2022年人教版八年级数学全等三角形和轴对称辅助线的添加 .pdf

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1、DCBA【技巧】巧添辅助线：为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线，称之为辅助线.辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，进而引刃而解.目前为止，添加辅助线有以下几类：（供参考）1） “连接法”看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村. 2）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”，依据是全等变换中的“对折”3）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”4）遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段，会给我们带来两个 “惊喜” Rt和距离相等，所考知识点常常是角平分线的性质定理或

2、逆定理5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 【导学 P40 延伸训练】1）连接法看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村【例 1】如图，已知A=C=Rt，且AB=CD ，试证明AD=BC. 【练习】已知，如图AB=AC ，且 ABD= ACD.试证明 BD=CD. 2）等腰三角形中，可作底边上的高. 【例 2】如图， 已知 D、E

3、两点在线段BC上，AB AC ，AD AE ，试说明 BD=CE的理由 . 3）倍长中线【例 3】已知 ABC中， AB=5 ，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_. 【练习】 如图， ABC中，BD=DC=AC，E是 DC的中点， 求证： AD平分 BAE. 4）角平分线上的点向角两边引垂线段【例 4】如图，在四边形ABCD 中， BC BA,ADCD ，求证： BAD+ C=180A B C D O A B C D A B C E D EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页【练习】 如图 4， 在 ABC中

4、，BD=CD ， ABD= ACD,求证 AD平分 BAC. 5）截长补短【例 5】如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 【练习】如图，已知ABC 为等边三角形，其边长为k，DBC 为等腰三角形，BD=CD 且BDC=120 过点 D 作 PDQ=60，DP、DQ 分别交 AB、AC 于点 M、 N，记A MNC为x，ABCC为y. （1）如图 1，特别地，当BM=CN 时，易证BM+CN=MN.此时：()()()2AMNxCAMANMNAMANBMBNAMBMANCNABACk3ABCyCABACBCk,于是2233xkyk. （2）如图2，

5、当 PDQ绕点 D 旋转，使得DP 、DQ交线段 AB 、 AC于点 M 、 N时， （1）中的结论还成立吗？请说明. 【分析】当 PDQ从（ 1）中的特殊位置旋转至一般的情况时，通过 “截长补短” 我们可在图形左边补出一个与NCD全等的三角形 . 【解答】如图，延长AB至 E使得 BE=CN ，连接DE.因为 ABC为等边三角形，所以ABC= ACB=60 ; 又 BD=CD 且 BDC=120 ，从而 DBC= DCB=30 , 于是 ABD= ACD=Rt ，所以 DBE= DCN=Rt ; 在 DBE和 DCN中，BDCNDBEDCNBECN, 于是 DBE DCN ，所以 1=2，D

6、E=CN; 又 BDC=120 , 所以 EDN= 1+BDN= 2+BDN= BDC=120 , 又 PDQ=60,所以 EDM= NDM=60 ; CDBAA B C D A B C D P Q M N 图 1 A B C D M N P Q E 图 2 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页在 EDM 和 NDM 中，EDMNDMEDNDDMDM, 所以 EDM NDM ，所以 MN=ME; 而 ME=BM+BE 且CN=BE, 所以 ME=BM+CN,即 MN=BM+CN;所以()()()2AMNxCAM

7、ANMNAMANBMBNAMBMANCNABACk3ABCyCABACBCk,于是2233xkyk.故（ 1）中的结论仍然成立. （3）如图 3，当 PDQ 绕点 D旋转，使得DP 、 DQ交 BA 、AC的延长线于点M 、N时， （1）中的结论还成立吗？请说明. 旋转【例 6】已知： ABC中， BC=AC ，且 C=90 . 点 D为 AB的中点，DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F，当 MDN 绕点 D转动时 .（1）写出点 D到 ABC三个顶点的距离之间的数量关系; （2）试判断 DEF的形状 . 【作业】1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以

8、 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、CE 相交于点F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；A B C D Q N P M 图 3 A B C D M N E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

9、由。2、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页