2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11.5　变量间的相关关系、统计案例（试题部分） .docx

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1、11.5变量间的相关关系、统计案例基础篇固本夯基【基础集训】考点一变量间的相关关系1.已知x与y之间的一组数据如下表:x1234y0.53.24.87.5若y关于x的线性回归方程为y=bx+a,则a的值为()A.1.25B.-1.25C.1.65D.-1.65答案D2.已知某产品的销售额y(万元)与广告费用x(万元)之间的关系如下表:x(单位:万元)01234y(单位:万元)1015203035若求得其线性回归方程为y=6.5x+a,则预计当广告费用为6万元时的销售额为()A.42万元B.45万元C.48万元D.51万元答案C3.下列说法错误的是()A.回归直线过样本点的中心(x,y)B.两个

2、随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近1C.在回归直线方程y=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量y平均增加0.2个单位D.对于分类变量X与Y,随机变量K2的观测值k越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越小答案D4.已知下表所示数据的回归直线方程为y=4x+242,则实数a=.x23456y251254257a266答案2625.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表:售出水量x(单位:箱)76656收益y(单位:元)1

3、65142148125150 (1)若x与y线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元;(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生考入年级前200名,获一等奖学金500元;考入年级201500名,获二等奖学金300元;考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为25,获二等奖学金的概率均为13,不获得奖学金的概率均为415.在学生甲获得奖学金的条件下,求他获得一等奖学金的概率;已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X(元)的分布列及数学期望.附:b=i=1

4、n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx.解析(1)x=7+6+6+5+65=6,y=165+142+148+125+1505=146,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=19+0+0+21+01+0+0+1+0=20,则a=y-bx=146-206=26,y=20x+26,当x=8时,y=208+26=186,故某天售出8箱水时,预计收益是186元.(2)设事件A为“学生甲获得奖学金”,事件B为“学生甲获得一等奖学金”,则P(B|A)=P(AB)P(A)=251115=611,即在学生甲获得奖学金的条件下,他获得一等奖学金的概率为611.X的可能

5、取值(单位:元)为0,300,500,600,800,1 000,P(X=0)=415415=16225,P(X=300)=C2113415=845,P(X=500)=C2125415=1675,P(X=600)=132=19,P(X=800)=C211325=415,P(X=1 000)=252=425.X的分布列为X03005006008001 000P16225845167519415425E(X)=016225+300845+5001675+60019+800415+1 000425=600(元).考点二独立性检验6.随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意

6、愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.非一线城市一线城市总计愿生452065不愿生132235总计5842100附表:P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得,K2=100(4522-2013)2584235659.616,参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有9

7、9%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案C7.假设有两个分类变量X和Y的22列联表:y1y2总计x1a10a+10x2c30c+30总计6040100对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=30答案A8.为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后从事的工作与教育是否有关的情况,随机调查了该校80位性别不都相同的2019年师范类毕业大学生,得到具体数据如下表:与教育有关与教育无关合计男301040女35540合计651580 (1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“师范

8、类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”?(2)求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率;(3)以(2)中的频率作为概率,从该校近几年毕业的2 000名师范类大学生中随机选取4名,记这4名毕业生从事与教育有关工作的人数为X,求X的数学期望E(X).参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d).附表:P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解析(1)根据题意得K2=80(305-3510)2404065152.05

9、1 3,因为K23.841.所以有95%的把握说明是否愿意去西部支教与性别有关.(3)由题意,抽取的10人中有8人愿意去西部支教,2人不愿意去西部支教,于是=0,1,2.P(=0)=C20C83C103=715,P(=1)=C21C82C103=715,P(=2)=C22C81C103=115,的分布列为012P715715115E=0715+1715+2115=35.8.(2020届四川邻水实验学校第一次月考,20)通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌,得到如下22列联表:男生女生总计挑同桌304070不挑同桌201030总计5050100 (1)从这50名男生中按是否挑同

10、桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,现从这5人中随机选取3人做深度采访,求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率;(2)根据以上22列联表,判断是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关.下面的临界值表供参考:P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d解析(1)根据分层抽样方法可知抽取容量为5的样本中,挑同桌的有3人,记为A、B、C,不挑同桌的有2人,记为d、e;从这5人中随机选

11、取3人,基本事件为ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,Ade,BCd,BCe,Bde,Cde,共10种,这3名学生中至少有2名要挑同桌的基本事件为ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,BCd,BCe,共7种,故所求的概率P=710.(2)根据22列联表,计算K2=100(3010-2040)2703050504.761 93.841,对照临界值表知,有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关.思路分析(1)根据分层抽样原理求出样本中挑同桌的有3人,不挑同桌的有2人,利用列举法求出基本事件数,从而求概率;(2)根据22列联表计算K2,对照临界值表得出结论.【五年高考】考点一

12、变量间的相关关系1.(2017山东,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知i=110xi=225,i=110yi=1 600,b=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.170答案C2.(2015福建,4,5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上

13、表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=y-bx.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元B.11.8万元 C.12.0万元D.12.2万元答案B3.(2018课标,18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分

14、别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解析(1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2

15、009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.方法总结利用直线方程进行预测

16、是对总体的估计,此估计值不是准确值;利用回归方程进行预测(把自变量代入回归直线方程)是对因变量的估计,此时,需要注意自变量的取值范围.4.(2015课标,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=

17、18wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v- u.解析(1)由散

18、点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.由于d=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c=y-d w=563-686.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+68x.(6分)(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值z=576.60.2-49=66.32.(9分)(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+6

19、8x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)思路分析(1)根据散点图中点的分布趋势进行判断.(2)先设中间量w=x,建立y关于w的线性回归方程,进而得y关于x的回归方程.(3)(i)将x=49代入回归方程求出y的预报值,进而得z的预报值,(ii)求出z关于x的回归方程,进而利用函数方法求最大值.考点二独立性检验5.(2018课标,18,12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随

20、机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高,并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解析(1)第二种生

21、产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图

22、可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于 K2=40(1515-55)220202020=106.6

23、35,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.思路分析(1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎,作出判断;(2)通过茎叶图确定数据的中位数,按要求完成22列联表;(3)根据(2)中的列联表,将有关数据代入公式计算得K2的值,查表作出统计推断.解后反思独立性检验问题的常见类型及解题策略(1)已知分类变量的数据,判断两个分类变量的相关性,可依据数据及公式计算K2,然后作出判断;(2)独立性检验与概率统计的综合问题,关键是根据独立性检验的一般步骤,作出判断,再根据概率统计的相关知识求解.6.(2017课标,18,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了

24、100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828,K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).解析(1)记B表示事件“旧养

25、殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直

26、方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.340.06852.35(kg).解后反思解独立性检验问题的关注点:(1)两个明确:明确两类主体;明确研究的两个问题.(2)两个关键:准确画出22列联表;准确理解K2.教师专用题组1.(2014湖北,4,5分)根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为y=bx+a,则()A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0

27、.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.59+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.易错警示解题时容易出现计算错误,计算时一定要仔细.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共15分)1.(2019湖南长沙雅礼中学月考(一),5)已知回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是()A.y=1.23x+4B.y=1.23x+0.8C.y=1.23x+0.08D.y=1.23x-0.08答案C2.(2018辽宁丹东期末教学质量监测,7)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的

28、关系,运用22列联表进行独立性检验,经计算K2=6.705,则所得到的统计学结论是:有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.()附:P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A.99.9%B.99%C.1%D.0.1%答案C3.(2020届辽宁阜新高级中学10月月考,3)某饮料店某5天的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的数据如下表:x-2-1012y54221若x与y之间是线性相关关系,且y关于x的线性回归方程是y=-x+m,则实数m的值是()A.3B.2.8C.2.6D.2.4答案B二、多

29、项选择题(每题5分,共10分)4.(改编题)下列说法中正确的是()A.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等B.若A,B为互斥事件,则A的对立事件与B的对立事件一定互斥C.某个班级内有40名学生,抽10名学生去参加某项活动,则每4人中必有1人被抽中D.若回归直线y=bx+a的斜率b0,则变量x与y正相关答案AD5.(改编题)如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图(注:2019年3月与2018年3月相比较称为同比,2019年2月与2019年1月相比较称为环比),根据该折线图,下列结论正确的是()A.2018年3月至2019年3月全国

30、居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最大答案ABD三、填空题(共5分)6.(2018湖南师大附中月考(三),14)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参照附表,在犯错误的概率不超过(填百分比)的前提下,可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a

31、+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.附表:P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案5%四、解答题(共70分)7.(2020届山东夏季高考模拟,20)下面给出了根据我国2012年2018年水果人均占有量y(单位:kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年2018年的年份代码x分别为17).(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系;(2)根据散点图相应数据计算得i=17yi=1 074,i=17xiyi=4 517,求y关于x的线性回归方程;(精确到0.01)(3)根据线性回归方程的残差图,分析线性回归方程的拟合效果.附:回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(