1341,解得h=455.故点C到平面PAB的距离为455.(12分)方法3证明面面垂直的方法1.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,四边形ABCD为正方形,O为

11、AC与BD的交点,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.2.(2019东北师大附中、重庆一中等校联合模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为直角梯形,ADBC,

12、ADC=90,平面PAD平面ABCD,Q,M分别为AD,PC的中点,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(1)求证:平面PBC平面PQB;(2)求三棱锥P-QMB的体积.答案(1)证明:Q为AD的中点,BC=12AD,BC=QD,又ADBC,四边形BCDQ为平行四边形.ADC=90,BCBQ.PA=PD,AQ=QD,PQAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面ABCD,PQBC,又PQBQ=Q,BC平面PQB.BC平面PBC,平面PBC平面PQB.(2)在RtPQB中,PQ=PA2-AQ2=3,BQ=CD=3,SPQB=12PQQB=32.由(1)知BC

13、平面PQB,连接QC,则V三棱锥C-PQB=13SPQBBC=13321=12.又M是线段PC的中点,V三棱锥P-QMB=V三棱锥M-PQB=12V三棱锥C-PQB=1212=14,故三棱锥P-QMB的体积为14.方法4翻折问题的处理方法(2020届河北枣强中学9月月考,18)已知菱形ABCD的边长为6,BAD=60,ACBD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起得三棱锥B-ACD,如图,点M是棱BC的中点,DM=32.(1)求证:平面ABC平面ACD;(2)求点M到平面ABD的距离.答案(1)证明:四边形ABCD是菱形,且DAB=60,边长为6,OD=OB=12BD=3,ODAC,OBAC.(

14、2分)连接OM,M为BC的中点,OM=12BC=3.又DM=32,DM2=OD2+OM2,ODOM.又ODAC,OMAC=O,AC,OM平面ABC,OD平面ABC.(4分)OD平面ACD,平面ABC平面ACD.(6分)(2)由(1)知OD平面ABC,OD为三棱锥D-ABM的高,ODOB,SABM=12SABC=1212ACOB=14633=932,BD=32,VD-ABM=13SABMOD=139323=932.(9分)设点M到平面ABD的距离为h,SABD=123262-3222=972,且VM-ABD=VD-ABM,h=3VD-ABMSABD=3217.(12分)【五年高考】A组统一命题课

15、标卷题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2019课标全国,16,5分)已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.答案22.(2019课标全国,17,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.答案本题考查了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积,考查了空间想象能力,主要体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.(1)证明:由已知得B1C1平面ABB1A1,B

16、E平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.3.(2018课标全国,19,12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.答案本题考查平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面平行的判

17、定与性质.(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)存在.当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.4.(2018课标全国,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折

18、起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.答案(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此VQ-ABP=13QESABP=13112322sin 45=1.5.(2017课标全国,18,12分)如

19、图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.答案(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解法一:在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3

20、=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.解法二:由题设条件和(1)可知四棱锥P-ABCD是一个正方体的一部分,底面ABCD是正方体的一个对角面,P是正方体的一个顶点(如图),设正方体的棱长为a,则VP-ABCD=132aa22a=13a3,由题设得13a3=83,解得a=2,从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22,故四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.6.(2017课标全

21、国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.答案(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO=12AC.

22、又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.B组自主命题省(区、市)卷题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2019北京,13,5分)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.答案若lm,l,则m(答案不唯一)2.(2019天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,

23、平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.答案本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.以线面角的计算为依托考查数学运算与直观想象的核心素养.(1)证明:连接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)证明:取棱PC的中点N,连接DN.依题意,得DNPC.又因为平面PAC平面PCD,平面PAC

24、平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3.又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.3.(2019北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得

25、CF平面PAE?说明理由.答案本题考查了直线与平面平行、垂直的判定和性质,通过线线、线面、面面平行、垂直的相互转化考查了学生的空间想象能力和转化的思想方法,体现了直观想象、逻辑推理的核心素养.(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABD.又因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)证明:因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC=60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F,使得CF平面PAE.取F为PB的中点,取G为PA的中点,连接CF,FG,EG.则

26、FGAB,且FG=12AB.因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CEAB,且CE=12AB.所以FGCE,且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.4.(2019浙江,19,15分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EFBC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.答案本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.本题考查了

27、逻辑推理和直观想象的核心素养.(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC,又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,A1E平面ABC,则A1EBC.又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1BC所

28、成的角(或其补角),不妨设AC=4,则在RtA1EG中,A1E=23,EG=3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=A1G2=152,所以cosEOG=EO2+OG2-EG22EOOG=35.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35.5.(2018北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD.所以PEBC.(2)

29、因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.(3)取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FGBC,FG=12BC.因为ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DEBC,DE=12BC.所以DEFG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.C组教师专用题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2010全国,9,5分)正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成

30、角的余弦值为()A.23 B.33 C.23 D.63答案D2.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平

31、面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.3.(2017北京,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.答案(1)证明:因为PAAB,PABC,ABBC=B,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面

32、BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,ABBC,所以DE=12PA=1,BD=DC=2.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=16BDDCDE=13.4.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平

33、面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.5.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DC

34、AC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.答案(1)证明:因为PC平面ABCD,DC平面ABCD,所以PCDC.(2分)又因为DCAC,ACPC=C,所以DC平面PAC.(4分)(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.(6分)因为PC平面ABCD,AB平面ABCD,所以PCAB.(7分)又ACPC=C,所以AB平面PAC.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:(10分)取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E

35、为AB的中点,所以EFPA.(13分)又因为PA平面CEF,EF平面CEF,所以PA平面CEF.(14分)6.(2016课标全国,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.答案(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.(2分)又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,P

36、A=PB,从而G是AB的中点.(4分)(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,又PAPC=P,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等

37、腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.(12分)7.(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.答案(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,又AB平面ABC,从而PEAB

38、.因为ABC=2,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)设BC=x,则在直角ABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,从而SABC=12ABBC=12x36-x2.由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFESABC=232=49,即SAFE=49SABC.由AD=12AE,SAFD=12SAFE=1249SABC=29SABC=19x36-x2,从而四边形DFBC的面积为SDFBC=SABC-SAFD=12x36-x2-19x36-x2=718x36-x2.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-D

39、FBC的高.在直角PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.体积VP-DFBC=13SDFBCPE=13718x36-x223=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=33,所以,BC=3或BC=33.8.(2015湖北,20,13分)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.(1)证明:DE平面PBC.试判断四面体EBCD是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出

40、结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马P-ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求V1V2的值.答案(1)因为PD底面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形,得BCCD,而PDCD=D,所以BC平面PCD.DE平面PCD,所以BCDE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBC=C,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形.即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是BCD,BCE,DEC,DEB.(2)由已知,PD是阳马P-ABCD的高,所以V1=13SABCDPD=13BCC

41、DPD;由(1)知,DE是鳖臑D-BCE的高,BCCE,所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在RtPDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=22CD,于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.9.(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.答案(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBE.又BDBE=B,故A

42、C平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(5分)(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2.(9分)从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.(12分)10.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,

43、AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.答案(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC.即在题图2中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又BCDE,所以四边形BCDE为平行四边形,所以CDBE,所以CD平面A1OC.(2)因为平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,A1OBE,A1O平面A1BE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由