2022年空间解析几何与向量代数教案 .pdf

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1、空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、掌握平面方程和直线方程及其求法。5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6、点到直线以及点到平面的距离。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

2、9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

3、- -第 1 页，共 20 页 7 1 向量及其线性运算一、向量概念向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做向量在数学上 用一条有方向的线段 (称为有向线段 )来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如 a、r、v、F 或a、r、v、F自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量简称向量 因此

4、如果向量 a和 b的大小相等 且方向相同 则说向量 a和 b是相等的 记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合向量的模 向量的大小叫做向量的模向量 a、a、AB的模分别记为 |a|、|a、|AB单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量零向量 模等于 0的向量叫做零向量记作 0或0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量 a与 b平行 记作 a / b零向量认为是与任何向量都平行当两个平行向量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线类似还有共面的概念设有 k(k 3)个向量

5、当把它们的起点放在同一点时如果 k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面二、向量的线性运算1向量的加法向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从 a 的起点到 b的终点的向量 c称为向量 a 与 b的和 记作 a+b即 c a+b . 三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则平行四边形法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页当向量 a 与 b不平行时 平移向量使 a 与 b的起点重合 以 a、 b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量

6、等于向量a 与 b的和 a b向量的加法的运算规律(1)交换律 a b b a(2)结合律 (a b) c a (b c)由于向量的加法符合交换律与结合律故 n 个向量 a1a2an(n 3)相加可写成a1a2an并按向量相加的三角形法则可得 n 个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一向量的起点相继作向量a1a2an再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向量这个向量即为所求的和负向量设 a 为一向量 与 a的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为 a向量的减法我们规定两个向量b 与 a 的差为b a b ( a)即把向量a 加到向量 b 上 便得 b 与 a 的差 b

7、a特别地 当 b a 时 有a a a ( a) 0显然 任给向量AB及点 O 有AOOBOBOAAB因此 若把向量 a 与 b移到同一起点 O 则从 a 的终点 A 向 b的终点 B 所引向量AB便是向量 b与 a的差 b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有bababababacABCABCbaDc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页|a b| |a| |b|及|a b| |a| |b|其中等号在 b与 a 同向或反向时成立2向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量 a 与实数的乘积记作a 规定 a 是一

8、个向量 它的模 | a| | |a| 它的方向当0时与 a 相同 当 0 时与 a 相反当0 时 | a| 0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的特别地 当1 时 有1a a ( 1)aa运算规律(1)结合律 ( a)( a) ()a；(2)分配律 ()aaa；(a b)ab例 1 在平行四边形 ABCD 中 设ABaADb试用 a 和 b表示向量MA、MB、MC、MD其中 M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平分所以a bAMAC2即 (a b)MA2于是21MA(a b)因为MAMC所以21MC(a b)又因 a bMDBD2所以21MD(b a)由于MDMB所

9、以21MB(a b)向量的单位化设 a 0 则向量|aa是与 a 同方向的单位向量记为 ea于是 a |a|ea向量的单位化设 a 0 则向量|aa是与 a 同方向的单位向量记为 eaABCDMab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页于是 a | a | ea定理 1 设向量 a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯一的实数使 ba证明 条件的充分性是显然的下面证明条件的必要性设 b / a 取|ab|当 b 与 a 同向时 取正值 当 b 与 a 反向时取负值 即 ba这是因为此时 b与 a 同向

10、 且| a| | |a|b|aab|再证明数的唯一性 设 ba 又设 ba 两式相减 便得()a 0 即|a| 0因|a| 0 故| 0 即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴设点 O及单位向量 i 确定了数轴 Ox对于轴上任一点P 对应一个向量OP由OP/i 根据定理1 必有唯一的实数x 使OPxi(实数 x 叫做轴上有向线段OP的值) 并知OP与实数 x 一一对应 于是点 P向量OP xi实数 x从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系据此 定义实数 x 为轴上点 P 的坐标由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是OP xi三、空间直角坐标系在空间取定一点 O 和三个

11、两两垂直的单位向量i、j、k 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴依次记为 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系称为 Oxyz坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上而 z轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做xOy面 另两个坐标面是 yOz 面和 zOx面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 它位于 xOy 面的上方 在 xOy

12、面的上方 按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在 xOy面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III 、IV、V、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量 r 对应有点 M 使rOM以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有OROQOPNMPNOPOMr设i xOPj yOQkzOR则kjirzyxOM上式称为向量 r 的坐标分解式 xi、yj、zk 称为向量 r 沿三个坐标轴

13、方向的分向量显然 给定向量 r 就确定了点 M 及i xOPj yOQkzOR三个分向量 进而确定了 x、y、z 三个有序数 反之 给定三个有序数x、y、z也就确定了向量 r 与点 M 于是点 M、向量 r 与三个有序 x、y、z 之间有一一对应的关系),(zyxzyxOMMkjir据此 定义 有序数 x、y、z 称为向量 r(在坐标系 Oxyz)中的坐标 记作 r (x y z) 有序数x、y、z 也称为点 M(在坐标系 Oxyz)的坐标 记为 M(x y z)向量OMr称为点 M 关于原点 O 的向径 上述定义表明 一个点与该点的向径有相同的坐标 记号(x y z)既表示点 M 又表示向量

14、OM. 坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如 点 M 在 yOz面上 则 x 0 同相 在 zOx面上的点 y 0 在 xOy 面上的点 z 0 如果点 M 在 x 轴上 则 y z 0 同样在 y轴上,有 z x 0 在 z轴上的点 有 x y 0 如果点 M 为原点 则 x y z 0. 四、利用坐标作向量的线性运算设 a (axayaz) b (bxbybz) 即 a axi ayj azk b bxi byj bzk则 a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk) (axbx)i (ayby)j (azbz)k(axbxaybyazbz)a b (axi a

15、yj azk) (bxi byj bzk) (axbx)i (ayby)j (azbz)k(axbxaybyazbz)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页a(axi ayj azk) ( ax)i ( ay)j ( az)k( axayaz)利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (axayaz) 0 b (bxbybz) 向量 b/aba即 b/a(bxbybz)(axayaz) 于是zzyyxxababab例 2 求解以向量为未知元的线性方程组byxayx2335其中 a (2 1 2) b ( 1 12). 解

16、如同解二元一次线性方程组可得x 2a 3b y 3a 5b以 a、b的坐标表示式代入即得x 2(2 1 2) 3( 1 12) (71 10)y 3(2 1 2) 5( 1 12) (112 16)例 3 已知两点 A(x1y1z1)和 B(x2y2z2)以及实数1在直线 AB 上求一点 M 使MBAM解由于OAOMAMOMOBMB因此)(OMOBOAOM从而)(11OBOAOM)1,1,1(212121xxxxxx这就是点 M 的坐标另解设所求点为M (x y z) 则),(111zzyyxxAM),(222zzyyxxMB依题意有MBAM即(x x1y y1z z1)(x2x y2y z2

17、z)(x y z) (x1y1z1)(x2y2z2)(x y z),(11),(212121zzyyxxzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页121xxx121yyy121zzz点 M 叫做有向线段AB的定比分点 当1 点 M 的有向线段AB的中点 其坐标为221xxx221yyy221zzz五、向量的模、方向角、投影1向量的模与两点间的距离公式设向量 r (x yz) 作rOM则OROQOPOMr按勾股定理可得222|OROQOPOMr设i xOPj yOQkzOR有|OP| |x| |OQ| |y| |OR|

18、 |z|于是得向量模的坐标表示式222|zyxr设有点 A(x1y1z1)、B(x2y2z2) 则OAOBAB(x2y2z2) (x1y1z1) (x2x1y2y1z2z1)于是点 A 与点 B 间的距离为212212212)()()(|zzyyxxABAB例 4 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解因为| M1M2|2 (7 4)2(1 3)2(2 1)2 14| M2M3|2 (5 7)2(2 1)2(3 2)2 6| M1M3|2 (5 4)2(2 3)2(3 1)2 6所以|M2 M3| |M1M3| 即 M1 M2

19、 M3为等腰三角形例 5 在 z 轴上求与两点 A( 4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点解设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有 |MA|2|MB|2即(0 4)2(0 1)2(z 7)2(3 0)2(5 0)2( 2 z)2解之得914z所以 所求的点为)914,0,0(M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页例 6 已知两点 A(4 0 5)和 B(7 1 3) 求与AB方向相同的单位向量e解因为)2, 1,3()5,0, 4()3, 1,7(AB14)2(13|222AB所以)2, 1, 3(141|A

20、BABe2方向角与方向余弦当把两个非零向量 a 与 b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量 a 与 b的夹角 记作),(ba或),(ab如果向量 a与 b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角非零向量 r 与三条坐标轴的夹角、 、 称为向量 r 的方向角向量的方向余弦设 r (x y z) 则x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦|cosrx|cosry|cosrz从而rerr |1)cos,cos,(cos上式表明 以向量 r 的方向余弦为坐标的

21、向量就是与r 同方向的单位向量er因此cos2cos2cos21例 3 设已知两点)2,2,2(A)和 B(1, 3, 0) 计算向量AB的模、方向余弦和方向角解)2, 1, 1()20,23,21(AB2)2(1)1(|222AB21cos21cos22cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页323433向量在轴上的投影设点 O 及单位向量 e确定 u 轴任给向量 r 作rOM再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M (点 M 叫作点 M在 u轴上的投影 ) 则向量MO称为向量 r 在 u 轴上的分向

22、量 设eMO则数 称为向量 r 在 u 轴上的投影 记作 Prjur 或(r)u按此定义 向量 a在直角坐标系 Oxyz中的坐标 axayaz就是 a 在三条坐标轴上的投影即axPrjxa ayPrjya azPrjza投影的性质性质 1 (a)u|a|cos (即 Prjua |a|cos ) 其中 为向量与 u 轴的夹角性质 2 (a b)u(a)u(b)u (即 Prju(a b) Prjua Prjub)性质 3 ( a)u(a)u (即 Prju( a)Prjua) 7 2 数量积向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景 : 设一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M1移动到点 M2以

23、 s表示位移21MM由物理学知道力 F 所作的功为W |F| |s| cos其中 为 F 与 s的夹角数量积 对于两个向量 a和 b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a 和 b 的数量积记作 a b 即a b |a| |b| cos数量积与投影由于|b| cos|b|cos(a b) 当 a 0 时 |b| cos(a b) 是向量b 在向量 a 的方向上的投影于是 a b|a| Prjab同理 当 b 0 时 a b |b| Prjba数量积的性质(1) a a|a| 2(2) 对于两个非零向量a、b 如果 ab0 则 a b; 反之 如果 a b 则 a b 0如

24、果认为零向量与任何向量都垂直则 a ba b 0数量积的运算律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页(1)交换律 a bb a; (2)分配律(a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b)(a b)( a) ( b)(a b)、 为数(2)的证明分配律 (a b) c a c b c的证明因为当 c 0 时 上式显然成立当 c 0 时 有(a b) c |c|Prjc(a b) |c|(Prjca Prjcb) |c|Prjca |c|Prjcb a c bc例 1 试用向量证明三角形的余弦定理证

25、设在 ABC 中 BCA(图 7 24) BC| a CA| b |AB| c要证c 2a 2b 22 ab cos 记CBaCAbABc 则有c a b从而|c|2cc (a b)(a b) a a b b 2a b |a|2|b|22|a|b|cos(a b)即 c 2a 2b 22 ab cos 数量积的坐标表示设 a (axayaz ) b (bxbybz ) 则a b axbxaybyazbz 提示 按数量积的运算规律可得a b( ax iay j az k) (bx i by j bz k) axbxi i ax by i j ax bz i kaybxj i ay by j j

26、ay bz j kazbxk i az by k j az bz k k axbx ay by az bz 两向量夹角的余弦的坐标表示设(a b) 则当 a 0、b 0 时 有222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页提示 a b |a|b|cos例 2 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求AMB解从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b则AMB 就是向量 a 与 b的夹角a 1 1 0

27、 b 1 0 1因为a b 1 1 1 0 0 1 12011|222a2101|222b所以21221|cosbabaAMB从而3AMB例 3设液体流过平面S上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常向量 v 设 n 为垂直于 S的单位向量（图 7-25(a)） 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P(液体的密度为 )解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为 | v |的斜柱体(图 7-25(b)这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与 n 的夹角所以这柱体的高为| v |cos体积为A| v |cos A v n从而 单位时间内经过这区域流向n

28、 所指一方的液体的质量为PAv n二、两向量的向量积在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力还要分析这些力所产生的力矩设 O 为一根杠杆 L 的支点 有一个力 F 作用于这杠杆上P 点处 F 与OP的夹角为由力学规定力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M 它的模sin|FMOP而 M 的方向垂直于OP与 F 所决定的平面M 的指向是的按右手规则从OP以不超过 的角转向 F 来确定的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页向量积 设向量 c是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出c 的模 |c| |a|b|sin 其

29、中 为 a 与 b间的夹角 ; c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向 b 来确定那么 向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积记作 a b 即c a b根据向量积的定义力矩 M 等于OP与 F 的向量积即FMOP向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量a、b 如果 a b0 则 a/b 反之 如果 a/b 则 a b 0如果认为零向量与任何向量都平行则 a/ba b0数量积的运算律(1) 交换律 a bb a(2) 分配律(a b) ca cb c(3) ( a) ba ( b)(a b) ( 为数)数量积的坐标表示设 a ax i ay j

30、az k b bx i by j bz k 按向量积的运算规律可得a b( ax i ay j az k)( bx i by j bz k) axbxi i ax by i j ax bz i kaybxj i ay by j j ay bz j kazbxk i az by k j az bz k k由于 i ij jk k0 i jk j ki k ij 所以a b( ay bz az by) i ( azbx ax bz) j ( ax by aybx) k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成zyxzyxbbbaaakjibaaybzi azbxj axbyk aybxk axbz

31、j azbyi ( ay bz az by) i ( azbx ax bz) j ( ax by aybx) k例 4 设 a (2 1 1) b (11 2) 计算 a b解211112kjiba2i j 2k k 4j i i 5j 3k例 5 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (1 2 3)、B (3 4 5)、C (2 4 7) 求三角形ABC 的面积解根据向量积的定义可知三角形 ABC 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页|21sin|21ACABAACABSABC由于AB(2 2 2)AC(1

32、 2 4)因此421222kjiACAB4i 6j 2k于是142)6(421|264|21222kjiABCS例 6 设刚体以等角速度绕 l 轴旋转计算刚体上一点 M 的线速度解刚体绕 l 轴旋转时我们可以用在l 轴上的一个向量表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l 轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是的方向设点 M 到旋转轴 l 的距离为 a 再在 l 轴上任取一点 O 作向量 rOM并以 表示与 r 的夹角 那么a|r| sin设线速度为 v 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v 的大小为|v| |a| | |r| sin

33、 ; v 的方向垂直于通过M 点与 l 轴的平面 即 v 垂直于与 r 又 v 的指向是使、r、v符合右手规则因此有vr 7 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中任何曲面都可以看作点的几何轨迹在这样的意义下 如果曲面 S与三元方程F(xy z) 0 有下述关系(1) 曲面 S上任一点的坐标都满足方程F(x yz) 0(2) 不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程F(x y z) 0那么 方程 F(x y z) 0 就叫做曲面 S的方程 而曲面 S就叫做方程 F(x y z) 0 的图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14

34、 页，共 20 页常见的曲面的方程例 1 建立球心在点 M0(x0y0z0)、半径为 R 的球面的方程解设 M(x y z)是球面上的任一点那么|M0M| R即Rzzyyxx202020)()()(或(x x0)2(y y0)2(z z0)2R2这就是球面上的点的坐标所满足的方程而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以(x x0)2(y y0)2(z z0)2R2就是球心在点 M0(x0y0z0)、半径为 R 的球面的方程特殊地 球心在原点 O(0 0 0)、半径为 R 的球面的方程为x2y2z2R2例 2 设有点 A(1 2 3)和 B(21 4) 求线段 AB 的垂直平分面的方程解由题

35、意知道 所求的平面就是与A 和 B 等距离的点的几何轨迹设 M(x y z)为所求平面上的任一点 则有|AM| |BM|即222222)4() 1() 2() 3()2() 1(zyxzyx等式两边平方 然后化简得2x 6y 2z 7 0这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程研究曲面的两个基本问题(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时建立这曲面的方程(2) 已知坐标 x、y 和 z间的一个方程时研究这方程所表示的曲面的形状例 3 方程 x2y2z22x 4y 0 表示怎样的曲面？解通过配方 原方程可以改写成(x 1)2(y

36、2)2z25这是一个球面方程球心在点 M0(12 0)、半径为5R一般地 设有三元二次方程Ax2Ay2Az2Dx Ey Fz G 0这个方程的特点是缺xy yzzx 各项 而且平方项系数相同只要将方程经过配方就可以化成方程(x x0)2(y y0)2(z z0)2R2的形式 它的图形就是一个球面二、旋转曲面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yOz坐标面上有一已知曲线C 它的方程为f (y z) 0把这曲线绕 z 轴旋转

37、一周 就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面它的方程可以求得如下设 M(x y z)为曲面上任一点 它是曲线 C 上点 M1(0 y1z1)绕 z轴旋转而得到的 因此有如下关系等式0),(11zyf1zz221|yxy从而得0),(22zyxf这就是所求旋转曲面的方程在曲线 C 的方程 f(y z) 0 中将 y 改成22yx便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0),(22zyxf同理 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为0),(22zxyf例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周所得旋转曲面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角(20)叫做圆锥面的半

38、顶角试建立顶点在坐标原点 O 旋转轴为 z 轴 半顶角为的圆锥面的方程解在 yOz坐标面内 直线 L 的方程为z ycot 将方程 z ycot 中的 y 改成22yx就得到所要求的圆锥面的方程cot22yxz或z2a2 (x2y2)其中 a cot 例 5 将 zOx坐标面上的双曲线12222czax分别绕 x 轴和 z轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程解绕 x轴旋转所在的旋转曲面的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页122222czyax绕 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222czayx这两种曲

39、面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面三、柱面例 6 方程 x2y2R2表示怎样的曲面？解方程 x2y2R2在 xOy 面上表示圆心在原点O、半径为 R 的圆 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标z 即不论空间点的竖坐标z 怎样 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程 那么这些点就在这曲面上也就是说 过 xOy面上的圆 x2y2R2且平行于 z轴的直线一定在 x2y2R2表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2移动而形成的 这曲面叫做圆柱面xOy 面上的圆 x2y2R2叫做它的准线 这平行于 z轴的直线 l 叫做它的母线例 6 方程

40、x2y2R2表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中过 xOy 面上的圆 x2y2R2作平行于 z 轴的直线 l 则直线 l上的点都满足方程 x2y2R2因此直线 l 一定在 x2y2R2表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线 l 沿 xOy面上的圆 x2y2R2移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy面上的圆 x2y2R2叫做它的准线 这平行于 z轴的直线 l 叫做它的母线柱面 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面定曲线 C叫做柱面的准线 动直线 L 叫做柱面的母线上面我们看到 不含 z 的方程 x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于 z轴

41、它的准线是 xOy面上的圆 x2y2R2一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y) 0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面 其准线是 xOy面上的曲线 C F(x y) 0例如 方程 y22x 表示母线平行于z 轴的柱面 它的准线是 xOy 面上的抛物线 y22x该柱面叫做抛物柱面又如 方程 x y 0表示母线平行于 z轴的柱面 其准线是 xOy面的直线x y 0 所以它是过 z轴的平面类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z) 0 和只含 y、z而缺 x 的方程 H(y z) 0分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面例如 方程 x z 0表示母线平行于 y轴

42、的柱面 其准线是 zOx面上的直线x z 0 所以它是过 y 轴的平面四、二次曲面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页与平面解析几何中规定的二次曲线相类似我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面怎样了解三元方程F(x y z) 0 所表示的曲面的形状呢方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截考察其交线的形状然后加以综合从而了解曲面的立体形状 这种方法叫做截痕法研究曲面的另一种方程是伸缩变形法设 S是一个曲面 其方程为 F(x y z) 0 S 是将曲面 S沿 x 轴方向伸缩倍所得的曲面

43、显然 若(x y z) S则( x y z) S 若(x y z) S 则Szyx),1(因此 对于任意的 (x yz) S 有0),1(zyxF即0),1(zyxF是曲面 S的方程例如，把圆锥面2222zayx沿 y 轴方向伸缩ab倍 所得曲面的方程为2222)(zaybax即22222zbyax(1)椭圆锥面由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面圆锥曲面在 y轴方向伸缩而得的曲面把圆锥面2222zayx沿 y 轴方向伸缩ab倍 所得曲面称为椭圆锥面22222zbyax以垂直于 z轴的平面 z t 截此曲面 当 t 0 时得一点 (0 0 0) 当 t 0 时 得平面 z t 上

44、的椭圆1)()(2222btyatx当 t 变化时 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆当|t|从大到小并变为0 时 这族椭圆从大到小并缩为一点综合上述讨论 可得椭圆锥面的形状如图(2)椭球面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面球面在 x 轴、y 轴或 z 轴方向伸缩而得的曲面把 x2y2z2a2沿 z轴方向伸缩ac倍 得旋转椭球面122222czayx再沿 y 轴方向伸缩ab倍 即得椭球面1222222czbyax(3)单叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为单叶双曲面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

45、 18 页，共 20 页把 zOx面上的双曲线12222czax绕 z轴旋转 得旋转单叶双曲面122222czayx再沿 y轴方向伸缩ab倍 即得单叶双曲面1222222czbyax(4)双叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为双叶双曲面把 zOx 面上的双曲线12222czax绕 x 轴旋转 得旋转双叶双曲面122222cyzax再沿 y 轴方向伸缩cb倍 即得双叶双曲面1222222czbyax(5)椭圆抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为椭圆抛物面把 zOx面上的抛物线zax22绕 z 轴旋转 所得曲面叫做旋转抛物面zayx222再沿 y 轴方向伸缩ab倍 所

46、得曲面叫做椭圆抛物面zbyax2222(6)双曲抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面用平面 x t 截此曲面 所得截痕 l 为平面 x t 上的抛物线2222atzby此抛物线开口朝下其项点坐标为),0,(22att当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平移而 l 的项点的轨迹 L 为平面 y 0 上的抛物线22axz因此 以 l 为母线 L 为准线 母线 l 的项点在准线 L 上滑动 且母线作平行移动 这样得到的曲面便是双曲抛物面还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面12222byax12222byaxayx2依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面课堂作业：习题 5.1 1、 2、3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页习题 5.2 1.、 2、3 习题 5.31、2、3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页