2022年离散型随机变量的均值与方差教案 .pdf

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1、2.5 离散型随机变量的均值与方差教案教学目标（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题教学重点，难点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义教学过程一问题情境1情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量 这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,XX表示，12,XX的概率分布如下1X0123kp0.70.10.10.12X0123kp0.

2、50.30.202问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？二学生活动1 直接比较两个人生产 100件产品时所出的废品数从分布列来看，甲出 0 件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好这样比较，很难得出合理的结论2 学生联想到“平均数”， ，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3 引导学生回顾数学3（必修） 中样本的平均值的计算方法三建构数学1定义在数学 3 （必修） “统计”一章中，我们曾用公式1122.nnx px px p计算样本的平均值，其中ip为取值为ix的频率值类似地，若离散型随机变量 X 的分布列或 概率分布如下：X1x2xnx精选学

3、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页P1p2pnp其中，120,1,2,.,.1inpin ppp，则称1122.nnx px px p为随机变量 X 的均值或 X 的数学期望，记为()E X或2性质（1）( )E cc； （2）()()E aXbaE Xb （, ,a b c为常数）四数学运用1例题：例 1高三（ 1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10 个红球， 20 个白球，这些球除颜色外完全相同某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求 X 的数学期望分析：从口袋中摸出5 个球相当于抽取5n个产

4、品，随机变量X 为 5个球中的红球的个数，则 X 服从超几何分布(5,10,30)H解：由 22 节例 1 可知，随机变量 X 的概率分布如表所示：X 0 1 2 3 4 5 P 258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()0123451.66672375123751237512375123751237513E X答： X 的数学期望约为 1.6667说 明 ： 一 般 地 ， 根 据 超 几 何 分 布 的 定 义 ， 可 以 得 到0()rnrnMNMnrNr C CME XnCN

5、例 2从批量较大的成品中随机取出10件产 品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为 0.05，随机变量 X 表示这 10件产品中不合格品数， 求随机变量 X 的数学期望()E X解：由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)XB，1010()(1),0,1,2,.,10kkkkP XkpC ppk随机变量 X 的概率分布如表所示：X0 1 2 3 4 5 kp001010(1)Cpp11910(1)Cpp22810(1)Cpp33710(1)Cpp44610(1)C pp55510(1)CppX6 7 8 9 10 kp66410(1)Cpp77310(1)Cpp88210(1)Cpp9

6、9110(1)Cpp1010010(1)Cpp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页故100()0.5kkE Xkp即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件说明：例 2 中随机变量 X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当( ,)XB n p时，()E Xnp例 3 设篮球队 A与 B 进行比赛，每场比赛均有一队胜， 若有一队胜 4 场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望分析：先由题意求出分布列，然后求期望解： （1）事件“4X”表示， A胜4 场或 B 胜

7、4 场（即 B负 4场 或 A负4场） ，且两两互斥4400044411112(4)( )( )( )( )222216P XCC；（2）事件“5X”表示， A在第 5 场中取胜且前 4场中胜 3 场，或 B在第 5 场中取胜且前 4场中胜 3 场（即第 5 场A负且 4场中A负了 3 场） ，且这两者又是互斥的，所以334 3114 1441111114(5)( ) ( )( ) ( )22222216P XCC（3）类似地，事件“6X” 、 “7X”的概率分别为335 3225 2551111115(6)() ( )( ) ( )22222216P XCC，336 3336 3661111

8、115(7)( ) ( )( ) ( )22222216P XCC比赛场数的分布列为X4 5 6 7 P216416516516故比赛的期望为2455()45675.812516161616E X（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说， 进行 6 场才能分出胜负2练习：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案 1：运走设备，此时需花费3800元；方案 2：建一保护围墙，需花费 2000元但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失 1000元试选择适当的标准，对3种方案进行比较五回顾小结：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页1离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2离散型随 机变量均值（数学期望）的计算方法；3超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法六课外作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页