2022年空间向量的正交分解及其坐标表示导学案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课标要求：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；学习目标1. 理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2. 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。预习案一、课前复习复习 1：平面向量基本定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取与x 轴和 y 轴方向的两个单位向量 i,j 作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得 axiyj，则称有

2、序对,x y 为向量 a 的，即 a. 预习：1. 空间向量基本定理：如果三个向量cba,，那么对空间任一向量p，存在有序实数组zyx,，使得p，其中cba,叫做空间的一个，cba,都叫做 . 2. 空间向量的正交分解及坐标表示单位正交基底：由三个的有公共起点的组成的基底 . 空间直角坐标系：设123,ee euu r u u r u r为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，以123,ee euu r u u r ur的公共起点O为坐标原点，分别以123,ee eu u r u u r u r的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向

3、量pu r，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，即OPp，由空间向量基本定理，存在一个有序实数组zyx,使得p，我们把, ,x y z称作向量pu r在单位正交基底123,ee euu r u u r u r下的坐标， 记作，此时， 向量pu r的坐标恰好是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 ., ,x y z. j i y x O y Q x z O P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载探究案探究任务一 ：空间向量基本定理自学空间向量正交分解，设i,j,k 是空间三个两两垂直的向量，且有公

4、共起点O，在右图中用向量i,j,k 表示OP探究：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c 代替两两垂直的向量i,j,k ，你能得出类似的结论吗？若能写出它的推导过程，并总结归纳。空间向量基本定理：反思提高 ：已知向量 a, b, c是空间的一个基底，从a, b, c 中选哪一个向量，一定可以与向量pab，qab构成空间的另一个基底？例 1： 如图，M,N 分别是四面体OABC 的边 OA， BC 的中点，P,Q 是 MN 的三等分点， 用向量OA，OB，OC表示OP和OQ. OP OOAABBCCMMNNPPQQj k i zyxOP 精选学习资料 - - - - - - - - -

5、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载探究任务二：结合空间向量基本定理，类比平面向量正交分解及坐标表示，归纳：单位正交基底 ：空间向量的坐标表示：例 2. 正方体1111DCBAABCD的棱长为2，以 A 为坐标原点，以AB，AD，AA1为 x 轴、 y 轴、 z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量i，j，k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，用向量i，j，k表示向量AC1和BD1。练习案1.已知 P,A,B,C 为空间四点，且向量PA，PB，PC不构成空间的一个基底，你能得到什么结论？2.设 i、j、k 为空间直角坐标系Oxyz 中 x 轴

6、、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，且OBijk，则点 B 的坐标是3.在三棱锥OABC 中， G 是ABC的重心（三条中线的交点），选取OA，OB，OC为基底，试用基底表示OG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载4.已知平行六面体ABCO AB C O，点 G 是侧面BB C C 的中心，且OAa，OC b，OOc 试用向量 a, b, c 表示下列向量 :OB，BA，CAOGuuu r. 5. 已知 a,b,c 是空间的一个正交基底，向量ab，ab，c 是另一组基底，若向量p 在以向量a,b,c 为基底的坐标是1,2,3 ，求向量p 在以向量ab，ab，c 为基底的坐标 . 6、 如图，在直三棱柱111CBAABC中，已知o190 ,4,2,4BACABACBB，D为11C B中点，建立适当的空间直角坐标系，并写出1,BC ADu uu r uu u r的坐标A B C CG BOAO B1A C B A1C1D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页