2022年空间向量与立体几何知识点和习题 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载空间向量与立体几何【知识要点】1空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、 减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(a bc)a(bc)；分配律： ()aaa；(ab)ab(2)空间向量的基本定理：共线 (平行 )向量定理：对空间两个向量a，b(b 0)，ab 的充要条件是存在实数，使得 ab共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，则向量c与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数，使得 cab空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对

2、空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得 p1a2b3c(3)空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：ab|a|bcos a，b ；空间向量的数量积的性质：ae|acosa，e； abab0；|a|2aa； |a b|a|b空间向量的数量积的运算律：(a)b(ab)；交换律： abba；分配律： (ab)cacbc(4)空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x 轴， y 轴， z 轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i， j，k ，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，

3、a2，a3)，使 aa1ia2j a3k，那么有序数组 (a1，a2，a3)就叫做空间向量a 的坐标，即a(a1， a2， a3)空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a(a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则ab(a1 b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2 b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；ab a1b1 a2b2a3b3空间向量平行和垂直的条件：ab(b0)aba1b1，a2b2，a3b3( R)；abab0a1b1a2b2a3b30向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a(a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则;| ,|232221232221

4、bbbaaabbbaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载;|,cos232221232221332211bbbaaababababababa在空间直角坐标系中，点A(a1，a2， a3)，B(b1， b2，b3)，则A， B 两点间的距离是.)()()(|233222211bababaAB2空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：如图， l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O，点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数t， 使得atOAOP， 其

5、中向量a 叫做直线的方向向量由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定如果直线l平面，取直线l 的方向向量a，则向量a 叫做平面的法向量由此可知，给定一点A 及一个向量a， 那么经过点A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l，m 的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则lma bakb，k R；lma bab0；lauau0；lauaku，kR；u vukv，k R；uvu v0(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角： 设 a，b 是两条异面直线， 过空间任意一点O 作直线 aa，bb

6、，则 a与 b所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与 b 所成的角设异面直线a 与 b 的方向向量分别是v1，v2，a 与 b的夹角为，显然,2,0(则|,cos|212121vvvvvv直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角设直线a 的方向向量是u，平面的法向量是v，直线a 与平面的夹角为，显然2,0，则|,cos|vuvuvu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作l在二面角的棱上任取一点O，在两个半

7、平面内分别作射线OAl，OB l，则 AOB叫做二面角l的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若 AB，CD 分别是二面角l的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角l的大小就是向量CDAB与的夹角的大小方法二：如图， m1，m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则m1，m2与该二面角的大小相等或互补(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量

8、积判断向量的共线与垂直4理解直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题【例题分析】例 1如图，在长方体OAEBO1A1E1B1中， OA3， OB4，OO12，点 P 在棱 AA1上，且 AP 2PA1，点 S在棱 BB1上，且 B1S2SB，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证： PQRS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载【分析】 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得.RSkPQ解： 如图建立

9、空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)， B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3， 0，2)，B1(0， 4，2)，E(3，4，0)AP2P A1，),34,0, 0()2, 0,0(32321AAAP)34,0,3(P同理可得： Q(0，2，2)，R(3，2， 0)，)32,4,0(S,)32,2,3(RSPQRSPQ/，又 RPQ，PQRS【评述】 1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体还可采用综合法证明，连接PR，QS，证明 PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明例 2已知正方体AB

10、CDA1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN平面 EFBD【分析】 要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行解法一 ：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)取 MN 的中点 K，EF 的中点 G，BD 的中点 O，则 O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)MN(2，2，0)，EF (2， 2，0)，AK(1，1，4)，OG(1， 1，4)，精选学习资料

11、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页学习必备欢迎下载MNEF，OGAK， MN/EF ，AK/OG ，MN平面 EFBD，AK平面 EFBD，平面 AMN 平面 EFBD解法二： 设平面 AMN 的法向量是a(a1，a2，a3)，平面 EFBD 的法向量是b(b1，b2，b3)由, 0, 0ANAMaa得,042, 0423231aaaa取 a31，得 a(2， 2，1)由,0,0BFDEbb得, 042, 0423132bbbb取 b31，得 b(2， 2，1)ab，平面AMN平面 EFBD注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通

12、过综合法加以证明，请试一试例 3 在正方体ABCDA1B1C1D1中， M，N 是棱 A1B1，B1B 的中点，求异面直线AM和 CN 所成角的余弦值解法一 ：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1),1 , 0, 2(),2, 1 , 0(CNAM设AM和CN所成的角为，则,52|cosCNAMCNAM异面直线AM 和 CN 所成角的余弦值是52解法二： 取 AB 的中点 P，CC1的中点 Q，连接 B1P，B1Q，PQ，PC易证明： B1PMA，B1QNC， PB1Q 是异面直线AM 和 CN 所

13、成的角设正方体的棱长为2，易知,6,52211QCPCPQQBPB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页学习必备欢迎下载,522cos11221211QBPBPQQBPBQPB异面直线AM 和 CN 所成角的余弦值是52【评述】 空间两条直线所成的角是不超过90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数， 这样才能得到异面直线所成的角(锐角 )例 4 如图， 正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a2，求直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小【分析】 利用

14、正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0， 0)， B(0， a， 0)，),2,0 ,0(1aA)2,2,23(1aaaC取 A1B1的中点 D，则)2,2,0(aaD，连接 AD，C1D则),2,0,0(),0,0(),0,0,23(1aAAaABaDC,0, 0111AADCABDCDC1平面 ABB1A1， C1AD 是直线 AC1与平面 ABB1A1所或的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

15、- - - -第 6 页，共 20 页学习必备欢迎下载),2,2,0(),2,2,23(1aaADaaaAC23|cos111ADACADACADC，直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小是30解法二： 如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a2)，)2,2,23(1aaaC，从而)2,2,23(),2,0,0(),0,0(11aaaACaAAaAB设平面 ABB1A1的法向量是a(p，q， r)，由, 0,01AAABaa得,02,0araq取 p1，得 a(1，0，0)设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为,2,0,.30,21|,cos|

16、sin111aaaACACAC【评述】 充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换例 5如图，三棱锥PABC 中， P A底面 ABC，ACBC，PAAC1，2BC，求二面角 APB C 的平面角的余弦值解法一： 取 PB 的中点 D，连接 CD，作 AEPB 于 EP AAC1，PAAC，PCBC2， CDPBEAPB，向量EA和DC夹角的大小就是二面角APBC 的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页学习必备欢迎下

17、载如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1)，由 D 是 PB 的中点，得D)21,22,21(由,3122ABAPEBPE得 E 是 PD 的中点，从而)43,42,43(E)21,22,21(),43,42,41(DCEA33|,cosDCEADCEADCEA即二面角 APBC 的平面角的余弦值是33解法二 ：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，)0 ,1 ,2(B， C(0，1，0)，P(0，0，1)，).1 , 1, 0(),0, 0,2(),0, 1 ,2(),1 , 0, 0(CPCBABAP设平面 PAB 的法向量是a

18、(a1，a2，a3)，平面 PBC 的法向量是b(b1，b2，b3)由,0, 0ABAPaa得,02,0213aaa取 a11，得).0,2, 1(a由0,0CPCBbb得,0,02321bbb取 b31，得 b(0，1，1)33|,cosbababa二面角 APBC 为锐二面角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载二面角 APBC 的平面角的余弦值是33|33|【评述】 1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上2、当用

19、法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角， 但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的例 6 如图，三棱锥PABC 中， P A底面 ABC，P AAB， ABC60， BCA90，点 D，E 分别在棱PB， PC 上，且 DEBC()求证： BC平面 PAC；()当 D 为 PB 的中点时，求AD 与平面 P AC 所成角的余弦值；()试问在棱PC 上是否存在点E，使得二面角ADEP 为直二面角 ?若存在，求出PEEC 的值；若不存在，说明理由解： 如图建立空间直角坐标系设 PAa，由已知可得A(0，0，0)，

20、).,0,0(),0 ,23,0(),0,23,21(aPaCaaB(),0, 0,21(), 0,0(aBCaAP,0BCAPBCAP又 BCA 90， BCACBC平面 PAC() D 为 PB 的中点， DEBC， E 为 PC 的中点)21,43,0(),21,43,41(aaEaaaD由()知， BC平面 PAC， DE平面 PAC， DAE 是直线 AD 与平面 P AC 所成的角),21,43,0(),21,43,41(aaAEaaaAD,414|cosAEADAEADDAE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

21、20 页学习必备欢迎下载即直线 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值是414()由 ()知， DE平面 PAC， DEAE， DEPE， AEP 是二面角ADEP 的平面角P A底面 ABC， PAAC， PAC 90在棱 PC 上存在一点E，使得 AEPC，这时， AEP90，且3422ACPAECPE故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角，此时PEEC 43注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试练习 1-3 一、选择题：1在正方体ABCDA1B1C1D1中， E 是 BB1的中点，则二面角EA1D1D 的平面角的正切值是 ( ) (A)2(B)2 (C)5(

22、D)222正方体ABCD A1B1C1D1中，直线 AD1与平面 A1ACC1所成角的大小是( ) (A)30 (B)45(C)60(D)903已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC的中心，则AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31(B)32(C)33(D)324如图，l，A，B，A，B 到 l 的距离分别是a 和 b，AB 与，所成的角分别是和，AB 在，内的射影分别是m 和 n，若 ab，则下列结论正确的是 ( ) (A)，mn(B)，mn(C)，mn(D)，mn二、填空题：5在正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F，

23、G，H 分别为AA1，AB， BB1，B1C1的中点，则异面直线EF 与 GH 所成角的大小是_6已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页学习必备欢迎下载7如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B 与 AD1所成角的余弦值为 _8四棱锥PABCD 的底面是直角梯形，BAD90， ADBC，BCABAD21，PA底面 ABCD， PD 与底面 ABCD 所成的角是30 设 AE 与 CD 所成的角为，

24、 则 cos_三、解答题：9如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AA12AB 4，点 E 在 CC1上，且 C1E3EC()证明： A1C平面 BED；()求二面角A1 DEB 平面角的余弦值10如图，在四棱锥OABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的菱形，4ABC，OA底面 ABCD，OA2， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点()证明：直线MN平面 OCD；()求异面直线AB 与 MD 所成角的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页学习必备欢迎下载11如图，已知直二面角PQ，APQ，B，

25、C， CACB， BAP45，直线 CA 和平面所成的角为30()证明： BCPQ；()求二面角BACP 平面角的余弦值习题 1 一、选择题：1关于空间两条直线a、b 和平面，下列命题正确的是( ) (A) 若 ab，b，则 a(B) 若 a，b，则 ab(C)若 a，b，则 ab(D) 若 a，b，则 ab2正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8 (B)38(C)6 (D)2 3已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于( ) (A)46(B)410(C)22(D)234已知某个几何体的三视图如下，

26、根据图中标出的尺寸(单位： cm)，可得这个几何体的体积是 ( ) (A)3cm34000(B)3cm38000(C)2000cm3 (D)4000cm35若三棱柱的一个侧面是边长为2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23(D)24精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载二、填空题：6已知正方体的内切球的体

27、积是34，则这个正方体的体积是_7若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面 ABCD 成 60角，则直线 AB1和 BC1所成角的余弦值是_8若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_9连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4 的球的两条弦AB、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为_10已知 AABC 是等腰直角三角形，ABACa，AD 是斜边 BC 上的高，以AD 为折痕使BDC 成直角在折起后形成的三棱锥ABCD 中，有如下三个结论：直线 AD平面 BCD；侧面 ABC 是等边三角形；三棱锥 A

28、BCD 的体积是.2423a其中正确结论的序号是_(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11如图，正三棱柱ABCA1B1C1中， D 是 BC 的中点， ABAA1()求证： ADB1D；()求证： A1C平面 A1BD；()求二面角BAB1D 平面角的余弦值12如图，三棱锥PABC 中， PAAB，PAAC，ABAC，PAAC2，AB1，M 为PC 的中点()求证：平面PCB平面 MAB；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页学习必备欢迎下载()求三棱锥PABC 的表面积13如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

29、 ABC90， ABBCAA12，M、N 分别是A1C1、BC1的中点()求证： BC1平面 A1B1C；()求证： MN平面 A1ABB1；()求三棱锥MBC1B1的体积14在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为矩形， SD底面ABCD，2AD， DCSD2点 M 在侧棱 SC 上， ABM60()证明： M 是侧棱 SC 的中点；()求二面角SAMB 的平面角的余弦值练习 1-3 一、选择题：1B 2A 3 B 4D 二、填空题：56062 754842三、解答题：9以 D 为坐标原点，射线DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz精选学习资料 - - - - - - -

30、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载依题设， B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4),0, 2,2(),1 ,2,0(DBDE).4,0 ,2(),4,2 ,2(11DACA(), 0, 011DECADBCAA1CBD，A1CDE又 DBDED， A1C平面 DBE()设向量 n(x，y，z)是平面 DA1E 的法向量，则.,1DADE nn. 042,02zxzy令 y1，得 n(4，1， 2)4214|),cos(111CACACAnnn二面角A1DEB 平面角的余弦值为421410作 AP CD

31、于点 P如图，分别以AB， AP，AO 所在直线为x，y，z 轴建立坐标系则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，)0 ,22,22(),0,22,0(DP，O(0，0，2)，M(0，0，1)，)0,42,421 (N()2,22,22(),2,22, 0(),1,42,421(ODOPMN设平面 OCD 的法向量为n (x，y，z)，则, 0,0ODOPnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页学习必备欢迎下载即.022222,0222zyxzy取,2z，得).2,4,0(n, 0nMNMN平面 OCD()设 AB

32、 与 MD 所成的角为，,3,21|cos),1,22,22(),0,0, 1(MDABMDABMDAB即直线 AB 与 MD 所成角的大小为311 ()证明：在平面内过点 C 作 COPQ 于点 O，连结 OB，PQ， CO又 CACB， OAOB BAO45， ABO45， AOB90， BOPQ，又 COPQ，PQ平面 OBC， PQBC()由 ()知， OCOA，OCOB，OAOB，故以 O 为原点，分别以直线OB，OA，OC 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系(如图 )CO， CAO 是 CA 和平面所成的角，则CAO30不妨设 AC2，则3AO，CO1在 RtOAB

33、中， ABO BAO45，.3AOBO).1 ,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(CABO).1 ,3, 0(),0,3,3(ACAB设 n1(x，y， z)是平面 ABC 的一个法向量，由,0, 0ACABnn得,03,033zyyx取 x1，得)3, 1 , 1(1n易知 n2(1，0，0)是平面的一个法向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页学习必备欢迎下载设二面角BAC P 的平面角为，,55| |cos2121nnnn即二面角BAC P 平面角的余弦值是55习题 1 一、选择题：1D

34、 2B 3A 4B 5B 二、填空题：63247438995 10、三、解答题：11 ()证明： ABCA1B1C1是正三棱柱，BB1平面 ABC，平面 BB1C1C平面 ABC正 ABC 中， D 是 BC 的中点， ADBC， AD 平面 BB1C1C，AD B1D()解：连接A1B，设 A1BAB1 E，连接 DEABAA1，四边形 A1ABB1是正方形，E 是 A1B 的中点，又D 是 BC 的中点， DEA1CDE平面 A1BD，A1C平面 A1BD， A1C平面 A1BD()解：建立空间直角坐标系，设ABAA11，则)1 ,0,21(),0,23,0(),0 ,0,0(1BAD设

35、n1(p，q，r)是平面 A1BD 的一个法向量，则, 01ADn且,011DBn故.021, 023rPq取 r1，得 n1(2，0，1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载同理，可求得平面AB1B 的法向量是).0 , 1,3(2n设二面角BAB1D 大小为，,515|cos2121nnnn二面角BAB1D 的平面角余弦值为51512 () PAAB， ABAC， AB平面 PAC，故 ABPCPAAC2，M 为 PC 的中点， MAPC PC平面 MAB，又 PC平面 PCB，平面PCB平面

36、MAB()RtPAB 的面积1211ABPASRtPAC 的面积.2212ACPASRtABC 的面积 S3S11 PAB CAB， PBCB， PCB 的面积.632221214MBPCS三棱锥PABC 的表面积为S S1S2S3 S4.6413 () ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1平面 A1B1C1， B1B A1B1又 B1C1A1B1， A1B1平面 BCC1B1， BC1A1B1BB1CB2， BC1B1C， BC1平面 A1B1C()连接 A1B，由 M、 N 分别为 A1C1、BC1的中点，得MN A1B，又 A1B平面 A1ABB1，MN平面 A1ABB1， MN平面 A

37、1ABB1()取 C1B1中点 H，连结 MH M 是 A1C1的中点， MH A1B1，又 A1B1平面 BCC1B1， MH平面 BCC1B1， MH 是三棱锥MBC1B1的高，三棱锥MBC1B1的体积321421313111MHSVBBC14如图建立空间直角坐标系，设A(2，0，0)，则 B(2，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载()设)0(MCSM，则),12,12,2(),12,12, 0(BMM又.60,),0, 2, 0(BMBABA故,60cos|.BABMBABM即,)12()12()2(14222解得1M 是侧棱 SC 的中点()由 M(0，1，1)，A(2，0，0)得 AM 的中点)21,21,22(G又),1 , 1 ,2(),1 , 1,0(),21,23,22(AMMSGB,0,0AMMSAMGBAMMSAMGBcosMS,GB等于二面角SAMB 的平面角,36|),cos(MSGBMSGBMSGB即二面角SAMB 的平面角的余弦值是36精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页