2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§6.3　等比数列（试题部分） .docx

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1、6.3等比数列基础篇固本夯基【基础集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.Sn是正项等比数列an的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6答案A2.在数列an中,满足a1=2,an2=an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若a6=64,则S7的值为()A.126B.256C.255D.254答案D3.已知an是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列1an的前n项和为Tn,则T5=()A.3116B.31C.158D.7答案A4.已知正项等比数列an满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列an的前n项和Sn=.答案2n+1-25

2、.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.解析(1)证明:a1=1,Sn+1=4an+2,a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2,b1=a2-2a1=3,当n2时,Sn=4an-1+2,Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1).又bn=an+1-2an,bn=2bn-1,n2,bn是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知:bn=an+1-2an=32n-1,an+12n+1-an2n=34,数列an2n是首项为1

3、2,公差为34的等差数列,an2n=12+(n-1)34=34n-14,an=(3n-1)2n-2.6.已知Sn为数列an的前n项和,且2Sn=3an-2(nN*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求数列b2n的前n项和Tn.解析(1)2Sn=3an-2,当n=1时,2S1=3a1-2,解得a1=2;当n2时,2Sn-1=3an-1-2,2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,2an=3an-3an-1,an=3an-1,数列an是首项为2,公比为3的等比数列,an=23n-1,Sn=2(1-3n)1-3=3n-1.(2)由(1)知Sn=3n-1,bn=log3(Sn+

4、1)=log33n=n,b2n=2n,Tn=2+4+6+2n=n(2+2n)2=n2+n.7.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+(为常数).(1)试探究数列an+是不是等比数列,并求an;(2)当=1时,求数列n(an+)的前n项和Tn.解析(1)因为an+1=2an+,所以an+1+=2(an+).又a1=1,所以当=-1时,a1+=0,数列an+不是等比数列,此时an+=an-1=0,即an=1;当-1时,a1+0,所以an+0,所以数列an+是以1+为首项,2为公比的等比数列,此时an+=(1+)2n-1,即an=(1+)2n-1-.(2)当=1时,由(1)知an=2n-1,所

5、以n(an+1)=n2n,Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,-得:-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=2n+1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2.所以Tn=(n-1)2n+1+2.考点二等比数列的性质8.已知数列an为等比数列,且a1a13+2a72=4,则tan(a2a12)的值为()A.3B.-3C.3D.-33答案A9.在等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则a2a16a9的值为()A.2B.-2C.2D.-2或2答案D10.已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,则

6、()A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1答案A综合篇知能转换【综合集训】考法一等比数列基本量运算的解题技巧1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列an是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项,则b3+b4b4+b5的值为()A.12B.4C.2D.2答案A2.(2019湖北荆州3月联考,4)已知数列an为等差数列,且2a1,2,2a6成等比数列,则an的前6项的和为()A.15B.212C.6D.3答案C3.(2018河南开封一模,5)已知等比数列an的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=()A.12B.22C.2D.2答案A4.(20

7、18陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则3S3S6=()A.134B.1312C.94D.1112答案C考法二等比数列的判定与证明5.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各

8、应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=507B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=507C.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且a=507D.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且c=507答案D6.(2019河南濮阳重点高中联考,17)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.解析(1)易知q0.当q=1时,Sn=na1.当q1时,Sn=a1+a2+an,qSn=a1q+a2q+anq=a2+a3+an+anq,(1-q

9、)Sn=a1-anq,Sn=a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q.综上,Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q,q1.(2)证明:假设q1时,数列an+1是等比数列.则(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),化为a1(q-1)2=0,易知a10,解得q=1,与q1矛盾,因此假设不成立,故原结论成立,即q1时,数列an+1不是等比数列.【五年高考】考点一等比数列的有关概念及运算1.(2019课标,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.

10、2答案C2.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B3.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.3

11、2fB.322fC.1225fD.1227f答案D4.(2019课标,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.答案12135.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=.答案16.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.答案327.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.答案3n-18.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a

12、5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出.(2)求

13、特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.9.(2016课标,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,

14、于是an=11-1n-1.(6分)(2)由(1)得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.(12分)方法指导(1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1与an的关系式,要证数列an是等比数列,关键是得出an+1与an之比为常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论列方程即可求出.考点二等比数列的性质10.(2016课标,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案6411.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和

15、等于.答案2n-1教师专用题组考点一等比数列的有关概念及运算1.(2013课标,3,5分)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案C2.(2012课标,5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D3.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案14.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2

16、a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+en4n-3n3n-1.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)证明:由(1)可知,an

17、=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1).由e2=1+q2=53,解得q=43.因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn-1q-1,故e1+e2+en4n-3n3n-1.5.(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-

18、1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=3,n=1,3n-1,n1.(2)因为anbn=log3an,所以b1=13,当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=13;当n1时,Tn=b1+b2+b3+bn=13+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)31-n=136-6n+323n,所以Tn=1312-6n+343n(n1).经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=

19、1312-6n+343n(nN*).6.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)证明:由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an1,

20、则()A.a1a3,a2a3,a2a4 C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B8.(2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列an的首项为a1,公差d0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2020届天津杨村一中第一次月考,2)等比数列an的前n项和为Sn,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,则S12=

21、()A.15B.30C.45D.60答案C3.(2020届山东济宁二中10月月考,11)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为()A.20%;369B.80%;369C.40%;360D.60%;365答案A4.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列an中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,

22、log2q=()A.14B.-14C.18D.-18答案A5.(2019湖南衡阳一模,8)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.8答案D6.(2019 53原创冲刺卷三,5)已知数列an为正项等比数列,a2=2,a3=2a1,则a1a2+a2a3+anan+1=()A.(2+2)1-(2)nB.(2+2)(2)n-1 C.2(2n-1)D.2(1-2n)答案C7.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+,则=()A.-2B.-1C.1D.2答案A8.(2019 53原创冲刺卷八,5)已知等比数

23、列an满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1a2an取到最大值时,n的值为()A.3B.4C.3或4D.5答案C9.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,7)设Sn是等比数列an的前n项和,S4=5S2,则a52a3a8的值为()A.12B.2C.2或-1D.12或-1答案D二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)已知各项均为正数的等比数列an,a11,0q2 019成立的n的最小值是.答案11四、解答题(共50分)14.设数列an的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+1,在下列两个条件:a1=-1,a2=3中选择一个,求数列an的通项公式并求其前n项和.解析若选择条件a

24、1=-1,由于an+1=2Sn+1,当n2时,an=2Sn-1+1,两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an,又a2=2S1+1=-1,数列a2,a3,an是首项为-1,公比为3的等比数列,则an=a23n-2=-3n-2,n2,an=-1,n=1,-3n-2,n2,又当n=1时,S1=a1=-1,当n2时,Sn=a1+a2+a3+an=(-1)+(-1)+(-1)3+(-1)3n-2=(-1)+(-1)(1-3n-1)1-3=-1+1-3n-12=-12-3n-12,又当n=1时,S1=-12-302=-1也符合上式,因此Sn=-12-3n-12,nN*.若选择条件a2=3,a2

25、=3,a2=2S1+1=3,S1=1,即a1=1.an+1=2Sn+1,n2时,an=2Sn-1+1,an+1-an=2an,即an+1=3an,又a2a1=31=3,数列an是首项为a1=1,公比为3的等比数列,an=a13n-1=3n-1,Sn=1-3n1-3=12(3n-1)=123n-12.15.(2020届山东济宁二中10月月考,20)已知an是递增的等差数列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,数列bn的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2(nN*).(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=anbn(nN*),求数列cn的前n项和Tn.解析(1)易得方程x2-5x+6=

26、0的两根为2,3,则由题意,得a2=2,a4=3.设等差数列an的公差为d,则a4-a2=2d,d=12.从而a2=a1+d=2,a1=32.数列an的通项公式为an=32+(n-1)12=n2+1.Sn=2bn-2,当n2时,Sn-1=2bn-1-2,-得,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)=2bn-2bn-1,bn=2bn-1(n2).又b1=S1=2b1-2,b1=2.bn是以2为首项,2为公比的等比数列,bn=22n-1=2n.(2)由题意及(1)得cn=n2+12n=(n+2)2n-1,Tn=(1+2)20+(2+2)21+(3+2)22+(n+1)2n-2+(

27、n+2)2n-1,即Tn=320+421+522+(n+1)2n-2+(n+2)2n-1,2Tn=321+422+523+(n+1)2n-1+(n+2)2n,-得-Tn=3+21+22+23+2n-2+2n-1-(n+2)2n,-Tn=3+2(1-2n-1)1-2-(n+2)2n=1-(n+1)2n,Tn=(n+1)2n-1.16.(2019江西红色七校联考,17)已知数列an为等差数列,Sn为an的前n项和,2a2+a5=a8,S5=25.数列bn为等比数列,且bn0,b1=a1,b22=a1a5.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)记cn=4(2log3bn+3)an,其前n项和为Tn

28、,求证:Tn43.解析(1)设数列an的公差为d,则由2a2+a5=a8,S5=25得2(a1+d)=3d,5a1+542d=25,解得a1=1,d=2,所以an=2n-1,所以a1=1,a5=9.设bn的公比为q,因为b1=a1=1,b22=a1a5=q2,bn0,所以q=3,则bn=3n-1.(2)证明:由(1)得cn=4(2log3bn+3) an=4(2n+1)(2n-1)=212n-1-12n+1,所以Tn=21-13+13-15+12n-1-12n+1=21-12n+1,易知Tn随着n的增大而增大,所以TnT1=21-13=43.17.(2019安徽六安3月联考,17)已知数列an

29、的前n项和为Sn,a1=1,an0,Sn2=an+12-Sn+1,其中为常数.(1)证明:Sn+1=2Sn+;(2)是否存在实数,使得数列an为等比数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解析(1)证明:an+1=Sn+1-Sn,Sn2=an+12-Sn+1,Sn2=(Sn+1-Sn)2-Sn+1,Sn+1(Sn+1-2Sn-)=0,an0,Sn+10,Sn+1-2Sn-=0,Sn+1=2Sn+.(2)存在.Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn-1+(n2),相减得an+1=2an(n2),an从第二项起成等比数列,S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,a2=1+0,得-1,an=1,n=1,(+1)2n-2,n2,若使an是等比数列,则a1a3=a22,2(+1)=(+1)2,=1,经检验,符合题意.故存在实数,使得数列an为等比数列,的值为1.