2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练:§3.2 导数的应用(试题部分) .docx
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1、3.2导数的应用探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点利用导数研究函数的单调性了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2017课标全国,21,12分导数与函数的单调性不等式恒成立求参数范围2016课标全国,12,5分利用函数单调性求参数范围不等式恒成立求参数范围2019课标全国,20,12分判断单调性及求最值利用导数研究函数的极值与最值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)
2、2018课标全国,21,12分导数与函数单调性、极值、最值不等式的证明2017课标全国,21,12分利用最值证明不等式函数的单调性2015课标,21,12分利用导数求函数最值函数的单调性2019课标全国,21,12分利用导数研究函数的极值点函数的单调性导数的综合应用利用导数解决实际问题、函数的零点(方程的根)的问题、不等式问题以及恒成立(存在性)问题2018课标全国,21,12分函数的零点导数与函数的单调性2019课标全国,20,12分零点个数的证明导数与函数的单调性2015课标,21,12分函数的零点,不等式的证明导数与函数的单调性分析解读函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高中阶段研究的
3、重点.一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值,以及实际问题中的优化问题等,这是新课标的一个新要求.二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的取值(范围),常以解答题的形式出现.本节内容在高考中分值为17分左右,属难度较大题.破考点 练考向【考点集训】考点一利用导数研究函数的单调性1.(2018河南、河北重点高中第二次联考,6)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上递减,则a的取值范围是() A.(e+1,+)B.e+1,+) C.(e-1,+)D.e-1,+)答案B2.(2018河南信阳一模,15)已知定义在R上的可导函数f(x)满足
4、f (x)2-2m,则实数m的取值范围是.答案(1,+)3.(2020届福建龙海二中期初考试,18)设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).(1)求a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.答案(1)易得f (x)=3x2-6ax+3b.因为f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f (1)=-12,即1-3a+3b=-11,3-6a+3b=-12,解得a=1,b=-3.(2)由a=1,b=-3得f (x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).令f (x)0,解得x
5、3,令f (x)0,解得-1x0),f (x)=ex+2x-1x,令f (x)=g(x),则g(x)=ex+2+1x2,易知g(x)0,所以f (x)在(0,+)上单调递增.注意到f 14=e14+12-40,所以由零点存在性定理可知存在x014,12,使得f (x0)=0,即ex0+2x0-1x0=0,即ex0=1x0-2x0.当0xx0时,f (x)x0时,f (x)0,f(x)单调递增.于是f(x)f(x0)=ex0+x02-ln x0=1x0-2x0+x02-ln x0=(x0-1)2+1x0-ln x0-1,易知f(x0)=(x0-1)2+1x0-ln x0-1在14,12上单调递减
6、,所以f(x)f(x0)f12=54+ln 2.3.(2018湖北荆州一模,20)已知函数f(x)=-x2+ax-ln x(aR).(1)若函数f(x)是单调递减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在区间(0,3)上既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.答案(1)f(x)的定义域为(0,+),f (x)=-2x+a-1x=-2x2+ax-1x(x0).函数f(x)是单调递减函数,f (x)0对x(0,+)恒成立,-2x2+ax-10对x(0,+)恒成立,即a2x+1x对x(0,+)恒成立.2x+1x22x1x=22当且仅当2x=1x,即x=22时取“=”,a22.(2)函数f(x
7、)在(0,3)上既有极大值又有极小值,f (x)=-2x2+ax-1x=0在(0,3)上有两个相异实根,即2x2-ax+1=0在(0,3)上有两个相异实根,令g(x)=2x2-ax+1,则0,0a40,g(3)0,得a22,0a0,a193,22a0,解得x0,令f (x)0,则函数f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,又当x0,当x1时,f(x)0,画出函数f(x)的大致图象如图,由图知要使函数f(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,则0a1时,x-1x0,ln x0,可得f(x)0,则当=1-4a20,即a12时, f (x)0恒成立
8、,可得f(x)在1,+)上单调递增,而f(1)=0,所以当x1时,都有f(x)0,满足题意;当0,即0a12时, f (x)=0有两个不等实根,不妨设为x1,x2,且x10,所以有0x11x2,当1xx2时, f (x)0,故f(x)在(1,x2)上单调递减,而f(1)=0,所以当x(1,x2)时, f(x)0.当a=0时,h(x)在定义域(0,+)上恒大于0,h(x)没有零点.当a0在(0,+)上恒成立,所以h(x)在定义域(0,+)上为增函数,因为h(1)=120,h(e1a)=12e2a-10时,h(x)=x-ax=x2-ax=(x+a)(x-a)x,当x(0,a)时,h(x)0,h(x
9、)在(a,+)上为增函数,所以当x=a时,h(x)取极小值,也是最小值,h(a)=12a-aln a=12a(1-ln a).当a(0,e)时,h(a)=12a(1-ln a)0,h(x)没有零点;当a=e时,h(a)=12a(1-ln a)=0,h(x)有1个零点x=a;当a(e,+)时,h(a)=12a(1-ln a)0且h(a)1时,x-ln x0,所以xln x,则h(x)=12x2-aln x12x2-ax.因为2aa1,所以h(2a)12(2a)2-2a2=0,所以h(x)=0在区间(a,+)内有一解,所以方程h(x)=0在区间(0,+)内有两解.综上所述,当a0,e)时,y=f(
10、x)-g(x)+12没有零点,当ae时,y=f(x)-g(x)+12有2个零点.炼技法 提能力【方法集训】方法1利用导数求函数的单调区间1.(2018河南信阳二模,9)已知定义在R上的函数f(x)=13ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是() A.(-,-1)(1,+) B.-1,0)(0,1C.(-1,1) D.(-1,0)(0,1)答案D2.(2019山东烟台模拟,10)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+da23b在R上是单调递增函数,则c2b-3a的最小值是()A.1 B.2C.3 D.4答案A3.(2019陕西渭南模拟,21)已知函数f(x)=ln x
11、-ax2-bx.(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1x2)两点,AB的中点为C(x0,0),求证:f (x0)0).f(x)在(0,+)上是增函数,f (x)=1x+2x-b0在x(0,+)上恒成立,即b1x+2x在x(0,+)上恒成立,只需b1x+2xmin.x0,1x+2x22,当且仅当x=22时,取“=”,b22,b的取值范围为(-,22.(2)证明:由题意得f(x1)=ln x1-ax12-bx1=0,f(x2)=ln x2-ax22-bx2=0,ln x1=ax12+bx1,ln x2=
12、ax22+bx2,两式相减,得lnx1x2=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2),lnx1x2=(x1-x2)a(x1+x2)+b.由f (x)=1x-2ax-b及2x0=x1+x2,得f (x0)=1x0-2ax0-b=2x1+x2-a(x1+x2)+b=2x1+x2-1x1-x2lnx1x2=1x1-x22x1x2-1x1x2+1-lnx1x2,令t=x1x2(0t1),(t)=2(t-1)t+1-ln t(0t1),则(t)=-(t-1)2t(t+1)2(1)=0.又x1x2,1x1-x20.f (x0)f(a)f(c);函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值
13、;函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值;函数f(x)的最小值为f(d).A. B.C. D.答案A2.(2019福建三明模拟,21)已知函数f(x)=xln x-a2x2-x(aR).(1)若曲线y=f(x)在x=e处的切线的斜率为-1,求切线的方程;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围,并证明:x1x2x1+x2.答案(1)f(x)=xln x-a2x2-x(x0),f (x)=ln x-ax(x0).由f (e)=1-ae=-1,解得a=2e,f(e)=-e.故切点坐标为(e,-e),曲线y=f(x)在x=e处的切线方程为x+y=0.(2) f (x)=
14、ln x-ax(x0),令f (x)=0,得a=lnxx.令g(x)=lnxx(x0),则g(x)=1-lnxx2,当0x1时,g(x)1时,g(x)0.令g(x)=0,得x=e.当0x0;当xe时,g(x)0.故g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,g(x)max=g(e)=1e.当a0时, f(x)有一个极值点;当0a1e时, f(x)有两个极值点;当a1e时, f(x)没有极值点.综上,若f(x)有两个极值点,则a的取值范围是0,1e.证明:x1,x2是f(x)的两个极值点,ln x1-ax1=0,ln x2-ax2=0,即ln x1=ax1,ln x2=ax2,不妨设
15、0x1x2,则1x1ex2e,ln(x1+x2)x1+x2ln x2x2,即ln(x1+x2)x1+x2a,由可得ln x1+ln x2=a(x1+x2),即ln(x1x2)x1+x2=a,由得ln(x1+x2)x1+x2x1+x2.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一利用导数研究函数的单调性1.(2016课标全国,12,5分)若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是() A.-1,1 B.-1,13 C.-13,13D.-1,-13答案C2.(2015课标,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)f(2x-
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- 2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练:§3.2 导数的应用试题部分 2021 届课标版 高考 文科 数学 一轮 复习 精练 3.2 导数 应用 试题 部分
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