2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§6.2　等差数列（试题部分） .docx

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1、6.2等差数列基础篇固本夯基【基础集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列an中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列an的公差为()A.-3B.-52C.-2D.-4答案D2.已知在等差数列an中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+an,且Sk=66,则k的值为()A.9B.11C.10D.12答案B3.设等差数列an满足3a8=5a15,且a10,Sn为其前n项和,则数列Sn的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S26答案C4.已知数列an满足a1=12,且an+1=2an2+an.(1)求证:数列1an是等差数列;(2)若bn=anan

2、+1,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)证明:易知an0,an+1=2an2+an,1an+1=2+an2an,1an+1-1an=12,又a1=12,1a1=2,数列1an是以2为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1)知,1an=2+12(n-1)=n+32,即an=2n+3,bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4,Sn=414-15+15-16+1n+3-1n+4=414-1n+4=nn+4.考点二等差数列的性质5.设Sn是等差数列an的前n项和,若a6a5=911,则S11S9=()A.1B.-1C.2D.12答案A6.(2018河北唐山第二次模拟,7)设an是任意等差

3、数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D7.已知数列an是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若S2 0172 017- S1717=100,则d的值为()A.120B.110C.10D.20答案B8.在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.答案749.已知An及Bn是等差数列an、bn的前n项和,且AnBn=3n+14n+1,则a11b11=.答案648510.已知数列an是等差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求

4、项数;(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.解析(1)由已知得a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88,a1+an=884=22.Sn=286,n(a1+an)2=286,11n=286,n=26.(2)解法一:设项数为2k+1,则a1+a3+a2k+1=44=k+12(a1+a2k+1),a2+a4+a2k=33=k2(a2+a2k),又a1+a2k+1=a2+a2k,k+1k=4433,k=3,项数为7,中间项为a1+a2k+12=11.解法二:记等差数列an的

5、中间项为a中,奇数项和为S奇,偶数项和为S偶,前n项和为Sn.根据题意得S偶+S奇=Sn,S奇-S偶=a中,Sn=77,a中=11,又na中=Sn,n=7.综合篇知能转换【综合集训】考法一等差数列的判定与证明1.(2018山东济宁一模,11)设数列an满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2且nN*),则a18=()A.259B.269C.3D.289答案B2.(2019河北冀州模拟,9)已知an,bn均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由an,bn的公共项组成新数列cn,则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C3.设数列

6、an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;(2)证明数列bn2n为等差数列,并求bn的通项公式.解析(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1适合上式,所以an=2n-1(nN*).(2)因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即bn+12n+1-bn2n=2.又b121=1,所以bn2n是首项为1,公差为2的等差数列,所以bn2n=1+2(n-1)=2n-1.所以bn=(2n-1)2n.考法二等差数列前n项和的

7、最值问题4.(2018江西赣中南五校联考,4)在等差数列an中,已知a3+a80,且S90,则S1、S2、S9中最小的是()A.S5B.S6C.S7D.S8答案A5.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=9,S99-S55=-4,则Sn取最大值时的n为()A.4B.5C.6D.4或5答案B6.(2018湖南永州三模,11)已知数列an是等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:a10=0;S10最小;S7=S12;S20=0.其中一定正确的结论是()A.B.C.D.答案C7.(2018广东深圳期末,14)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1

8、=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n=.答案6【五年高考】考点一等差数列的有关概念及运算1.(2016课标,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案C2.(2018课标,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B3.(2017课标,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C4.(2017课标,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a

9、3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案A5.(2019课标,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n答案A6.(2019课标,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则S10S5=.答案47.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.答案an=6n-38.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27

10、,则S8的值是.答案169.(2019北京,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案0;-1010.(2018课标,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.11.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公

11、差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=bn+12-bn2,nN*,求证:数列cn是等差数列;(2)设a1=d,Tn=k=12n(-1)kbk2,nN*,求证:k=1n1Tk12d2.证明(1)由题意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2n-12+b2n2)=2d(a2+a4+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1).所以k=1n1Tk=12d2k=1n

12、1k(k+1)=12d2k=1n1k-1k+1=12d21-1n+10,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案B3.(2013课标,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案C4.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是.答案205.(2014课标,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数,(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.解析(

13、1)证明:由题设anan+1=Sn-1,知an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)4=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得an为等差数列.思路分析(1)已知anan+1=Sn-1,用n+1代替n得a

14、n+1an+2=Sn+1-1,两式相减得结论.(2)利用a1=1,a2=-1,a3=+1及2a2=a1+a3,得=4.进而得an+2-an=4.故数列an的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项公式,进而求出an的通项公式,从而证出等差数列.方法总结对于含an、Sn的等式的处理,往往可转换为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.考点二等差数列的性质6.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.答案57.(2013课标,16,5分)等差数列an的前n项和为Sn.已知S10=0,S1

15、5=25,则nSn的最小值为.答案-49【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共40分)1.(2020届云南陆良第二次教学质量摸底考,3)已知an为等差数列,若a3+a4+a8=12,则S9=()A.24B.27C.36D.54答案C2.(2020届四川宜宾四中开学考,4)已知等差数列an中,a2、a2 016是方程x2-2x-2=0的两根,则S2 017=()A.-2 017B.-1 008C.1 008D.2 017答案D3.(2020届河北邯郸大名一中第六周周测,4)设an是等差数列,则下列结论一定正确的是()A.若a1+a20,则a2+a30B.若a1+a30,则a2+a30C.若0a

16、1a1a3D.(a2-a1)(a2-a3)0,(S8-S5)(S9-S5)|a8|D.|a7|a8|答案D7.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列an的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+|a10|=()A.70B.58C.51D.40答案B8.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列an的前n项和,S2 018S2 016,S2 017S2 018,则Sn0时n的最大值是()A.2 017B.2 018C.4 033D.4 034答案D二、多项选择题(每题5分,共10分)9.(改编题)设等差数列an满足a3+a7=36,a4a6=275,

17、则()A.an=7n-17B.an=-7n+53C.anan+1的最小值为-12D.anan+1无最小值答案ABC10.(改编题)记Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6,则()A.an=(-2)nB.Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列C.an=-2nD.Sn+1,Sn,Sn+2不成等差数列答案AB三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届河北邯郸大名一中周测,14)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=3,S4=16,则数列an的公差d=.答案212.(2019上海嘉定(长宁)二模,11)已知有穷数列an共有m项,记数列an的所有项的和为S(1),第二项及以后所有项

18、的和为S(2),第n(1nm)项及以后所有项的和为S(n),若S(n)是首项为1,公差为2的等差数列的前n项和,则当1nm时,an=.答案-2n-113.(2018河南六市第一次联考,16)已知正项数列an的前n项和为Sn,若an和Sn都是等差数列,且公差相等,则a2=.答案34四、解答题(共25分)14.(2020届四川宜宾四中开学考,18)已知数列an的首项a1=1,2anan+1=an-an+1(nN*).(1)证明:数列1an是等差数列;(2)设bn=anan+1,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn12.证明(1)由于a1=1,2anan+1=an-an+1,显然anan+10,所以

19、两边同除以anan+1可得,1an+1-1an=2,所以数列1an是1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,1an=1+(n-1)2=2n-1,所以an=12n-1.所以bn=anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以Sn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+10且2Sn=an2+an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若an0(nN*),令bn=1an(an+2),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)当n=1时,2S1=a12+a1=2a1,又a10,则a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=an2+an2-an-12+an-12,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1,an=(-1)n-1或an=n.(2)an0,an=n,bn=1n(n+2)=121n-1n+2,Tn=121-13+12-14+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).