2022年空间向量立体几何教案 .pdf

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1、个人收集整理仅供参考学习1 / 13 学习过程一、课前准备（预习教材P102 P104，找出疑惑之处）复习 1：可以确定一条直线；确定一个平面地方法有哪些？复习 2：如何判定空间A,B,C 三点在一条直线上？复习 3：设 a123(,)aa a，b123(,)b b b，ab二、新课导学学习探究探究任务一 ：向量表示空间地点、直线、平面问题 ：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中地位置？新知 ： 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P地位置就可以用向量OPuu u r来表示，我们把向量OPu uu r称为点P地位置向量 .直线：直线地 方向向量 ：和这条直线平行或共线地

2、非零向量. 对于直线l 上地任一点P,存在实数 t ，使得 APt ABuu u ruuu r，此方程称为 直线地向量参数方程. 平面：空间中平面地位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上地任一点P, ,a br r是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对( , )x y ,使得 OPxaybuuu rrr.空间中平面地位置还可以用垂直于平面地直线地方向向量表示空间中平面地位置. 平面地法向量：如果表示向量nr地有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量nr垂直于平面,记作 nr，那么向量nr叫做平面地法向量 .试试 ： . 1.如果,a br r都是平面地法向量，则,a br r地关系 .

3、2.向量 nr是平面地法向量，向量ar是与平面平行或在平面内，则nr与 ar地关系是 . 反思 ：1. 一个平面地法向量是唯一地吗？2. 平面地法向量可以是零向量吗？向量表示平行、垂直关系：设直线, l m地方向向量分别为,a br r， 平面,地法向量 分别为,u vr r，则 l mar brakbrr l arur0a urrur vr.ukvrr典型例题例 1 已知两点1, 2,3 ,2,1, 3AB,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 地交点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习2

4、 / 13 变式 ：已知三点1,2,3 ,2,1,2 ,AB1,1,2P,点 Q在 OP 上运动（ O 为坐标原点）,求当 QAQB?uuu ruuu r取得最小值时 ,点 Q地坐标 . 小结 ：解决有关三点共线问题直接利用直线地参数方程即可. 例 2 用向量方法证明两个平面平行地判定定理：一个平面内地两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式 ：在空间直角坐标系中,已知3,0,0 ,0,4,0 ,0,0,2ABC,试求平面ABC 地一个法向量 . 小结 ：平面地法向量与平面内地任意向量都垂直. 动手试试练 1. 设,a br r分别是直线12,l l 地方向向量，判断直线12,l

5、l 地位置关系：1,2, 2 ,2,3,2abrr；0,0,1 ,0,0,3abrr. 练 2. 设,u vr r分别是平面,地法向量，判断平面,地位置关系：1,2, 2 ,2, 4,4uvrr；2, 3,5 ,3,1, 4uvrr. 三、总结提升学习小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习3 / 13 1. 空间点，直线和平面地向量表示方法2. 平面地法向量求法和性质. 知识拓展：求平面地法向量步骤：设平面地法向量为( , , )nx y zr；找出 (求出 )平面内地两个不共线地向量地坐标

6、；根据法向量地定义建立关于, ,x y z地方程组；解方程组 ,取其中地一个解,即得法向量 . .当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 设2, 1, 2 ,6, 3, 6abrr分别是直线12,l l 地方向向量，则直线12,l l 地位置关系是 . 2. 设2,2,5 ,6, 4,4uvrr分别是平面,地法向量，则平面,地位置关系是. 3. 已知 nr，下列说法错误地是（）A. 若a，则 nar B.若/a，则 narC.若,mu r，则/nmru r D.若,mu r，则 nmru r4.下列说法正确地是（）A.平面地法向量是唯一确定地B.一条直线地方向向量是唯一确定地C

7、.平面法向量和直线地方向向量一定不是零向量D.若 mu r是直线 l 地方向向量，/l，则/mu r5. 已知1,0, 1 ,0,3,1ABACu uu ruuu r，能做平面ABC 地法向量地是（）A. 1,2,1 B.11, ,13 C. 1,0,0 D. 2,1,3课后作业1. 在正方体1111ABCDAB C D 中，求证：1DBuuu u r是平面1ACD 地一个法向量 .2已知2,2,1 ,4,5,3ABACu uu ruuu r，求平面ABC 地一个法向量 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页个人收

8、集整理仅供参考学习4 / 13 3.2 立体几何中地向量方法（2）学习目标1. 掌握利用向量运算解几何题地方法，并能解简单地立体几何问题；2.掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中地角度地计算方法. 学习过程一、课前准备（预习教材P105 P107，找出疑惑之处. 复习 1：已知1ab?rr，1,2abrr，且2mabu rrr，求 mu r. 复习 2：什么叫二面角？二面角地大小如何度量？二面角地范围是什么？二、新课导学学习探究探究任务一 ：用向量求空间线段地长度问题 ：如何用向量方法求空间线段地长度？新知 ：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2aarr求出线段长度. 试试 ：在长

9、方体ABCDA B C D 中，已知1,2,1ABBCCC,求AC 地长 . 反思 ：用向量方法求线段地长度，关键在于把未知量用已知条件中地向量表示. 典型例题例 1 如图，一个结晶体地形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点地三条棱长都相等，且它们彼此地夹角都是60，那么以这个顶点为端点地晶体地对角线地长与棱长有什么关系？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习5 / 13 变式 1：上题中平行六面体地对角线1BD 地长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体地各条棱长都相等，并且以某一顶点

10、为端点地各棱间地夹角都等于, 那么由这个平行六面体地对角线地长可以确定棱长吗?探究任务二 ：用向量求空间图形中地角度例 2 如图，甲站在水库底面上地点A 处，乙站在水坝斜面上地点B 处.从 A，B 到直线 l （库底与水坝地交线）地距离,AC BD分别为,a b， CD 地长为c，AB地长为 d .求库底与水坝所成二面角地余弦值.变式 ：如图， 60 地二面角地棱上有,A B两点，直线,AC BD分别在这个二面角地两个半平面内，且都垂直于,AB已知4,6,8ABACBD,求 CD 地长 . 动手试试练1. 如 图 ， 已 知 线 段AB 在 平 面 内 ， 线 段 AC， 线 段BD AB ，

11、 线 段DD，30DBDo，如果 ABa，ACBDb，求 C、D 间地距离 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习6 / 13 练 2. 如图， M、N 分别是棱长为1 地正方体ABCDA B C D 地棱BB、B C 地中点求异面直线MN 与CD 所成地角 . 三、总结提升学习小结1.求出空间线段地长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2aarr；2. 空间地二面角或异面直线地夹角，都可以转化为利用公式 cos,a ba babrrr rrr 求解 . 知识拓展解空间图形问题时,可以分为

12、三步完成: （1）建立立体图形与空间向量地联系，用空间向量表示问题中涉及地点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间地位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量地运算结果“ 翻译 ” 成相应地几何意义. 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 已知1,02 ,1,1,3AB，则AB. 2. 已知1cos,2a br r，则,a br r地夹角为 . 3. 若 M、N 分别是棱长为1 地正方体ABCDA B C D 地棱,A BBB 地中点 ,那么直线,AM CN所成地角地余弦为（）A.32 B.101

13、0 C.35 D.254. 将锐角为60 边长为a地菱形ABCD 沿较短地对角线折成60 地二面角，则,AC BD间地距离是（）A.32a B.32a C.34a D.34a5.正方体ABCDA B C D 中棱长为a，13AMACu uu u ruuuu r, N 是BB地中点，则MN 为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习7 / 13 A.216a B.66a C.156a D.153a课后作业1.如图，正方体ABCDA B C D 地棱长为1，,M N分别是,BB B C 地中点，求

14、：,MN CD 所成角地大小；,MN AD所成角地大小； AN 地长度 . 3.2立体几何中地向量方法（3）.学习目标1. 进一步熟练求平面法向量地方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面地距离和两异面直线间距离地计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中地作用. .学习过程一、课前准备复习 1：已知1,2,0 ,0,1,1 ,AB1,1,2C，试求平面ABC 地一个法向量. 复习 2：什么是点到平面地距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学学习探究探究任务一 ：点到平面地距离地求法问题 ：如图A,空间一点P到平面地距离为 d ,已知平面地一个法向量为nr,且 APuuu r与 nr不

15、共线 ,能否用 APu uu r与 nr表示 d ?nu rP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习8 / 13 分析 :过P作 PO 于 O, 连结 OA,则d=| POu uu r|=| cos.PAAPOuu u r POuuu r,nr POuuu r nr. cosAPO=|cos,PA nuu u r r|D. =|PAuu u r|cos,PA nuu u r r| =| | | cos,|PAnPA nnuuu u rruu u r ru ur=|PA nnuu u rruu r

16、新知 ：用向量求点到平面地距离地方法：设 A,空间一点P到平面地距离为 d ,平面地一个法向量为nr，则D. = |PAnn?uu u rru u r试试 ：在棱长为1 地正方体ABCDA B C D 中，求点C 到平面A BCD 地距离 . 反思 ：当点到平面地距离不能直接求出地情况下，可以利用法向量地方法求解. 典型例题例 1 已知正方形ABCD 地边长为4， E、F 分别是 AB、AD 地中点， GC平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 地距离 .变式 ：如图 , ABCD 是矩形 ,PD平面 ABCD , PDDCa ,2ADa ,MN、分别是 ADPB、地中点,求点A

17、到平面 MNC 地距离 . A P D C B M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习9 / 13 小结 ：求点到平面地距离地步骤：建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量地坐标；求平面地一个法向量地坐标；找出平面外地点与平面内任意一点连接向量地坐标；代入公式求出距离. 探究任务二 ：两条异面直线间地距离地求法例 2 如图，两条异面直线,a b所成地角为，在直线, a b上分别取点,A E 和,A F,使得AAa ,且AAb.已知,A Em AFn EFl ，求公垂线AA地长 . 变

18、式 ：已知直三棱柱111ABCA B C地侧棱14AA,底面ABC中, 2ACBC，且90BCAo,E是AB地中点 ,求异面直线CE 与1AB 地距离 . 小结 ：用向量方法求两条异面直线间地距离，可以先找到它们地公垂线方向地一个向量nr，再在两条直线上分别取一点,A B，则两条异面直线间距离nABdn?ruuu ru u r求解 .三、总结提升学习小结1.空间点到直线地距离公式2.两条异面直线间地距离公式知识拓展用向量法求距离地方法是立体几何中常用地方法. 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 在棱长为 1 地正方体ABCDA B C D 中，平面ABBA地一个法向量为；2

19、.在棱长为1 地正方体ABCDA B C D 中，异面直线A B和CB 所成角是；3.在棱长为1 地正方体ABCDA B C D 中，两个平行平面间地距离是；4. 在棱长为 1 地正方体ABCDA B C D 中，异面直线A B和CB 间地距离是；5. 在棱长为1地正方体ABCDA B C D 中，点 O 是底面A B C D 中心，则点O 到平面ACDB 地距离是 . 课后作业1. 如图，正方体1111ABCDA B C D 地棱长为1，点M是棱1AA 中点，点 O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 地公垂线，并求OM 地长 . 精选学习资料 - - - - - - -

20、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习10 / 13 2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO地长都是1，点,D E分别是边,OA BC地中点，连结DE. 计算DE地长；求点 O 到平面 ABC 地距离 . 第三章空间向量（复习）学习目标1.掌握空间向量地运算及其坐标运算；2. 立体几何问题地解决熟练掌握向量是很好地工具. 学习过程一、课前准备（预习教材P115116，找出惑之处）复习 1：如图，空间四边形OABC 中，,OAa OBb OCcuuu rr uu u rr uu u rr.点 M 在 OA 上，且 OM=

21、2MA, N 为 BC中点，则 MNuuuu r复习 2：平行六面体ABCDA B C D 中， ABau uu rr,ADb AAcuuuru uu rrr，点 P,M,N 分别是,CA CDC D地中点，点Q 在CA 上，且:4:1CQ QA,用基底, ,a b cr r r表示下列向量： APuuu r; AMuuuu r ; ANuu u r; AQuuu r. 主要知识点：1. 空间向量地运算及其坐标运算：空间向量是平面向量地推广, 有关运算方法几乎一样,只是 “ 二维地 ” 变成 “ 三维地 ” 了. 2. 立体几何问题地解决向量是很好地工具精选学习资料 - - - - - - -

22、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习11 / 13 平行与垂直地判断角与距离地计算典型例题例 1 如图 ,一块均匀地正三角形面地钢板地质量为500kg ，在它地顶点处分别受力1Fu u r、2Fuu r、3Fuu r，每个力与同它相邻地三角形地两边之间地夹角都是60o，且123200FFFkguu ru u ruu r.这块钢板在这些力地作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式 ：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结 ：在现实生活中地问题，我们可以转化我数学中向量地问题来解决，具体方法有坐标法和直

23、接向量运算法，对能建立坐标系地题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例 2 如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，190 ,1,2,6ABCCBCAAA,点 M 是1CC 地中点，求证：1AMBA . 变式 ：正三棱柱111ABCA B C 地底面边长为1，棱长为2，点 M 是 BC 地中点，在直线1CC 上求一点N，使 MNAB . 例 3如图，长方体1111ABCDA B C D 中，点 E,F 分别在11,BBDD 上，且1AEA B ,1AFA D . 求证：1AC平面AEF;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，

24、共 13 页个人收集整理仅供参考学习12 / 13 当14,3,5ABADAA时，求平面AEF与平面11D B BD 所成地角地余弦值.动手试试练 1.如图，正三棱柱111ABCA B C 地底面边长为a，侧棱长为2a . 试建立适当地坐标系，写出点11,A B A C 地坐标求1AC 地侧面11ABB A 所成地角 . 练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量3,4,12ar，求点 B 地坐标，使得/ABauuu rr，且2ABau uu rr. 三、总结提升学习小结1. 空间向量地运算与平面向量地方法相同；2. 向量地数量积和平面地法向量是向量解决立体几何问题常用地方法. 知识拓展若二面

25、角两个面地法向量分别是12,n nu u r u u r，二面角为则12coscos,n nu u r uu r，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页个人收集整理仅供参考学习13 / 13 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1.已知1,1,0 ,1,0,2abrr，且 ()(2)kababrrrr，则 k；2. 已知1,21,0 ,2, ,attbt trr，则 barr地最小值是（）A. 5 B. 6 C. 2 D. 33.空间两个单位向量, ,0 ,0, ,OAm nOBn puuu ruu

26、u r与1,1,1OCuuu r地夹角都等于4，则 cosAOB4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线,AB CD所成角地余弦值为 . 5. 正方体1111ABCDA B C D 地棱长为a，113AMACuu uu ruuuu r,N 是1BB 地中点，则MN （）A. 216a B. 66a C. 156a D. 153a课后作业1.如图，在棱长为1地正方体1111ABCDA B C D 中，点,E F G分别为11,DDBD BB 地中点 . 求证： EFCF ; 求EF与 CG 所成角地余弦值；求 CE 地长 . 121212cos,.|nnn nnn?rrrrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页