2022年离散数学集合论部分综合练习 .pdf

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1、1 / 7 离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项选择题1若集合 A=a，b，B=a，b， a，b ，则（）AA B，且 A B BA B，但 A BCA B，但 AB DA B，且 A B2若集合 A2，a， a ，4，则下列表述正确的是 ( )A a， a A B a A C2A DA3若集合 A a， a，1，2 ，则下列表述正确的是 ( )Aa， a

2、AB2AC aA DA4若集合 A=a，b，1，2 ，B=1，2，则（） AB A，且 B A BB A，但 B A CB A，但 B A DB A，且 B A5设集合 A = 1, a ，则 P(A) = ( ) A1, a B ,1, a C,1, a, 1, a D 1, a, 1, a 6若集合 A的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（）A1024B10C100 D1 7集合 A=1, 2,3,4,5,6,7,8上的关系 R=|x+y=10且 x,yA，则 R的性质为（） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的8设集合 A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系 R

3、 =a , ba , bA , 且 a +b= 8 ，则 R具有的性质为（）A自反的 B对称的C对称和传递的 D反自反和传递的9如果 R1和 R2是 A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1- R2中自反关系有（）个A0 B2 C1 D3 10设集合 A=1 , 2 , 3 , 4 上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2 ，2 , 3 ，4 , 4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 / 7 S = 1 , 1 ，2 , 2，2 , 3，3 , 2 ，4 , 4，则 S是 R 的（）闭包 A自反 B传递 C对

4、称 D以上都不对11设集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若A的子集 B = 3 , 4 , 5 ，则元素 3为 B 的（） A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对12设 A=1, 2,3,4,5,6,7,8，R是 A 上的整除关系， B=2,4, 6 ，则集合 B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )A8、2、8、2B无、 2、无、2 C6、2、6、2D8、1、6、1 13设 A=a,b ，B=1,2 ，R1，R2，R3是 A到 B的二元关系，且 R1=, ，R2=, ,，R3=, ，则（）不是从 A到 B 的函数AR1和 R2 BR

5、2CR3 DR1和 R3二、填空题1设集合 A有 n 个元素，那么 A 的幂集合 P(A)的元素个数为2设集合 A a，b，那么集合 A的幂集是应该填写： ,a,b, a, b 3设集合 A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5 ，R是 A 到 B 的二元关系，,BAyxByAxyxR且且则 R的有序对集合为4设集合 A=0,1,2 ，B=0,2,4, R是 A 到 B 的二元关系，,BAyxByAxyxR且且则 R的关系矩阵 MR5设集合 A= a,b,c，A 上的二元关系R=, ，S=, 则(R S)1=6设集合 A=a,b,c，A 上的二元关系 R=, , , ，则二元关系 R

6、具有的性质是7若 A=1,2 ，R=|x A,y A,x+y=10，则 R 的自反闭包为8设集合 A=1, 2 ，B=a, b ，那么集合 A 到 B的双射函数是9设 A= a，b，c，B=1，2 ，作 f：AB，则不同的函数个数为2 4 1 3 5 图一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1设 A、B、C 为任意的三个集合，如果AB=AC，判断结论 B=C 是否成立？并说明理由2如果 R1和 R2是 A上的自反关系，判断结论：“ R-11、R1R2、R1R2是自

7、反的” 是否成立？并说明理由 3若偏序集 的哈斯图如图一所示，则集合 A的最大元为 a，最小元不存在4若偏序集 的哈斯图如图二所示，则集合 A的最大元为 a，最小元不存在 5设 N、R 分别为自然数集与实数集，f：N R，f(x)=x+6，则 f 是单射四、计算题1设集合 A a, b, c ，B=b, d, e ，求（1）BA；（2）A B；（3）AB；（4）BA2设 A= a, b, 1, 2 ，B= a, b, 1, 1 ，试计算（1）（A B）（2）（AB）（3）（AB） （AB）3设集合 A=1,2,1,2，B=1,2,1,2 ，试计算（1）（A B）；（2）（AB）；（3）AB4

8、设 A=0 ， 1， 2， 3，4 ，R=|x A， y A 且 x+y0 ， S=|x A，y A且 x+y 3 ，试求 R，S，R S，R-1，S-1，r(R)5设 A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，R是 A 上的整除关系， B=2,4, 6 （1）写出关系 R的表示式；（ 2）画出关系 R的哈斯图；（3）求出集合 B的最大元、最小元6设集合 Aa, b, c, d上的二元关系 R的关系图如图三所示（1）写出 R的表达式；（2）写出 R的关系矩阵；（3）求出 R27设集合 A=1，2，3，4，R=|x,y A；|x y|=1或 x y=0，试（1）写出 R的有序对表

9、示；（2）画出 R的关系图；（3）说明 R满足自反性，不满足传递性五、证明题 1试证明集合等式： A (B C)=(A B) (AC)2试证明集合等式A (BC)=(AB) (A C)3设 R是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a A，存在图一图二adbc图三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 b A，使得 R，则 R是等价关系 4若非空集合 A上的二元关系 R和 S是偏序关系，试证明：SR也是 A上的偏序关系参考解答一、单项选择题1A2B3C4B 5C6A 7B8B 9B 10C 11C1

10、2B13B 二、填空题12n2,a,b, a, b 3， 40110000115, 6反自反的7, 8, ，, 98 三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1解： 错设 A=1, 2 ，B=1 ，C=2 ，则 AB=AC，但 B C2解：成立因为 R1和 R2是 A上的自反关系，即IAR1，IAR2。由逆关系定义和 IAR1，得 IAR1-1；由 IAR1，IAR2，得 IAR1R2，IAR1R2。所以， R1-1、R1R2、R1R2是自反的。3解：正确对于集合 A 的任意元素 x，均有 R（或 xRa），所以 a 是集合 A中的最大元按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元4解：错误集

11、合 A的最大元不存在， a 是极大元5解：正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 设 x1，x2为自然数且 x1x2，则有 f(x1)=x1+6 x2+6=f(x2)，故 f 为单射四、计算题1解：（1）B A= a, b, cb, d, e= b （2）AB=a, b, c b, d, e= a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e= a, c （4）BA=A BBA=a, b, c, d, e b= a, c, d, e 2解：（1）（A B）= a, b, 2 （2）（AB

12、）= a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB） （AB）= a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）A B =1,2 （2）AB =1,2 （3）A B= ， ， ， ， ， ， ，, 4解：R=, S=, R S=，R-1=，S-1=S，r(R)=IA5解：（1）R=I, , , , , , , , , , , , , , , （2）关系 R的哈斯图如图四（3）集合 B没有最大元，最小元是： 2 6解： R, , , 1000000001000101RMR2 = , , , , , , =, , 7解： （1）R=, , （2）关系图如图五（3）因为 ,均属于 R，即 A

13、的每个元素构成的有序对均在R中，故 R在A 上是自反的。因有与属于 R，但不属于 R，所以 R在 A 上不是传递的。1 2 3 4 6 9 5 7 8 10 11 12 图四：关系R 的哈斯图1 2 3 4 图五精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 五、证明题 1证明：设，若 xA (BC)，则 xA或 xB C，即 xA或 xB且 xA 或 xC即 xAB 且 xA C，即 xT=(AB) (AC)，所以 A (B C) (AB) (AC)反之，若 x(AB) (AC)，则 xA B 且 xA C，即 xA

14、或 xB且 xA 或 xC，即 xA或 xBC，即 xA (BC)，所以(AB) (AC) A (BC)因此 A (BC)=(AB) (AC)2证明 ：设 S=A(BC)，T=(AB)(AC)，若 xS，则 xA 且 xBC，即 xA且 xB 或 xA 且 xC，也即 xAB或 xAC，即 xT，所以 S T反之，若 xT，则 xAB 或 xAC，即 xA且 xB 或 xA且 xC也即 xA且 xBC，即 xS，所以 T S因此 T=S3设 R是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a A，存在b A，使得 R，则 R是等价关系 证明：已知 R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反

15、关系a A， b A，使得 R，因为 R是对称的，故 R；又 R是传递的，即当 R， R R；由元素 a的任意性，知 R是自反的所以， R是等价关系4若非空集合 A上的二元关系 R和 S是偏序关系，试证明：SR也是 A上的偏序关系证明：.SRxxSxxRxxAx,，所以SR有自反性；,Ayx因为 R，S是反对称的，yxxyyxSxySyxRxyRyxSxyRxySyxRyxSRxySRyx),(),(),(),(,所以， R S有反对称性Azyx,，因为 R，S是传递的，SRzySRyx,SzyRzySyxRyx,SzySyxRzyRyx,SRzxSzxRzx,所以，SR有传递性总之， R是偏序关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页