2022年人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》说课稿 2.pdf

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1、等差数列前 n 项和说课稿各位评委，您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第5个模块中第二章的2.3 等差数列的前 n 项和的第一节课。下面我从教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、评价分析等六个方面对本节课设计进行说明。一、教材分析1、教材的地位与作用（1） 等差数列的前 n 项和的公式是等差数列的定义、 通项、前 n项和三大重要内容之一。（2）推导等差数列的前n 项和公式提出了一种崭新的数学方法倒序求和法。（3）等差数列的前 n 项和公式的知识网络交汇力极强。通过公式，一方面可以建立起函数、方程、不等式之间的联系；另一方面，可以联系多个

2、知识点编制出灵活多变的数学综合性问题，有利于实现考能力、考数学综合素质的目标。2、教材处理根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般,由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。本节教 材 我 分 两 节 课 完 成 ， 第 一 节 课 主 要 学 习 等 差 数 列 的 前n项 和 的 公 式11()(1)22nnnn aan nssnad及的推导及其基本应用；第二节课主要学习等差数列的前n项和公式的一些性质及其应用。本节课是第一节课。3、教学重点、难点、关键教学重点：等差数列的前n 项和公式的推导和应用。教学难点：等差数列的

3、前n 项和公式的推导。教学关键：推导等差数列的前n 项和公式的关键是通过情境的创设，发现倒序求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数列模型，运用公式解决问题。4、教具、学具准备多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。二、教学目标分析根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页1、知识目标：（1）让学生在新旧知识的联系中完成认知，发现推导公式的思想与方法，并掌握公式。（2）能用数学建模的方法，正确

4、运用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的问题。2、能力目标：（1）自主探索能力创设问题情境，让学生自主观察、分析、探索、归纳和交流，培养学生的自主探索能力。（2）建模能力通过运用等差数列的前n 项和公式解决问题， 使学生自主获得数学建模的方法，培养学生建模、解模的能力。（3） 逻辑思维能力通过由浅入深的分析和循序渐进的变式问题的探讨及解决问题后的反思，培养学生的逻辑思维能力。3、品德目标：（1）科学发展观通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，引导学生走进“数学再创造”的情境中，逐步树立科学发展观。（2）理性思维通过有梯度的变式题目的分析，使学生养成“联系与转化”的理性思维。（3）优化思维品质

5、采用启发式引导法，使学生通过实践认识再实践再认识，提高辩证分析问题的能力，优化思维品质，培养健康的心理素质，使学生懂得只有通过自己不断亲身实践才能获得新知的道理。三、教法、学法分析1、教法分析按现代教育观，课堂教学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。本节课运用“引导探索发现法” ，采用“情境引入自主探究成果交流变式应用反思回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学，引导学生动手动脑去观察、分析、探索、归纳获得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并带着美好感情色彩的意向活动。2、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔” 。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于

6、用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。本节课根据教材特点，激“疑”生“趣” ，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的前 n 项和公式，在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学模型，获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。四、教学过程分析教学环节教 学 设 计设计意图复习回顾1、等差数列的定义：),2(*1Nnndaann，d为常数。2、等差数列的通项公式：*1(

7、1) ()naand nN。3、等差数列na中，若pqmn，则pqmnaaaa（p、q、m、*nN） 。通 过 复 习 等差数列的定义、 通项公式及等差数列的性质， 以旧悟新， 为学习新知识埋下伏笔。引入情境分析展示课题200 多年前，德国著名数学家Gauss（高斯） 10 岁读小学时，老师出了一道数学题：123100?据说，当其他同学忙于把100 个数逐项相加时，高斯经过思考后很快得出其结果是5050。师： “小高斯快速算出123100的和，成为千古美谈。 同学们，我们也能成长为高斯。这节课我们研究等差数列的前n 项和 ，就是与高斯比一比，我们也能快速算出123100，并且把这种方法推广到更

8、一般的等差数列前n 项和的求法中去。 ”这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）2.3 等差数列的前n 项和一般地 , 等差数列的前n 项和用ns表示 , 即123nnsaaaa现在分小组讨论探究下面的问题：1、1，2，3， 98， 99，100 从数列角度来看，这是什么数列？高斯用什么方法快速算出这个数列的和？2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前n 项和吗？3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n 项和：（1）计算12321?nnnaaaaaa（2）计算1111()(2 )(1) ?aadadand学生阅读、小组讨论时，

9、老师要眼观六路，耳听八方，对每个学生在自觉和小组讨论中遇到的难题，要进行适当点拔，使他们的学习走上正轨，然后各小组汇报研究性学习成果，进行全班交流。A 组小组长说： 1， 2，3， 98，99，100 是首项为1，末项为 100，公差为 1 的等差数列，高斯的算法是：（1+100）+（2+99）+ +（50+51）=101 505050。以问题激发兴趣，以问题产生好奇。课堂开始，我说：“小高斯快速算出 1+2+3+100 的和，成为千古美谈，同学们， 我们也能成为高斯。这节课我们研究 等差数列的前 n 项和 ，就是与高斯比一比， 我们也能快速算出1+2+3+100， 并且把这种方法推广到更一般

10、的等差数列前n 项和的求法中去。 ”学 生 的 情 绪高涨起来， 六即分组讨论探究下列四个问题。讨 论 后 各 小组汇报研究性成果。小组A 的成果主要利用了等差数列中与首末项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页教学环节教 学 设 计设计意图引入情境分析展示课题B组小组长说：也可以写成算式的形式：12505199100s10099515021s2101101101101101101s101(1 100)50502s。师：很好， 这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把

11、这种方法称为“倒序求和法”。这种倒序求和法运用了等差数学哪一个性质？B组小组长说： 运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质。 即在等差数列na中，若pqmn，则pqmnaaaa（p、q、m、*nN） 。小组B 的成果是把正整数列前 100 项顺序、倒序后两相加进行求和，在此处发现数列求和常用的方法倒序求和法。新课讲授推导公式教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n 项和吗？”C组小组长说：可以运用高斯算法倒序求和法可计算：12321nnnnsaaaaaa12321nnnnsaaaaaa1211212()()()()nnnnnsaaaaaaaa121322

12、3121nnnnnnaaaaaaaaaaaa12()nnsn aa，1() ( )2nnn aasD组小组长说：同理运用高斯算法倒序求和法也可计算：1111()(2) (1) nsaadandand1111(1) (2) ()nsandandada111122(1) 2(1) 2(1) 2(1) nsandandandand1(1) ()2nn nsnad我因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗？” 如此一问，引出了 “思维冲浪”，学生主体性自然张扬，给“再发现” 加了一把激情。小组C 的成果是把一般形式的等差数列前n项倒序相加进行求和，得出等差数列前n 项和的公式( )。

13、小组D 的成果是把用通项公式表示的等差数列前n 项倒序相加后求和， 得出等差数列的前n 项和的公式( )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页教学环节教 学 设 计设计意图新课讲授推导公式E组小组长抢答: 由下列算法也可以得到公式( )：1111()(2 )(1) nsaadadand()(2 )(1) nnnnnsaadadand11112()()()()nnnnnsaaaaaaaa1() ( )2nnn aas以1(1)naand代入也可得到公式()的形式。师：非常好。公式( )、()称为等差数列的前n 项和公式

14、，用这些公式可求得等差数列的前n 项和。引导学生比较得出：若已知等差数列首项为1a，末项为na，项数为n，可直接运用公式( )1()2nnn aas求和；若已知等差数列首项为1a，公差为d，项数为n，则直接运用公式()1(1)2nn nsnad求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式化共包含五个量1a，na，n，d，ns，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。思考： 比较两个公式( )、()，说说它们分别从哪些角度反映等差数列的性质？小组E 的成果是利用通项公式的变式， 倒序相加后进行求和同样可以推导出等差数列的前n 项和的公式( )、( )。这样，等差数列的前n 项和的公式的推导过程，就

15、成了学生研究性思维学习成果的展示过程， 在这个“过程” 中，学生学会了怎样学习和怎样思考， 在连续的变式推理过程中，创造性思维品质在不断的追问、 假设、探究和想象中培养起来。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页教学环节教 学 设 计设计意图讲授新课熟悉公式初步应用公式请同学们解下列一组题。计算下列各题：（1）123n。（2）135(21)n。（3）2462n。（4）123456(21)2nn。生：直接利用等差数列的前n 项的公式( )求得：（1）原式(1)2nn（这是正整数列之和） 。（2）原式2(121)2nnn（

16、这是正奇数列之和） 。（3）原式2(22 )2nnnn（这是正偶数列之和） 。师：第（ 4）题中的数列不是等差数列，但在解题时我们应仔细观察，由此及彼，由表及里，去伪存真，寻找规律，可能某局部成等差数列（学生在老师引导下会悟到） 。生甲：把正数项与负数项分开，正好组成正奇数列与正偶数列之差。221 3 5(21) (2 4 62 )()nnnnnn原式。生乙： 原数列虽然不是等差数列，但还有一个规律，相邻两个正整数之差为 1，即依次相邻两项结合都为1，可得另一解法：(1 2)(34)(56)(21)2 1 11nnnn个原式师：从以上解题过程反思，可以看到一些题目表面上好像没有什么规律，在解题

17、时只要我们仔细观察、寻找规律，是会找到好的解题方法的。1、推导出公式之后，通过常用的正整数列、 正奇数列、正偶数列的求和，使学生初步熟悉等差数列的前 n 项和的公式。2、通过练习（ 4） ， 使学生明白一些题目表面看来没有等差数列的规律，只要认真观察，深入分析，进行适当分组， 局部是符合等差数列规律的。 从中培养学生的分析能力， 提高拓展能力和创新能力， 也培养“联系与转化”的理性思维， 为进一步运用等差数列的前n 项和的公式解应用题打下知识基础和思想方法基础。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页教学环节教 学 设

18、计设计意图讲授新课建立数学模型解应用题例 1、求集合*|7 ,100Mm mn nNm且的元素个数， 并求这些元素的和。引导学生清楚地认识到，要找到解应用题的方法，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，这是寻找解题方法的关键。求等差数列的和，要特别注意数列的项数n 是什么。师：元素m的个数应根据什么条件确定？生：应根据m、n的范围、条件确定，由100m，得7100n，10021477n，又*nN，满足上面不等式的正整数n共有 14个,所以集合 M 的元素 m 共有 14个。师：请把这14 个元素从小到大列出来。生： 7，14，21， 98。师：这是一个什么数列？生：这

19、个数列是等差数列，记为na，其中首项17a，末项1498a，项数14n，公差7d，根据等差数列的前n 项和公式得：114()14(798)73522nn aas。答：集合M共有 14 个元素，它们的和等于735。师：可能用公式()解答吗？生：可以，有：1(1)14(141)147773522nn nsnad。师：比较一下，这两种方法有什么不同之处？生：用公式( )要先求出na，再运用公式。用公式()不需求na就可以直接运用公式，显然用公式()方法简单。1、在应用等差数列的前n 项和的公式解应用题时，使学生学会运用理论联系实际的方法抽象出数量关系， 建立相应的数学模型， 即等差数列模型， 从而获

20、得解题方法，培养学生学数学、用数学的意识和能力。2、分别用公式( )、 公 式( )解答，使学生认识到掌握题目的数量关系后，可以从多角度去解应用题， 培养学生发散思维。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页教学环节教 学 设 计设计意图讲授新课建立数学模型解应用题例 2、2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001 年起用10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网，据测算，2001 年该市用于“校校通” 工程的经费为500 万

21、元， 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50 万元，那么从 2001 年起的未来10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？对此例题， 老师先启发引导， 然后让学生练习， 如有不懂再点拔。 实施“校校通”工程的经费， 每年是多少？总投入经费是多少？想一想这个问题的数量关系与我们所学过的哪些数学规律类似？500 万，50 万，未来 10 年的 “ 10 年” ，工程总投入等相当于数学理论中什么量？从中建立求解的数学模型。学生甲：根据题意，从2001 年起到 2010 年该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50 万，可以建立一个等差数列na，表示从2001 年

22、起每年投入的资金。其中1500,50,10adn。由公式()可知，投入金额为：1(1)10(101)10500507250()22nn nsnad万元。学生乙：也可以用公式( )求解：10500(10 1) 50950a，110()10(500950)7250()22nn aas万元。答：从2001 年起到 2010 年，该市在“校校通”工程中总投入资金7250万元。在 解 答 例2时， 经老师启发引导后，让学生先练后讲，巩固学生的解题程序， 强化应用意识，加深学生对解应用题必须要建立数学模型的重要性的认识，进一步掌握建立数学模型的方法。巩固练习1、求集合*|21,60Mm mnnNm且的元素

23、个数，并求这些元素的和。2、一位技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10km/h 开始，每隔 2s 速度提高20km/h。如果测试时间为30s，测试距离是多长？3、请同学们参考例1、例 2 和课堂练习题自己编写一道求等差数列前n项和的练习题。1、再次强化数学建模等解题程序。2、通过学生自己编题来练习，进一步巩固对等差数列的前n 项和的公式的理解，培养学生求异、 发散等思维能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页教学环节教 学 设 计设计意图归纳总结师：谁来总结一下，本节课学习了什么内容和方法？生： 1、本节

24、课学习了等差数列的前n 项和公式1() ( )2nnn aas1(1) ( )2nn nsnad2、学习了一种崭新的数学方法倒序求和法。师：总结得很好，我们还应注意以下几点：1、公式( )、()共有五个量，只要知道其中三个量，就可以求出其他两个量。这是下一节课要学习的内容。2、求等差数列的前n 项和，要特别注意公式中的项数n 是什么。3、解应用题时，必须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型，才能找到适当的解题方法。启发、引导学生归纳总结， 一方面可以了解学生听课接受能力的情况，另一方面可以培养学生归纳总结的能力， 使学生系统记忆本节课所学习的知识。布置作业1、课本53P习

25、题 2.3 第 2 题。2、自己编写一道求等差数列的前n 项和的练习题。3、写一篇学习“等差数列的前n 项和”的心得。4、预习：课本50P51P。1、布置与课堂例题同类型的习题做作业， 可以复习、巩固课堂学习的知识。2、通过学生自己编题和写小论文，让学生深一层理解课堂所学习的知识， 提高应用知识的能力， 这是当前教改的新措施。3、预习可以培养学生的自觉能力，使学生成为学习的主人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页教学环节教 学 设 计设计意图教学信息反馈五分钟测验如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往

26、上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120 支，这个 V形架上共放多少支铅笔？通 过 小 测 验检查学生对该节内容学习的情况，真实地反馈教学信息，从而在下一节课及时调控， 查漏补缺，提高教学质量。五、板书设计分析课题公式情境引入公式推导过程例 1 例 2 堂上练习布置课外作业公式写在开头课题之下，方便学生辨认公式、记忆公式和运用公式。把情境引入、公式推导过程及例1、例 2 安排在黑板中间，突出重点，有利于学生系统理解和掌握知识，培养学生的理性思维。整个黑板书写从左向右安排得整齐有序，给学生美的享受，使学生在愉快的气氛中接受知识。六、评价分析综观本节课教学有五大特色：1、站在数学科的整体

27、高度处理教材，问题的提出与解决融合于数学学习和研究的思维方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页法中，体现数学的科学价值和人文价值。2、本节课运用阅读、讨论、启发、引导发现法，通过情境引入激“疑”生“趣”，让学生的求知欲高涨起来， 使学生在自主学习中， 从“要我学”变为“我要学”，成为学习的主人，挖掘潜能，在动手动脑的过程中去探索、去创新，在学习中逐步形成科学发展观。3、本节课先尝试猜想，后推理证明，培养了学生的理性思维。4、本节课师生的共同活动始终在平等、融洽、愉悦的气氛中进行，学生得到了包括知识方法在内的多方面满足与发展，并共同感悟思潮的跌宕与情感的涌动，有利于学生自主发展的健康心理的养成。5、本节课突出数学方法的提出与形成，巧设变式练习，注意技能训练，教学重点突出，难点分散，循序渐进，水到渠成地突破难点。通过五分钟测试反馈的信息，说明本节课的设计和教法是非常恰当的，符合新课标的要求，教学观念从教学转变为导学。通过学生自主学习，收到了预期的效果，完成了各项教学任务，我认为是一次成功的教学。谢谢！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页