2022年人教版九上数学第二十二章二次函数章节复习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第二十二章二次函数章节复习考点管理：一、相关概念及定义1、二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零。二次函数的定义域是全体实数。2、二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项。二、二次函数各种形式之间的变换1、二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，。2、二次函数由特殊到一般，可分为以

2、下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2。三、二次函数解析式的表示方法1、一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 为常数，0a） ；2、顶点式：2()ya xhk （ a，h，k为常数，0a） ；3、两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 。注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。四、二次函数2yaxbxc图象的画法1、五点绘图法：利用配方法将二

3、次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x 轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y轴的交点。五、几种特殊二次函数1、二次函数2axy的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载2、二次函数2yaxc的性质 3 、

4、二次函数2ya xh的性质4、二次函数2ya xhk 的性质六、抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点 1 、a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。 2 、对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa。特别地，y轴记作直线0 x。 3 、顶点坐标：），（abacab4422 4 、顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴

5、0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值 c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标

6、对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。七、抛物线cbxaxy2中，cba,与函数图像的关系1、二次项系数a二次函数2yaxbxc中， a 作为二次项系数，显然0a。 当0a时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时

7、，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大。总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小。 2 、一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴。 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧。 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧。总结起来，在a确定的前提下，

8、b决定了抛物线对称轴的位置。 3 、常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置。总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。八、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1 、公式法：abacabxacbxaxy442222，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载顶点

9、是），（abacab4422，对称轴是直线abx2。 2 、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是直线hx。 3 、运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。九、用待定系数法求二次函数的解析式1、一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。2、顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。3、交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x

10、，通常选用交点式：21xxxxay。十、直线与抛物线的交点 1 、y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c) 。2、与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2) 。3、抛物线与x轴的交点 : 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根。 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离。 4 、平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点。当

11、有2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根。 5 、一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点； 方程组无解时l与G没有交点。 6 、 抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故：acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122

12、121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载十一、二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情况1、关于 x 轴对称2yaxbxc关于 x 轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ； 2 、关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ； 3 、关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于原点对

13、称后，得到的解析式是2ya xhk ； 4 、关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 。 5 、关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。十

14、二、二次函数图象的平移 1 、平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2 、平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢

15、迎下载十三、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路1、三点式。（1）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（32，0） ， C（0，-3 ）三点，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式。2、顶点式。（1）已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1） ，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（ 3，1） ，求抛物线的解析式。3、交点式。（1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。（2）已知抛物线线与 x 轴两

16、个交点（ 4，0） ， （1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。4、定点式。（1）在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212axaxy经过 x 轴上一定点 Q ，直线2)2(xay经过点 Q,求抛物线的解析式。（2）抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4 ，求抛物线的解析式。（3）抛物线y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。5、平移式。（1）把抛物线y= -2x2向左平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k, 求此抛物线解析式。（2）抛

17、物线32xxy向上平移 , 使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6、距离式。（1）抛物线y=ax2+4ax+1(a 0) 与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m 0)与 x 轴交于 A、B两点，与轴交于 C点，且 AB=BC, 求此抛物线的解析式。7、对称轴式。（1）抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4) 与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎

18、下载（2）已知抛物线y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A在点 B左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA=43OC ，求此抛物线的解析式。8、 对称式。（1）平行四边形ABCD 对角线 AC在 x 轴上，且 A （-10 ，0） ，AC=16 ，D （2，6） 。AD交 y 轴于 E，将三角形ABC沿 x 轴折叠，点B到 B1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。（2）求与抛物线y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。9、切点式。（1）已知直线y=ax-a2(a 0) 与抛物线 y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。（2）直线 y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）, 求抛物线的解析式。10、判别式式。（1）已知关于X的一元二次方程（m+1 ）x2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。（2）已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x 轴上 , 求抛物线的解析式。（3）已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页