2022年空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案 .pdf

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1、1 空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、 空间向量的运算1、向量的几何运算1向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即空间向量数量积的性质：；2向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba2、向量的坐标运算1假设，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2假设，则，；，（3）夹

2、角公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 4两点间的距离公式：假设，则二、空间向量在立体几何中的应用2. 利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明3. 利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用进行证明；4. 利用空间向量求角度1线线角的求法：设直线 AB 、 CD对应的方向向量分别为a、 b， 则直线 AB与 CD所成的角为线线角的范围 00,900 2线面角的求法：设 n 是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为3二面角的求法：设 n1，n2分别是

3、二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小如图5. 利用空间向量求距离1平面的法向量的求法：设 n=(x,y,z)，利用 n 与平面内的两个不共线的向a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量如图 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3 2利用法向量求空间距离a 点 A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。b 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。c 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【经典例题】【例 1】 2010 全国卷 1

4、理正方体ABCD-1111A BC D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为A23B33 C23D63【解析】 D【例 2】2010 全国卷 2 文 已知三棱锥SABC中， 底面ABC为边长等于2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A34 (B) 54(C) 74 (D) 34【解析】 D【例3】 2012 全国卷三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAACAA，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为_。【解析】66A B C S E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

5、- - - -第 3 页，共 18 页4 【例 4】 2012 重庆如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=4 ， AC=BC=3 ，D为 AB的中点。求异面直线CC1和 AB的距离；假设AB1A1C，求二面角A1 CD B1的平面角的余弦值。【解析】531【例 5】 2012 江苏如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1111A BAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点点D不同于点C ，且ADDEF，为11B C的中点1B求证： 1平面ADE平面11BCC B；2直线1/A F平面ADE【例 6】 2012 山东在如下图的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形， AB CD ， DA

6、B=60 ， FC平面 ABCD ，AEBD ，CB=CD=CF求证： BD平面 AED ；求二面角F-BD-C 的余弦值1 【解析】二面角F-BD-C 的余弦值为55【例 7】 2012 江西在三棱柱111ABCABC中，已知15ABACAA，4BC，点1A在底面ABC的投影是线段BC的中点O。1证明在侧棱1AA上存在一点E，使得OE平面11BBCC，并求出AE的长；2求平面11A BC与平面11BBCC夹角的余弦值。【解析】55，1030B1C1OACBA11A1CF E C D A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，

7、共 18 页5 PABCED【例 8】 2012 湖南四棱锥P-ABCD中， PA 平面 ABCD ，AB=4，BC=3 ，AD=5 ， DAB= ABC=90 ， E是 CD的中点 . 证明： CD 平面 PAE ；假设直线PB与平面 PAE所成的角和PB与平面 ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积 . 【解析】118 5128 51633515VSPA【例 9】 2012 广东如下图，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，/ /,ABCD PDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高。1证明：PH平面ABCD；2假设1,2,1PHADFC，

8、求三棱锥EBCF的体积；3证明：EF平面PAB【解析】三棱锥EBCF的体积111112123326212BCFVShFCADh【例 10】 2012 新课标如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC=BC=21AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD1证明：DC1BC；2求二面角A1BDC1的大小【解析】二面角11CBDA的大小为30【例 11】如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD点E在线段PC上，PC平面BDE1证明：BD平面PAC；2假设1PA，2AD，求二面角BPCA的正切值【解析】二面角BPCA的平面角的正切值为3 【例 12】 2012 天津如图，在四棱锥

9、PABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，0=45ABC，PDA1B1CABC1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6 =2PA AD，=1AC. ( ) 证明PC丄AD；求二面角APCD的正弦值；设 E为棱PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为030，求 AE的长 . 【解析】630，1010【课堂练习】1、 2012 上海假设) 1 ,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为用反三角函数值表示2、 2012 四川如图，在正方体1111ABCDABC D中，M、N分别是CD、1CC的

10、中点， 则异面直线1AM与DN所成角的大小是_。3、 2012 全国卷如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，2 2AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。证明：PC平面BED；设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。4、 2010 辽宁理 已知三棱锥P ABC中，PA ABC ，AB AC ，PA=AC= ?AB ，N为 AB上一点， AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 . 证明： CM SN ；求 SN与平面 CMN 所成角的大小 . 5、 2010 辽宁文如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCC B是菱形，11BCA BNMB1A

11、1C1D1BDCAECBDAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7 证明：平面1ABC平面11ABC；设D是11AC上的点，且1/AB平面1BCD，求11:AD DC的值 . 6、 2010 全国文 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC=BC ， AA1=AB ，D为 BB1的中点， E为 AB1上的一点， AE=3 EB1证明： DE为异面直线AB1与 CD的公垂线；设异面直线AB1与 CD的夹角为45,求二面角A1-AC1-B1的大小7、 2010 江西理 如图 BCD与 MCD 都是边长为2 的正三角

12、形， 平面 MCD 平面 BCD ，AB平面 BCD ，2 3AB。（1）求点 A到平面 MBC 的距离；（2）求平面 ACM 与平面 BCD所成二面角的正弦值。8、 2010 重庆文四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8 C B A D E P ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点 . 证明：AE平面PBC；假设1AD，求二面角BECD的平面角的余弦值. 9、 2010 浙江文如图，在平行四边形ABCD 中， AB=2BC ， ABC=120 。 E为线段 AB的

13、中点，将 ADE沿直线 DE翻折成 ADE ，使平面A DE 平面 BCD ，F 为线段 A C的中点。求证： BF平面 ADE ；设 M为线段 DE的中点，求直线FM与平面 A DE所成角的余弦值。10、 2010 重庆理四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形， PA底面 ABCD ， PA=AB=6，点 E是棱 PB的中点。1求直线AD与平面 PBC的距离；2假设 AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。11、 2010 北京理如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE AC,EF AC,AB=2，CE=EF=1. 求证：AF平面BDE；求证：CF平面BDE

14、；求二面角A-BE-D的大小。12、如图，弧 AEC是半径为a的半圆， AC为直径，点E为弧 AC的中点，点 B和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9 点 C为线段 AD的三等分点，平面AEC外一点 F 满足 FC平面 BED,FB=a51证明： EBFD 2求点 B到平面 FED的距离 . 13、 2010 江苏卷如图，在四棱锥P-ABCD中， PD 平面 ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2 ， AB DC ， BCD=900。(1) 求证： PC BC ；(2) 求点 A到平面 PBC的距离。14、 2

15、012 上海如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PCAB=2，AD=22，PA=2.求： 1三角形PCD的面积；2异面直线BC与AE所成的角的大小. 15、 2012 四川 如图， 在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，AB BC CA，平面PAB平面ABC。求直线PC与平面ABC所成角的大小；求二面角BAPC的大小。16、 2012 安徽长方体1111DCBAABCD中，底面1111DCBA是正方形，O是BD的中点，E是棱1AA上任意一点。ABCP16题图ABDPC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

16、 -第 9 页，共 18 页10 证明：BD1EC；如果AB=2，AE=2，1ECOE, 求1AA的长。17、 2012 北京文 如图 1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为,AC AB的中点， 点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1AFCD，如图 2。求证：/DE平面1ACB； 求证：1AFBE；线段1A B上是否存在点Q，使1AC平面DEQ？说明理由。18、 2012 湖南如图6，在四棱锥P-ABCD中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD是等腰梯形， AD BC ，ACBD. 证明： BDPC ；假设AD=4 ，BC=2 ，直线 PD与平面 PAC所成

17、的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积 . 19、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点， 已知BAC2，2AB，2 3AC，2PA，求：1三棱锥PABC的体积图2图1FEBEDCBCDA1AF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 MABDCO2异面直线BC与AD所成的角的大小结果用反三角函数值表示20、2008 安徽文如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的 菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点。求异面直线AB与 MD所成角的大小；求点B到平面 OCD

18、的距离。【课后作业】1. 2008 全国如图，正四棱柱1111ABCD ABCD中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31证明：1AC平面BED；求二面角1ADEB的大小2、 2008 湖南四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1 的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. 证明：平面PBE平面PAB; 求平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小. A B C D E A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 3、 2008 福建如图，在四棱锥P-ABCD中，则

19、面PAD 底面ABCD，侧棱PA=PD2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点 . 求证：PO平面ABCD； 求异面直线PD与CD所成角的大小；线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？假设存在，求出AQQD的值；假设不存在，请说明理由. 4、(2008 海南、宁夏理 ) 如图，已知点P在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线BD1上， PDA=60 。1求 DP与 CC1所成角的大小； 2求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小。5、 2005 湖南文、理如图1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为2 和 6，高为3的等腰梯

20、形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。 证明： ACBO1；求二面角O ACO1的大小。B1C1D1A1CDABPA B C D O O1 A B O C O1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13 6、2007 安徽文、理) 如图 , 在六面体1111DCBAABCD中, 四边形ABCD是边长为 2 的正方形 , 四边形1111DCBA是边长为 1 的正方形 ,1DD平面1111DCBA,1DD平面ABCD， DD1=2。( ) 求证 :11CA与AC共面，11DB与BD共面 . ( ) 求证 :

21、平面;1111BDDBACCA平面( ) 求二面角CBBA1的大小 . 7、(2007 海南 ) 如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC，O为BC中点证明：SO平面ABC；求二面角ASCB的余弦值8、(2007 四川理如图，PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60. 求证：平面PAC平面ABC; 求二面角BACM的大小 ; 求三棱锥MACP的体积 . OSBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页

22、14 9、( 2006 全国卷 ) 如图，1l、2l是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段. 点 A、 B在1l上， C在2l上，AMMBMN。 证明AC NB ；( ) 假设60OACB，求NB与平面 ABC所成角的余弦值。10、2006 福建文、理 如图，四面体 ABCD 中， O 、 E分别是 BD 、 BC的中点，2,2.CACBCDBDABADI 求证：AO平面 BCD ； II 求异面直线AB与 CD所成角的大小；III 求点 E到平面 ACD的距离。11、 2010 福建文如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点点E 与 B1不重合

23、，且EH/A1D1。过 EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G 。I 证明： AD/ 平面 EFGH ；II 设 AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE D1DCGH 内的概率为p。当点 E， F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求 p 的最小值。CADBOEA B M N C l2l1H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15 12、如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点 E在棱 PB上. 求证：平面

24、AECPDB平面；当2PDAB且 E为 PB的中点时，求AE与平面 PDB所成的角的大小. 13、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. 1求证：平面ABM平面PCD；2求直线CD与平面ACM所成的角的大小；3求点N到平面ACM的距离 . yxzDMCBPANO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页16 14、如图 4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAA。D是11AB的中点，点E在11AC上，且DEA

25、E。1证明平面ADE平面11ACC A2求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。【参考答案】【课堂练习】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页17 1、2arctan2、903、 30o 4、SN与面 CMN 所成角为45 5 、A1D：DC1=1. 6、略7、5152，2 55. 8、略 9 、略 10 、21 11、二面角ABED的大小为6. 12、2121413、点 A到平面 PBC的距离等于2。 14、异面直线BC与AE所成的角的大小是415、直线PC二面角BAPC的大小为arctan 2与平面ABC所成的角的

26、大小为39arctan1316、111112232222ACAAAEAAAOEA17、略18、四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA. 19、略20、 1AB与MD所成角的大小为32 点 B到平面 OCD 的距离为23【课后作业】1、二面角1ADEB的大小为14arccos422、平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小是15arccos.53、 异面直线PB与CD所成的角是arccos63，( ) 存在点Q满足题意，此时13AQQD. 4、 1DP与CC所成的角为45 2DP与平面AA D D所成的角为305、coscosn，1BO=.43|11BOnBOn6、.511的余弦为二

27、面角CBBA7、 二面角ASCB的余弦值为338、 二面角MACB的平面角大小为21arccos7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 111331 1326212P MACA PCMVVPCPMh9、cosNBH= 6310、 异面直线AB与CD所成角的大小.42arccos点E到平面ACD的距离为721.11、略 12、AE与平面 PDB所成的角的大小为45.13、所求角的大小为6arcsin3，所求距离为5106h927。14、线 AD和平面 AB C1所成角的正弦值为510。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页