2022年研究报告生数学建模优秀论文C刘荆韩 .pdf

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1、个人资料整理仅限学习使用参赛密码 由组委会填写）第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛学校山东-青岛科技大学参赛队号C10426015 队员姓名1.刘邵星2.荆禄旭3.韩梦参赛密码 由组委会填写）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用第九届“华为杯”全国研究生数学建模竞赛题 目有杆抽油系统的数学建模及诊断摘要：本文主要研究有杆抽油系统的数学建模及诊断问题。针对问题一，本文从有杆抽油系统四连杆结构的几何关系和运动特点出发，首先建立了游梁的摆动方程，进而求得了悬点E 运动的数学模型式19），并根据题

2、给数据对模型进行了求解并得到了运动规律曲线如图3），最后与有荷载的附件 1的悬点位移数据进行了比较见表1）。针对问题二，首先利用分离变量法将Gibbs 波动方程拆分为位移函数和荷载函数，并对其进行傅里叶级数展开，得出了悬点处随时间变化的位移和荷载函数，求得了泵随时间变化的位移和荷载函数，进而计算出两口油井的泵功图数据表3、表4），绘制出了两油井的悬点示功图和泵功图图5、图6）。针对问题三，本文选择对第2问泵内气体判断）进行研究。首先对泵内气体影响情况进行了分析，然后给出了有效冲程的计算方法，在此基础上提出了泵内是否充气的判别算法，并根据所给数据求解判断出口井1泵内有气，口井 7泵内无气。针对问

3、题四，第一问中，首先分析了Gibbs 波动方程建立的过程，认为Gibbs 模型忽略了重力的影响，在Gibbs 模型的基础上加入了重力因素加以改进，得到了相应的位移和荷载函数式71、式72）。第二问中，通过抽油杆柱的摩擦功率得到了阻尼系数的求解公式，并给出了迭代求解阻尼系数的算法和迭代流程图 图9）。本问题的研究对提高抽油机泵效和产油量有重要的意义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用关键词 ：Gibbss 模型，阻尼系数，傅里叶系数，有效冲程1问题重述目前，开采原油广泛使用的是有杆抽油系统垂直

4、井，如图1）。电机旋转运动转化为抽油杆上下往返周期运动，带动设置在杆下端的泵的两个阀的相继开闭，从而将地下上千M深处蕴藏的原油抽到地面上来。通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况，如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等。要精确诊断油井的工作状况，最好采用泵功图。然而，泵在地下深处，使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。因此，通过数学建模，把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图统称为地下示功图）并最终确定泵功图，以准确诊断该井的工作状况，是一个很有价值的实际问题。请解决以下问题：问题一：光杆悬点运动规律电机旋转运动通过四连杆机构转变为抽油杆的垂直运动。假设驴头外轮廓线为部分圆弧、电机匀速运动，

5、悬点E下只挂光杆 光杆下不接其它杆，不抽油，通常用来调试设备）。请按附录4 给出四连杆各段尺寸，利用附件1 的参数，求出悬点 E的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件1 的悬点位移数据进行比较。问题二：泵功图计算请使用 Gibbs 模型，给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；附件1 是只有一级杆的某油井参数和悬点示功数据，附件2 是有三级杆的另一油井参数和悬点示功数据，利用它们分别计算出这两口油井的泵功图数据；并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图每口井绘一张图，同一井的悬点示功图与泵功图绘在同一张图上，

6、请标明坐标数据）。问题三：泵功图的应用 下面 2 小问选作一问。鼓励全做）1）建立 2 个不同的由泵功图估计油井产量的模型，其中至少一个要利用“有效冲程”；并利用附件1 和附件 2 的数据分别估算两口油井一天24 小时）的产液量。 单位：吨，这里所指的液体是指从井里抽出来的混合液体）2）如图 5C ）形式的泵功图表示泵内有气体，导致泵没充满。请建立模型或算法，以由计算机自动判别某泵功图数据是否属于泵内有气体的情况。并对附件 1、附件 2 对应的泵功图进行计算机诊断是否属于泵内充气这种情况。问题四：深入研究的问题 下面 2 小问选作一问。鼓励全做）1）请对 Gibbs 模型进行原理分析，发现它的

7、不足。在合理的假设下，重新建立抽油系统模型或对现有模型进行改进；并给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，包括：原始数据的处理、边界条件、初始条件、求解算法；利用附件1、附件 2 的数据重新进行计算；对计算结果与问题二的计算结果进行比较，分析你的模型的优缺点。2）Gibbs 模型在数学上可简化为“波动方程”：22222uuuactxt其中 a 为已知常数， c 称为阻尼系数，鉴于大多数的阻尼系数公式12是作了诸多假设后推出的，并不能完整地反应实际情况。如果能从方程本身和某些数据出发用数学方法估计参数c，贡献是很大的。对此，请你进行研究，详细给出计算 c 的理论推导过程并尽可能求出c。如果需

8、要题目之外的数据，请用字精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用母表示之并给出计算c 的推导过程。2模型假设1深井泵质量合格工作正常。2不考虑活塞在上下冲程中抽油杆柱所受到的摩擦力、惯性力、振动荷载和冲击荷载等的影响。3力在抽油杆中的传递是瞬时的，阀的起落也是瞬时的。4抽油设备在工作过程中不受沙、蜡、水和温度等因素的影响。5. 油层供液能力充足。3通用符号说明序号符号符号说明1 00为游梁初始摆角2 ww 为曲柄转动角速度3 HH为O到坐标横轴的距离4 EE为钢杆弹性模量5 rArA 为抽油杆柱在

9、 x 截面处的截面积6 II为O到坐标纵轴的距离。7 ESES 为任意时刻悬点位移8 JJ 为 J 对时间的导数9 为对时间的导数10 为游梁摆动的角速度11 为任意时刻游梁摆动的角加速度4问题一 ：光杆悬点运动规律4.1 问题分析题目要求根据附录4 给出的四连杆各段尺寸，利用附录1 的参数，求出悬点 E 的一个冲程的运动规律：位移函数、速度函数、加速度函数。并与有荷载的附件 1的悬点位移数据进行比较。有杆抽油系统的悬点运动的位移、速度和加速度，是抽油机结构设计及力学分析的重要运动参数。考虑到有杆抽油系统以游梁支点和曲柄轴中心的连接线做固定杆，以曲柄、连杆和游梁后臂为三个活动杆。我们可从有杆抽

10、油系统精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用四连杆机构的几何关系和运动特点出发，建立游梁的摆动方程，通过建立的游梁的摆动方程得出游梁摆角的变化规律，进而求解悬点E 的一个冲程的运动规律 位移函数、速度函数、加速度函数）建立相应的数学模型，然后联系到实际情况对模型进行简化、求解，最后利用所求结果与有荷载的附件1的悬点位移数据进行比较。4.2 有杆抽油系统四连杆运动函数计算4.2.1 游梁摆动方程的建立有杆抽油系统四连杆几何结构如图1 所示。假设曲柄沿顺时针方向做角速度为w的匀速周期运动。0t时刻，

11、曲柄滑块D 位于上顶点 0=）， AB平行于水平面，E 对应坐标原点 称为 E 的下死点）， E 的位移为0；D 运动到下顶点 =）时， E 的位移到达最大 称为 E 的上死点）； D 接着运动到上顶点 2=）时， E 又回到位移为0 的位置，完成一个周期即一个冲程）。 1图 1 有杆抽油系统四连杆几何结构图其 中 ：YO B，COD，OO M，MO D,OAa，OBb，BDL,ODJ,OOK,O Dr,H为O到坐标横轴的距离，I为O到坐标纵轴的距离。在OBD中，根据余弦定理可得：2222cos()LbJbJ 1）得2221cos2bJLbJ 由几何关系可得：22sincosJIrHr 3）精

12、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用1sincosIrtgHr 4.2.2 悬点位移函数游梁摆动时，因前、后臂转动的角度相等，对于任意时刻，游梁的角位移为0式中0为游梁初始摆角，即0t时刻游梁与纵坐标方向的夹角，故这里02。悬点E的运动情况可以看做图中A点的运动情况，故任意时刻悬点位移ES 为2221cos22EAbJLSSabJ 6）其中：22sincosJIrHr1sincosIrtgHr4.2.3 悬点速度函数将式2）两边同时对时间 t求导数，可得游梁摆动的角速度为cossinJJbJ 7

13、）其中： J 和为 J 和对时间的导数。由式 3）和式 4）得sin()Jwr 8）cos()wrJ 9）将式8）和式 9）带入式 7）得cossin()cos()sinJwrwrbJJ10）整理的得sinsinsinwrJbbJ 11）由几何关系不难得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用sinsinJK带入式 11）中，得游梁摆动的角速度为sinsinsinwrKbbJ 13）游梁摆动时，因前、后臂的角速度相等，故任意时刻悬点的速度EV 为sinsin=sinEAawrKbVVabJ14）

14、4.2.4 悬点加速度函数将式 13）两边同对时间 t 求导，整理得任意时刻游梁摆动的角加速度为22coscos2coscossin( +)w r KbbwrbJ15）游 梁 摆动 时 ， 因前 、后 臂 的 角速 度 相等 ， 故任 意 时刻 悬 点 的 速 度EAWWa为22coscos2coscossin( +)Ew r KbbwrWabJ16）对于一定型号的抽油机，其尺寸, , ,a b L H I r 是已知的，给定曲柄旋转的角速度 w或转速n，应用以上公式便可计算各运动参数。4.3 有杆抽油系统四连杆运动模型实际抽油机的/rL值是不可忽略的，特别式冲程长度较大时，忽略后会引起很大误

15、差，为此，本题中/1/ 4rL，这里我们把B点绕游梁支点的弧线运动近似的看做直线运动，则可把抽油机的运动简化为如下图所示的曲柄滑块运动。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用图 2 抽油机简化运动结构图0时，游梁与连杆的连接点B在B处，为距曲柄轴心最远的位置，相应于悬点E的下死点；时，B在B处，为距曲柄轴心最近的位置，相应于悬点E的上死点。在这种简化情况下我们对应的有+HO DBDLr 17）IOBb 18）将式17）和式 18）代回 4.3 中的相关公式，可以得到有杆抽油系统四连杆运动模型如下

16、：222122221221cos22sinsinsincoscos2coscossin( +)sincossin(19)cosEEEbJLSabJawr KbVbJw r KbbwrWabJJbrLrrbrtgLrrKbLrbtgL304.315,2.495,0.95,3.675,7.6rwtnwabrLn其 中 ： 几 何 关 系 如 图1YOB，COD，OO M，MO D,OAa，OBb，BDL,ODJ,OOK,O Dr；H为O到坐标横轴的距离；I为O到坐标纵轴的距离；ES 为悬点位移函数；EV 为悬点速度函数；EW 为悬点加速度函数。4.4 数据比较根据附录 4所给连杆的各段尺寸和附件1

17、的参数，在一个周期内，利用上述模型求得悬点处位移、速度和加速度的变化曲线为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用图 3 悬点的理论位移、速度及加速度曲线在一个周期内，利用公式 19）求得悬点处的理论位移 悬点的实际位移 ( m 1 1.7704 1.7780 2 1.7673 1.7350 3 1.6954 1.6450 4 1.5800 1.5500 5问题二：泵功图计算5.1 问题分析题目要求使用Gibbs 模型，给出由悬点示功图转化为泵功图的详细计算过程，在此基础上计算出这两口油井的泵功

18、图数据，并分别绘制出两油井的悬点示功图和泵功图。求泵功图的两个主要的前提就是要知道泵随时间变化的位移和荷载的函数，根据有杆抽油机的几何构造及工作原理，结合Gibbs 模型可以得到地面悬点随时间变化的位移和荷载函数，进而通过转换得到地下泵处随时间变化的位移和荷载的函数。可以考虑利用分离变量法将Gibbs 波动方程拆分为两个函数位移函数和荷载函数），并对位移函数和荷载函数进行傅里叶级数展开，利用题目中给出的地面悬点处随时间变换的位移和荷载的离散数据，求解出悬点处随时间变化的位移和荷载函数，进而得到泵处随时间变化的位移和荷载的函数，从而在此基础上计算两口油井的泵功图数据，并绘制出两油井的悬点示功图和

19、泵功图。5.2 Gibbs模型一级杆情况下泵功图的计算抽油杆的力学模型是一根具有粘滞阻尼的作纵向震动的细长圆杆。经推导，它的运动可用下列微分方程来描述：2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用22222( , )( , )( , )u x tu x tu x tactxt 20）其中：( , )u x t为抽油杆离地面悬点x深处在 t 时刻的位移； a为应力波在抽油杆中的传播速度；c为阻尼系数。5.2.1 波动方程求解要求解上述波动方程，前提就是利用波动方程的边界条件、初始条件以及连续性条件 用

20、于多级组合杆的抽油系统）。1边界条件诊断模型的边界条件是由抽油机几何运动特征决定的，可知：地面悬点边界条件：0( , ) |( )xu x tu t 21）泵边界条件：( , )( , )( )u L tau L tP tx22）2初始条件假设抽油机运行之前，抽油杆柱自由悬挂于已经充满原有的油管中，悬点从下死点开始运动：0( , ) |( )xu x tu t 23）0( , )|( )( )xrF x tL tWD t 24）其中：( )u t为实测光杆悬点位移函数，m ；( )L t为光杆悬点荷载函数，kn；rW 为抽油杆柱在流体中的重量，n。3连续性条件连续性条件主要针对油杆是不同直径的

21、组合杆和不同材料的混合杆时使用，在交界处油杆受力和油杆位移的连续性条件是：,1,2()()i ji jFF25）,1,2()()i ji juu26）4悬点位移和荷载方程的求解本文采用分离变量傅里叶变换法求解波动方程。将悬点动荷载函数( )D t及光杆位移函数( )u t展开成傅氏级数：01( )(cossin)2NnnnD tn tn t27）01( )(cossin)2NnnnU tn tn t28）根据附件 1 和 2 中给出的悬点处采集的离散的位移和荷载的数据，用下面的方法计算 4 个傅氏系数,nnnn，然后将傅氏系数带入到上面的悬点位移和荷载函数中。即得到悬点处位移和荷载的函数，进而

22、得到悬点处的示功图。下面以n为例来说明求解过程：实际中采集的数据是离散的，需要将( )D t和( )u t离散化，设在悬点处进行等时采样，采 样点 的 个数 为k， 本文取144。然后令t，2T，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用ddtd，T为周期，可得到：201( )cos(0,1,2,)nDn dtnN 用下面符号表示：2()ppDDk，2()ppUUk(31 采用梯形法则进行数值积分：0112120212122cos()cos()cos()cos()1222(1)2cos()cos(

23、)22nkknnnnDDDDkkkknknkDDkkk 由函数的周期性可得：0kDD ，cos0cos2n，因此：122cos()(0,1,2,)knppnDpnNkk(34 同理可求得其他三个傅氏系数：122sin()(1,2,)knppnDpnNkk(35 122cos()(0,1,2,)knppnUpnNkk (36 122sin()(1,2,)knppnUpnNkk (37 其中：为曲柄转角；为曲柄角速度；T为运动周期；N为傅氏级数所取项数，本文取10；p为从 0 到k各点序号；k为2周期内等分的份数，即离散化的采样点数，本文取144k；pD 和pU 为从附件中给出的数据中选取的采样点

24、对应的数据。将 4个傅氏级数带入到式 27）和28）中，即可得出悬点位移和荷载的函数，并可以通过MATLAB画出悬点位移和荷载的曲线。5.2.2 粘滞阻尼系数求解根据吉布斯关于粘滞阻尼系数的假设，本文推出用摩擦功来确立粘滞阻尼系数公式的方法 3 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用1122122(1)ln(/)sin(/ )cos(/ )CBBmBLaLaL aA38）112122422112ln(1)1ln4/yqi iiqiidmdAldlmBmmBmmdAaE其中：yd 为油管内径，

25、单位：m， d 为抽油杆的平均直径，单位：m；iA 为各级抽油杆的截面积，单位：2m；il 为各级抽油杆的长度：m；A为为抽油杆的平均截面积，单位：2m；为液体粘度，在本题中即为地面原油粘度，单位：.Pa s；L为抽油杆的总长度，单位：m；E为是抽油杆材料的弹性模量，单位：3/Nm；为是抽油杆材料密度，单位：3/kg m 。5.2.3 特殊函数和系数求解前面的求解过程给出了根据悬点测得的位移和荷载的数据推出悬点位移和荷载的函数，并可以通过MATLAB画出它们的曲线；然后又给出了井下的粘滞阻尼系数的求解方法及过程，下面进行求解泵的位移和荷载的函数，进而得出泵的示功图。首先以式 27）和式 28）

26、为边界条件，用分离变量法求解方程20）便可得出抽油杆任意深度x截面的位移随时间的变化。求解步骤如下：首先令( , )( )( )U x tXx T t分别为仅含 x 和 t 的函数，将其带入波动方程并整理可得：22( )( )( )( )( )( )TtCTtXxa T ta T tX x 39 ）上式每一侧仅含有一个独立变量，因而它等于一个常数，令其为2n，带入39）并将其分离成两个常微分方程：222( )( )( )0( )( )0nnTtCT ta T tXxX x 40）方程组 40）中1）式的周期解为( )intT te，带入方程组第一个等式可得方程40）的特解n：nnni 41 ）

27、式子中n和n为实数，其值为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用211()2nncna42）211()2nncna43）当0n时，00，方程组 40）变为：( )( )0( )0TtCT tXx44）其解为：( )( )T tX xx 45）方程组 40）中第二个等式解为谐波方程：( )sincosnnnnX xxx 46）综合以上各式，可求出方程40）的解为：1( , )()(sincos)intnnnnnu x txxx e47）再进过变换可得到一级杆的的情况下，抽油杆某一点的位移函数，

28、即Gibbs 方程的解读解为：001( , )( )cos( )sin)22Nnnnru x txOxn tP xn tEA由胡克定律，抽油杆柱任意深度x截面上的动荷载随时间的变化为：( , )( , )rU x tF x tEAx即一级杆的的情况下，抽油杆某一点的荷载函数为：01( , )( )cos( )sin2NnnnF x tEAOxn tP xn tEA所以综上所述，一级杆的情况下，抽油杆某一点的位移和荷载函数如下：1）位移函数：001( , )( )cos( )sin)22Nnnnru x txOxn tP xn tEA 48）2）荷载函数：01( , )( )cos( )sin2

29、NnnnF x tEAOxn tP xn tEA 49）其中：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用( )coshsinh)sin(sinhcosh)cos( )(sinhcosh)cos(coshsinh)sin( )sinh()cosh) sincosh()sinhnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrnnnnnnrOxxxxxxxP xkxxxxxxOxxxxEAxEA2222) cos( )cosh()sinh) cos(50)sinh()cosh) sin()

30、()nnnnnnnnnnnrnnnnnnnnrnnnnnrnnnnnnnrnnxxP xxxxEAxxxEAkEAEA上面各式中 : E为钢杆弹性模量；rA 为抽油杆柱在 x截面处的截面积；为曲柄的角速度。5.3 多级杆情况下泵的位移和荷载计算以上这一小节为考虑只有一级杆的时候的情况，但在实际中，抽油杆经常包含多个尺寸的多级杆，下面给出有多级杆的情况下，求泵的位移和荷载方程。5.3.1 傅里叶系数的求解设从悬点开始计算序号，各杆截面积分别为12,mA AA ；各杆长度分别为12, ,nl ll ；各杆的直径分别为12,nd dd ；傅里叶系数为,jnjnjnjn，其 中j表 示 与 系 数 有

31、关 的 抽 油 杆 段。 类 似 的 还 有(),(),(),()jnjjnjjnjjnjOxP xOxP x，其中左边的脚标j表示与系数有关的抽油杆段 在直径不同的两级抽油杆接头处，位移和荷载是连续的，所以可用第1j级抽油杆末端的位移和荷载，表示第j级抽油杆的边界条件。将式27）与式49）比较，可得第j级的抽油杆所用边界条件的傅里叶系数。1）位移的傅里叶系数：1010101jjjjjxEA 52）11()jnjnjOx53）11()jnjnjP x 54 ）2）荷载的傅里叶系数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 47

32、页个人资料整理仅限学习使用010jj 55）111()jnjjnjEAOx 56）111()jnjjnjEAP x 57 ）5.3.2 多级杆情况下泵的位移和荷载函数在 5.1 节中一级杆情况下某一点的位移和荷载函数的计算可推广到多级杆情况，在多级杆情况下，第j级抽油杆下端的位移和荷载函数为：1）位移函数001(, )()cos()sin22Njjjjjnjjnjnju x txOxn tP xn tEA58）2）荷载函数01(, )()cos()sin2NjjjjnjjnjnjF xtEAOxn tPxn tEA59）其中: ()(coshsinh)sin(sinhcosh)cos()(si

33、nhcosh)cos(coshsinh)sin()sinh()cosh)jnjjnnjjnnjnjjnnjjnnjnjjnjjnnjjnnjnjjnnjjnnjnjjnjnjnjjnnjnnnjjOxkxxxxxxP xkxxxxxxOxxxEA2sincosh()sinh) cos(60)()cosh()sinh) cossinh()cosh) sin(njjnnjjnnjnnnjnjjjnjnjnjjnnjnnnjnjjjnnjjnnjnnnjnjjjnnjnnjnjnxxxxEAP xxxxEAxxxEAkEA222)()njnnjnnjnjnnEA上面各式中 : E为钢杆弹性模量；rA

34、 为抽油杆柱在 x截面处的截面积；为曲柄的角速度；5.3.3 计算流程本文在所给悬点位移和荷载数据的基础上，通过利用Gibbs 模型，推导出求泵的位移和荷载的方法及详细运算过程。下面给出计算流程步骤及计算流程图。步骤 1：取得光杆动荷载，位移与时间的函数，即从给出的悬点测得的数据中在一个旋转周期2中选取等分的份数k份，即离散化的采样点数，本文取144k；根据前面式 34）到式子 37）求出4 个傅里叶系数，代入到的傅精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用里叶级数展开式中，得到( )D t和(

35、)U t的函数，即可获得悬点处位移和荷载的曲线。步骤 2：计算粘滞阻尼系数C。利用公式 38）计算阻尼系数。步骤 3: 计算特殊系数和函数。系数包括n，n，jnk ，n，函数包括( )nQ x ，( )nQx，( )nPx，( )nP x 。根据式 42）和式 43）求n和n；根据式50）中的公式计算nk ，n，( )nQx ，( )nQx，( )nPx和( )nP x 。步骤 4：判断是否为最后一级杆柱。如果不是最后一级，根据力的连续性原理，转入步骤5 计算；如果是最后一级，转入步骤6。步骤 5：如果不是最后一级杆柱，则计利用式60）中的公式计算下一级杆柱的特殊系数jnk ，jn，()jnj

36、Qx，()jnjP x，()jnjQx和()jnjP x。转入步骤4。步骤 6：如果是最后一级，根据式58）和式 59）计算出杆柱末端的动荷载函数( , )F x t和位移函数( , )U x t，进而可得出井下示功图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用5.4 计算结果利用建立的模型求解两口油井的泵功图数据，得到的相关系数、结果和图表如下：开始根据给出的悬点测得的数据求出4 个傅里叶系数，代入到的傅里叶级数展开式中，得到的函数，即可获得悬点处位移和荷载的曲线计算粘滞阻尼系数C 计算 4 个

37、傅里叶系数计算特殊函数及系数是否为最后一级杆柱？是由边界条件计算出荷载函数与位移函数结束根据上下级杆柱傅氏系数的关系重新计算否图 4 计算井下示功图流程图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用表 2 傅里叶系数的前十项v-5.0877e+004 -23.7023 2.7373e+003 57.3242 0.0991 2.7884 1.2406e+003 -29.8653 -0.9275 -3.0422 -104.1198 -24.7680 2.9224 -0.2337 20.6623 1.51

38、85 -0.2159 -0.5660 -3.6315 -1.1530 2.3634 0.5159 -0.0973 0.0264 -0.1154 0.4049 0.0266 -0.0793 2.0461 0.1723 -0.0524 -0.0126 -0.2669 1.0462 0.0037 -0.0242 0.3286 0.2302 -0.0146 0.0112 -0.7061 0.0384 表 3 一级杆口井 7 泵的位移荷载数据位移m）0.0195 0.0020 0.0099 荷载kn）19.4907 18.7660 176446 注：具体数据见所提C10426015.xls文件图 5 一

39、级杆口井 7 悬点示功图和一级油杆泵功图表 4三级杆口井 1泵的位移荷载数据位移m）0.0667 0.0683 0.0750 荷载kn）23.9421 24.3075 24.6964 注：具体数据见所提C10426015.xls文件-0.500.511.522.533.510203040506070(位 移 : m)(载荷:kn)示功图泵功图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用图 6三级杆口井 7悬点示功图和泵功图6问题三：泵功图的应用泵内充气判断6.1 问题分析本题是对泵功图的应用，本文选

40、择对第2问泵内气体判断）进行研究。泵内充气会引起泵不能充满，在下冲程时，导致管内原油充不满；当柱塞下压时，由于气体的影响，泵内压强不能迅速增大，导致游动阀打开迟缓，这会体现在泵功图的实际数据中，同时，考虑到有效冲程和实际泵功图之间的关系，本文考虑通过利用有效冲程的计算方法来处理所给数据，进而根据泵的结构和运动规律设计判断算法来判断泵内是否充气。6.2 气体影响情况分析这里我们换一种方法再次确定泵功图的塞柱有效冲程我们知道有杆泵主要由泵筒 , 柱塞，游动阀和固定阀组成在这里，我们用TV来表示游动阀，用SV来表示固定阀如下图7 所示）。所以我们根据泵功图来确定阀开闭点的位置。同样我们在这里用P来表

41、示阀开闭前后泵腔内的压力以及用S来表示柱塞的位移。 400.511.522.533.544.551020304050607080（ 位 移 : m）（荷载:kn）00.511.522.533.544.551020304050607080（ 位 移 : m）（荷载:kn）示功图泵功图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用图 7 有杆抽油泵示意图若有气体进入泵腔，柱塞下行时气体将受到进一步压缩，使TV延迟开启。设柱塞位于上死点，泵腔内气柱的高度为gH ，压力为iP 。假定柱塞下行时，气体受到等压缩

42、。柱塞下行H距离后，气体的高度变为gHH ，压力变为P，那么有：iggPHPHH得：0111iiPPPHPH 62）当1HH 时，TV开启，油液经TV孔排出到柱塞上部。在这段时间内，0PP 保持不变。当柱塞从下死角开始上行时，泵腔内的压力P减少，泵腔内的气体将发生膨胀，柱塞缓慢加载。当P到达iP时，SV开启。上述分析没有考虑气体向液体中的溶解压力升高）或从液体中析出压力降低）的情况。当考虑这些因素时，分析比较复杂。但P的变化趋势是一致的。即泵腔内气体的存在将使柱塞在上、下冲程阶段缓慢地加载或卸载；SV、TV都将延迟开启。但是，只有下行程TV的延迟开启才影响泵效。TV开启后，柱塞下行的距离才是有

43、效冲程。6.3 有效冲程的计算在上行程SV开启前，由于TV漏失或气体膨胀，使P随S的增大而减小，PF 则随之增大，柱塞加载。泵示功图上这一段曲线为增函数，其斜率0Pip固定阀泵筒柱塞游动阀ppF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用0K. 在SV开启后，iPP 为一常数，PF 保持不变。泵示功图这一曲线为一水平线，其斜率0K。在SV关闭后，P将随S的增大而增大，PF 则随之减小。泵示功图这一曲线为一减函数，其斜率0K。下行程TV开启前，由于SV漏失或气体压缩等，使P随S的减小而继续增加，PF

44、则随之减小，柱塞卸载。泵示功图上这段曲线为一增函数，其斜率0K。在TV开启后，0PP为一常数，PF 表示不变。泵示功图上这段曲线为一水平线，其斜率0K。在TV关闭后，P将随S的减小而减小，PF 逐渐增加。泵示功图上这段曲线为一减函数，其斜率0K。在上下死点处，斜率K发生突变。因此，可利用泵示功图曲线斜率的变化作为确定阀开闭点位置的依据。 5通过第二题，我们可以得到泵示功图的一组离散数据点00,iiiYXP， 其中，LRXX ,表示泵示功图左右两端点的横坐标；nmYY ,分别表示泵的最大载荷和最小载荷。为了减小泵功图曲线的微小波动对其斜率的影响，在iP 点前后各取k 其中：kikijjikiki

45、jjikYYkXX12,12kikijjikikijjjikXXkXYYX12,1222求得各点处的斜率iK 后，结合泵功图的几何形状和几何意义，可按下述依据来确定阀开闭点的位置：1）SV开启点：在上行程 iiXX1），若iP 点前的k个点中至少有1k个点的斜率K；而iP 点后的k个点中至少有1k个点的斜率K。则认为iP点就是SV开启点。记此处1iPP 。2）SV关闭点：在上行程，若iP 点前的k个点中至少有1k个点的斜率K；而iP 点后的k个点中，至少有1k个点的斜率K。则认为iP 点就是SV关闭点。记此处2iPP 。3）TV开启点：在下行程 iiXX1），若iP 点前的k个点中至少有1k个

46、点的斜率K；而iP 点后的k个点中至少有1k个点的斜率K。则认为iP点就是TV开启点。记此处3iPP 。 其中：1212010| |sPPXX2434030| |sPPXX6.4 泵内充气判定当泵内存在气体，在下冲程时，由于甭管内有气体，液体充不满，当柱塞下压时，由于压缩气体的影响，泵内压强不能迅速增大，导致游动阀打开迟缓。基于这种情况，我们认为在实际确定阀开闭点时，游动阀开启点所代表的数据异常。用上面给出的油井产量计算方法对数据进行处理，泵内充气的判定方算法为：步骤 1：首先通过求解吉布斯方程，可以求解得到一组离散的数据点).2, 1(),(00niYXPiii，然后对它进行规一化处理。步骤

47、 2：在iP 前后各取k个点，用最小二乘法对这12k个点进行线性拟合，并求出iP点处的斜率：22iiiiiiXXXYYXK (66 其中：kikijjikikijjikYYkXX12,12kikijjikikijjjikXXkXYYX12,1222步骤 3：求得各点处的斜率iK 后，我们仍然用本题第一问第二种模型来确定阀的开闭位置，若同时满足以下4 个条件的，即可判断泵内有气体。1）找到SV的开启点记为1P ，并记录此时的0.3，且1P 前的k个点至少有1k个点斜率K，1P 后的k个点至少有1k个点斜率K。2）找到SV的关闭点记为2P ，此时的0.3，2P 前的k个点至少有1k个点斜率K，但是

48、2P 后k个点并没有1k个点斜率K。3）找到TV的开启点记为3P ，然而3P 前的k个点并没有1k个点斜率K，3P 后的k个点至少有1k个点斜率K。4）找到TV的关闭点记为4P ，4P 前的k个点中至少有1k个点的斜率K；而4P 点后的k个点中，至少有1k个点的斜率K。6.5 计算结果根据本题所给的数据，利用上述方法计算求得油井7附件 1）和油井 1附件 2）的有效冲程、泵内是否有气的判定结果为：表 5 油井泵内有气判定结果油井有效冲程 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用2222rrrr

49、erruuuE AAvA gxtt (68 其中重力项rrA g 是个常数，为了使得差分计算方便，可以把这一项去掉，计算油杆受力时再加上去。于是得到描述抽油杆柱动力学特性的波动方程：622222uuuactxt (69 式中：a为声波传递速度，ms；rrEa； c为阻尼系数，1s，errvcA。7.2.2 改进 Gibbs 模型经分析 Gibbs 模型忽略了重力加速度的影响，所以我们在原有基础上对Gibbs 模型改进为如下的形式： 7设浸入在油管中第 J 级抽油杆振动特性的有阻尼一维波动方程为：22222( , )( , )( , )JJJux tux tux tacgftxt 70）其中：0

50、f； a 为应力波在抽油杆中的传播速度；g为重力加速度；为抽油杆的密度；0为油的密度；E为油杆的弹性模量；JA 为第J段油杆的截面积；JX 为第J段油杆的长度。方程1）的通解，即为泵的位移函数：221( , )( )cos( )sin2JJJJJnnngfux tQxn tPxn txB xAa 71）其中：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 47 页个人资料整理仅限学习使用2222( )(coshsinh)sin(sinhcosh)cos( )(sinhcosh)cos(coshsinh)sin11( /)211( /)