2022年全国中考数学压轴题全解全析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载20XX 年全国中考数学压轴题全解全析21、 （湖南郴州卷）已知抛物线2yaxbxc经过5 3(3 3)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点， 直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图） 是否存在点Q， 使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关

2、系？为什么？解 （1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（2）存在设Q点 的 坐 标 为()mn， 则225333nmm， 要 使O C PP B Q， 则 有3333nm，即225 3333333mmm，解之得，122 32mm，当13m时，2n，即为P点，所以得(23 2)Q，要使OCPQPB，则有3333nm，即225 3333333mmmE A Q B P C O y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下

3、载解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(23 2) (3 33)，（3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(23 2)，时，30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOA即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA，又因为QPOPQAOA，30POQAOQ，所以OQAOQP点评 本题是一道涉及函数、相似、三角等知识的综合题，解决第3 题的

4、关键在于通过观察得出对结果的合理猜想在进行证明，难度应该不会很大。22、 （湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线232 3333yxx的图象与x轴分别交于AB，两点，与y轴交于C点，M经过原点O及点AC， 点D是劣弧OA上一动点 （D点与AO，不重合）（1）求抛物线的顶点E的坐标；（ 2）求M的面积；（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG，试探究当点D运动到何处时，直线GA与M相切，并请说明理由解 （1）抛物线232 3333yxx23321333xxyECMAFGDOxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习

5、必备欢迎下载234 3133xE的坐标为4 313，（说明：用公式求E点的坐标亦可） （2）连AC；M过90AOCAOC，AC为O的直径而33OAOC，32ACr23MSr（3）当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切理由：在RtACO中，33OAOC，3tan33ACO6030ACOCAO，点D是OA的中点ADDO30ACGDCOtan301OFOC，60CFO在GAF中，22AFFG，60AFGCFOAGF为等边三角形60GAF90CAGGAFCAO又AC为直径，当D为OA的中点时，GA为M的切线点评 本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第 3 小

6、问时可以先自己作图来确定D 点的位置。yECMAFGDOxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载23、 （湖南永州卷）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD交小圆于MN，两点，大圆的弦AB切小圆于点C，过点C作直线CEAD，垂足为E，交大圆于FH，两点（1）试判断线段AC与BC的大小关系，并说明理由（2）求证：FC CHAE AO（3）若FCCH，是方程22 540 xx的两根（CHCF） ，求图中阴影部分图形的周长解 （1）相等连结OC，则COAB，故ACBC（2）由ACHFCB，得2AC

7、CBFC CHAC，又由ACEAOC，得2ACAE AOFC CHAE AO（3）解方程得：51CH，51CF，5(51)1CE，242ACAC，在RtACE中，1sin2CEAAC，30A，60120AOCCON，在ACO中，32tan2333COACA，4 3sin603ACAO，4 32 32 3333AMAOOM，弧CN长14 3239，2 32 3222 333ANAMOC，阴影部分周长4 322 39ACANCN点评 本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。A B C D E O N H M F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

8、总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载24、 （湖南张家界卷）在平面直角坐标系内有两点2 0A，102B，CB所在直线为2yxb，（1）求b与C的坐标（2）连结AC，求证：AOCCOB（3）求过A，B，C三点且对称轴平行于y轴的抛物线解析式（4）在抛物线上是否存在一点P（不与C重合） ，使得ABPABCSS，若存在， 请求出P点坐标，若不存在，请说明理由解 （1）以102B，代入2yxb1202b得：1b则有(01)C，（2）OCAB12OBOCOCOAA O CC O（3）设抛物线的解析式为2yaxbxc，以三点的坐标代入解析式得方程组：221101223(

9、 2)( 2)0211abcaabcbcc所以2312yxx（4）假设存在点()P xy，依题意有1| |211|2ABPABCABySSABOC，得：| | 1yOC当1y时，有23112xx即23202xx解得：1 23414x，y1AOB 1xC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载当1y时，有23112xx，即2302xx解得：30 x（舍去），432x存在满足条件的点P，它的坐标为：3341341111244， ，点评 此题综合性较强，4 个小题的坡度设置较好，区分度也把握地很好，是道考查学生

10、初中三年学习成果的好题，第4 小题中不要忘了绝对值，否则会导致少解。25、 （吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动， 到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动， 到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当01x时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围；（4）当02x时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象解 （1

11、）当01x时，2APx，AQx，212yAQ APx，即2yx（2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx，43x（3）当413x时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx，B C P O D Q A B P C O D Q A y321O12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载即32yx作OEAB，E为垂足当423x时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x，即3

12、2yx90180POQ或180270POQ（4）如图所示：点评 本题是一道颇有创新的动态问题，主要考查函数和几何知识，读懂和领悟题意是关键，综观近几年的重考数学试题。这类题的出现频率呈上升趋势，应予以关注26（吉林长春课改卷）如图，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为0108 4， ，顶点CD，在第一象限 点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点4 0E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）求正方形ABCD的边长（2）当点P在AB边上运动时，OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分

13、（如图所示），求PQ，两点的运动速度（3）求（ 2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标（4）若点PQ，保持（ 2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而增大； 沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小 当点P沿着这两边运动时，使90OPQ的点P有个321O12xy43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载（抛物线20yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa，解 （1）作BFy轴于F0108 4AB， ，86FBFA

14、，10AB（2）由图可知，点P从点A运动到点B用了 10 秒又1010101AB，PQ，两点的运动速度均为每秒1 个单位（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBFGAAPFAAB，即610GAt35GAt3105OGt4OQt，113410225SOQOGtt即231920105Stt19195323210ba，且190103，当193t时，S有最大值此时4763311051555GPtOGt，图yDACPBOEQx图O10t2028s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载点P的坐标为76 31155，（

15、 8 分）方法二：当5t时，1637922OGOQSOG OQ，设所求函数关系式为220Satbt抛物线过点6310 2852， ，1001020286325520.2abab，31019.5ab，231920105Stt19195323210ba，且190103，当193t时，S有最大值此时7631155GPOG，点P的坐标为76 31155，（4）2点评 本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

16、18 页学习必备欢迎下载27、 （山东青岛课改卷）如图， 有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和 EFG 叠放在一起（点 A 与点 E 重合） ，已知 AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O 是 EFG 斜边上的中点如图，若整个EFG 从图的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在EFG 平移的同时，点P 从 EFG 的顶点 G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点 F运动，当点P 到达点 F 时，点 P 停止运动， EFG 也随之停止平移设运动时间为x（s） ，FG 的延长线交AC 于 H，四边形 OAHP 的面积为y（cm2)（不考虑点P 与

17、G、F 重合的情况） （1）当 x 为何值时， OPAC ? （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与 ABC 面积的比为1324？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由（参考数据：114212996，115213225，116213456 或 4.4219.36，4.5220.25，4.6221.16）解 （1） RtEFG RtABC ，BCFGACEG，684FGFG864 3cm当 P 为 FG 的中点时， OP EG ，EG AC ，OPAC x 121FG2131.5（s） 当 x 为 1.5s 时， O

18、P AC （2）在 RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ， EFG AFH FHFGAFEFAHEGFHxAH3554 AH 54（ x 5） ，FH53（x5） 过点 O 作 OD FP ，垂足为D 点 O 为 EF 中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载OD21EG 2cmFP3x ，S四边形OAHPSAFH SOFP21AH FH21ODFP 2154（ x5） 53（x5）212（ 3x ）256x2517x3 （0 x3）（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP 面

19、积与 ABC 面积的比为13 24则 S四边形OAHP2413SABC256x2517x324132168 6x285x2500 解得 x125， x2 350（舍去）0 x3，当 x25（s）时，四边形OAHP 面积与 ABC 面积的比为1324点评 本题是比较常规的动态几何压轴题，第1 小题运用相似形的知识容易解决，第2 小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x 的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决。精选学习资料 - - - - - -

20、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载28、 （江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB，边1AD，且AB、AD 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合将矩形折叠，使点A 落在边 DC 上，设点A是点 A 落在边 DC 上的对应点（1）当矩形ABCD 沿直线12yxb 折叠时（如图1） ，求点A的坐标和b 的值；（2）当矩形ABCD 沿直线 ykxb 折叠时， 求点A的坐标（用k 表示） ；求出 k 和 b 之间的关系式； 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图 2、3、4 所示的三种情形，

21、请你分别写出每种情形时k 的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上）k 的取值范围是； k 的取值范围是； k 的取值范围是；解 （1）如图答5，设直线12yxb 与 OD 交于点 E，与 OB 交于点 F，连结A O，则OE = b，OF = 2b，设点A的坐标为（ a，1）因为90DOAA OF，90OFEA OF，所以DOAOFE，所以 DOAOFE所以DADOOEOF，即12abb，所以12a所以点A的坐标为（12， 1） 连结A E，则A EOEb在 RtDEA中，根据勾股定理有222A EA DDE，即2221()(1)2bb，解得58b（2）如图答6，设直线ykxb 与 OD

22、 交于点 E，与 OB 交于点 F，连结A O，则OE = b，bOFk，设点A的坐标为（ a，1） 因为90DOAA OF，90OFEA OF所以DOAOFE，所以 DOA OFE所以DADOOEOF，即1abbk，所以ak所以A点的坐标为（k，1） （图 4）yx( )ODCBA（图 3）yx( )ODCBA（图 2）ABCDO( )xy（图 1）yx( )ODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载连结A E，在 RtDEA中，DAk，1DEb，A Eb因为222A EA DDE ，所以22

23、2()(1)bkb所以212kb在图答 6 和图答 7 中求解参照给分（3）图 13 2中：21k；图 133 中：1k23 ；图 134 中：230k点评 这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。yx( )ODCBAEFAG（图答 6）yx( )ODCBAEFA（图答 7）（图答 5）yx( )ODCBAEFA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载29、 （江西课改卷）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：

24、如图 1，在正三角形ABC 中， M、N 分别是 AC、 AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若 BON = 60，则 BM = CN. 如图 2，在正方形ABCD 中， M、N 分别是 CD、AD 上的点， BM 与 CN 相交于点O，若 BON = 90,则 BM = CN. 然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图 3，在正五边形ABCDE 中， M、N 分别是 CD、DE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，若 BON = 108，则 BM = CN. 任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：如图 4，在正 n（ n3）边形 ABCD

25、EF 中， M、N 分别是CD、DE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，问当 BON 等于多少度时，结论BM = CN 成立？（不要求证明）如图 5，在五边形ABCDE 中， M、N 分别是 DE、AE 上的点， BM 与 CN 相交于点 O，当 BON = 108时，请问结论 BM = CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （1）我选. 证明：解 （1）选命题证明：在图1 中，BON = 60， CBM +BCN = 60. BCN +ACN = 60， CBM =ACN. 又BC = CA， BCM = CAN = 60， BCM CAN. BM = CN.

26、图3ODENMCBA图2NM图1OABCDONMCBA图5ODENMCBA选命题证明：在图2 中，BON = 90， CBM +BCN = 90. BCN +DCN = 90， CBM =DCN. 又BC = CD， BCM =CDN = 90， BCM CDN. BM = CN. 选命题图2NM图1OABCDONMCBA图4图3NMODEEABCDONMFCBA图5ODENMCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载证明：在图3 中，BON = 108， CBM +BCN = 108 BCN +D

27、CN = 108， CBM =DCN.又BC = CD， BCM =CDN = 108， BCM CDN. BM = CN. （2） 当 BON = (2)180nn时，结论BM = CN 成立 . BM = CN 成立 . 证明：如图5，连结 BD、CE. 在 BCD 和 CDE 中， BC = CD， BCD =CDE = 108， CD = DE， BCD CDE. BD = CE， BDC =CED， DBC =ECD. OBC +OCB = 108， OCB +OCD = 108， MBC =NCD . 又DBC = ECD = 36，DBM =ECN. BDM ECN. 点评 本题

28、是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载30、 （辽宁卷）如图，已知2( 1 0)(0)2AE，以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x 轴于另一点B，过点B作BFAE交A于点F，直线FE交 x 轴于点C（1）求证：直线FC是A的切线；（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；（3）有一个半径与A的半径相等，且圆心在x 轴上运动的P若P与直线FC相交于MN，两点，是否存在这样的点P，使PMN

29、是直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）证明：连结AFAEBF1342，又ABAF3412又AOAFAEAE，AOEAFE90AFEAOEFC是O的切线（2）方法由（1）知22EFOEAEBF，ACCEABEF1122OCCE，2222CECO又222OEOCCE ，22222CECO由解得0OC（舍去）或2OC，直线FC经过202E，(2 0)C， 两点设FC的解析式：ykxb2022kbb解得2422kb直线FC的解析式为2242yx方法：CF切A于点F，90AFCEOC又ACFOCE，COECFA，OECOAFCFx y A B C O F E 精选学习资料 -

30、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载22122COCE即222CECO又222OEOCCE ，22222CECO由解得0CO（舍去）或2CO(2 0)C，（求FC的解析式同上） 方法AEBF，ACCEABEF1122OCCE2222CECOFC切A于点F，90AFCCOEACEOCE，COECFAOECOAFCF，22122COCE222CECO由解得：2CO，（求FC的解析式同上） （3）存在；当点P在点C左侧时，若90MPN，过点P作PHMN于点H，90MPN，PMPN，2cos452PHPMAFFC，PHAF

31、，CPHCAFPHCPAFCA，2213CP3 22CP，3 222PO，3 2202P，当点P在点C右侧P时，设90M P N， 过点P作P QM N于点Q， 则22P QP QPH，可知P与P关于点C中心对称，根据对称性得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载3 222OPOCCP3 2202P，存在这样的点P，使得PMN为直角三 角 形 ，P点 坐 标3 2202，或3 2202， 点评 本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3 小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方x y A B C O P F ME H N Q PNM1 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页