2022年第二十讲平面向量的概念及线性运算 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆第二十讲平面向量的概念及线性运算考试要求1. 向量的实际背景， A级要求；2. 平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示，B级要求；3. 向量加法、减法及数乘运算，B级要求；4. 两个向量共线的含义， B级要求；5. 向量线性运算的性质及其几何意义，A级要求 . 课前准备区回扣教材夯实基础知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且相同的向量(6)相反

2、向量：长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：ab；(2)结合律：(a b)c减法求 a 与 b 的相反向量 b的和的运算叫做 a 与 b 的差法则aba(b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向；当 0 时， a 的方向与a 的方向；当 0 时， a0 (a)；( )a； (ab)3共线向量定理向量a(a0) 与b共线的充要条件是存在一个实数，使得4向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP精选学习资料 - - - - - - -

3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆5三点共线等价关系A，P，B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t) OAtOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， xR，yR，xy1)回归课本1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O，且,AOOC BOOD，则四边形ABCD 是_四边形 . 2.设 D 为 ABC 所在平面内一点，BC3CD，则 AD用AB和AC表示为 _.3.已知 ?ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于O，且 OAa，OBb，则

4、DC_，BC_(用 a，b 表示 ). 4.设向量a 与 b 是两个不共线的向量，且a b 与3ab 共线，则 _. 5.在 ABC 中， BD 2DC，若 AD1AB2AC，则12的值为 _6.如果 ABe1e2，BC2e13e2，AF3e1 ke2，且 A，C，F 三点共线，则k_. 课堂活动区突破考点研析热点考点突破考点一：平面向量的有关概念【例 1】 给出下列命题：若 |a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 a b，bc，则 ac；若 a b，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是_.考点二：平面向量的线

5、性运算【例 2】 (1)在 ABC 中， AB 边的高为CD，若 CB a，CAb，a b0，|a|1，|b|2，则 AD_.(2)如图，正方形ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆三等分点，那么EF等于 _(用AD，AB表示 ). (3)如图，D，E， F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点， 则AD BECF_. 考点三：共线向量定理的应用【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 . (1)若ABab，BC2a

6、8b，CD3(ab).求证： A，B，D 三点共线；(2)试确定实数k，使 kab 和 akb共线 .课堂总结1. 向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论. 2. 对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合 . 3. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置. 课后练习区精题精练规范答题基础练习1.设 a 是非零向量， 是非零实数，给出下列结论：a 与 a 的方向相反；a 与 2a的方向相同； | a|a|；

7、| a|a.其中正确的是 _(填序号 ). 2.在?ABCD 中， ABa，AD b，AN3NC，M 为 BC 的中点，则 MN_(用 a，b表示 ). 3. 边长为 1 的正三角形ABC 中， |ABBC|的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆4. 已知 |a|8，|b|6，且 |ab|ab|，则 |ab|=_. 5. 在 ABC 中， 点 D 是 BC 边上的点，AD AB AC( ， R)， 则 的最大值为 _6. 设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD. 若点M ， N

8、 满足3BMMC，2DNNC，则AM NM7.设 a，b 不共线， AB2a pb，BCab，CD a2b，若 A，B，D 三点共线，则实数p8.向量 e1，e2不共线， AB3(e1e2)，CBe2e1，CD2e1e2，给出下列结论：A，B，C 共线； A，B，D 共线； B，C，D 共线； A，C， D 共线，其中所有正确结论的序号为 _. 能力提升9.在 ABC 中，点M，N 满足 AM2MC， BNNC.若MNxAByAC，则 x_；y_. 10.如图，经过OAB 的重心 G 的直线与OA， OB 分别交于点 P，Q，设 OP mOA，OQnOB，m，nR，则1n1m的值为 _. 11

9、.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数 ， ，使向量 d a b 与 c 共线？12.如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，ABDC，M，N 分别是 DC，AB 的中点， 已知 ABa，ADb，DCc，试用 a，b，c表示 BC，MN，DNCN. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆第二十讲平面向量的概念及线性运算考试要求1. 向量的实际背景， A级要求；2. 平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示，B级要求；3.

10、向量加法、减法及数乘运算，B级要求；4. 两个向量共线的含义， B级要求；5. 向量线性运算的性质及其几何意义，A级要求 . 课前准备区回扣教材夯实基础知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于的向量(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且相同的向量(6)相反向量：长度相等且相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：ab；(2)结合律：(a b)c减法求 a 与

11、 b 的相反向量 b的和的运算叫做 a 与 b 的差法则aba(b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向；当 0 时， a 的方向与a 的方向；当 0 时， a0 (a)；( )a； (ab)3共线向量定理向量a(a0) 与b共线的充要条件是存在一个实数，使得4向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆5三点共线等价关系A，P，B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t)

12、OAtOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， xR，yR，xy1)回归课本1.已知四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点 O，且,AOOC BOOD，则四边形ABCD 是_四边形 . 2.设 D 为 ABC 所在平面内一点，BC3CD，则 AD用AB和AC表示为 _.解析由题意得 AD ACCDAC13BCAC13AC13AB13AB43AC.3.已知 ?ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于O，且 OAa，OBb，则 DC_，BC_(用 a，b 表示 ). 解析如图，DCABOBOA ba， BCOCOB OA

13、OB a b.4.设向量a 与 b 是两个不共线的向量，且a b 与3ab 共线，则 _. 解析 设 bt(3ab) ，则1 3t， t， 13. 答案 135.在 ABC 中， BD 2DC，若 AD1AB2AC，则 12的值为 _解析 AD ACCDAC13CB，而CBABAC， 所以 AD13AB23AC， 所以 113，223，则 1229. 答案 296.如果 ABe1e2，BC2e13e2，AF3e1 ke2，且 A，C，F 三点共线，则k_. 解析 ABe1e2，BC2e13e2，AC ABBC3e12e2. A，C，F 三点共线， ACAF，从而存在实数 ，使得 AC AF.

14、3e12e2 3 e1ke2，又 e1，e2是不共线的非零向量，33 ，2 k，因此 k 2. 答案 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆课堂活动区突破考点研析热点考点突破考点一：平面向量的有关概念【例 1】 给出下列命题：若 |a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 a b，bc，则 ac；若 a b，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是_.解析不正确 .两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确

15、.ABDC，|AB|DC|且AB DC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB|DC|，AB DC且AB，DC方向相同，因此 ABDC.正确 .ab，a，b 的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故a c.不正确 .当 b0 时， a，c 可能不平行 .综上所述，正确命题的序号是 . 考点二：平面向量的线性运算【例 2】 (1)在 ABC 中， AB 边的高为CD，若 CB a，CAb，a b0，|a|1，|b|2，则 AD_.(2)如图，正方形ABCD 中，点 E 是

16、DC 的中点，点F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF等于 _(用AD，AB表示 ). 解析(1)a b0， ACB90， AB5，CD2 55， BD55，AD4 55， ADBD41. AD45AB45(CBCA)45a45b.(2)在CEF 中，有 EFECCF.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆因为点 E 为 DC 的中点，所以 EC12DC.因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以CF23CB.所以 EF12DC23CB12AB23DA12AB23AD.(3)如图， D，E，

17、F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 ADBECF_. 解析 ：由题意知： ADFE，BEDF， CFED，而 FEEDDF0，ADBECF 0.考点三：共线向量定理的应用【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 . (1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab).求证： A，B，D 三点共线；(2)试确定实数k，使 kab 和 akb共线 .(1)证明ABa b，BC2a8b，CD3(ab). BDBCCD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB，BD共线，又它们有公共点B，A，B，D 三点共线 . (2)解kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 k

18、ab (akb)，即 kab a kb，(k )a(k 1)b. a，b 是不共线的两个非零向量，k k1 0， k210， k 1. 课堂总结1. 向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论. 2. 对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合 . 3. 要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置. 课后练习区精题精练规范答题基础练习1.设 a 是非零向量， 是非零实数，给出下列结论：a 与 a 的方向相反；a 与

19、2a的方向相同； | a|a|； | a|a.其中正确的是 _(填序号 ). 解析对于 ，当 0 时，a 与 a 的方向相同， 当 0 时，a 与 a 的方向相反， 正确；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆对于 ，| a| |a|，由于 | |的大小不确定， 故| a|与 |a|的大小关系不确定；对于 ，| |a 是向量，而 | a|表示长度，两者不能比较大小.答案2.在?ABCD 中， ABa，AD b，AN3NC，M 为 BC 的中点，则 MN_(用 a，b表示 ). 解析由AN3NC

20、， 得 4AN3 AC3(ab)， AMa12b， 所以 MN34(a b) a12b 14a14b.答案14a14b3. 边长为 1 的正三角形ABC 中， |ABBC|的值为 _答案：3 4. 已知 |a|8，|b|6，且 |ab|ab|，则 |ab|=_. 解设ABa，ADb，以 AB，AD 为邻边作平行四边形ABCD，如下图所示：则ACab，DBab，所以 |AC|DB|. 又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故ADAB. 在 RtDAB 中， |AB|8， |AD|6，由勾股定理得|DB|AB|2 |AD|2826210. 所以 |ab|10. 答案： 1

21、0 5. 在 ABC 中， 点 D 是 BC 边上的点，AD AB AC( ， R)， 则 的最大值为 _解析 D 在边 BC 上，且 AD AB AC， 0， 0，且 1， 2214，当且仅当 12时，取 “”号 答案 146. 设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD. 若点M ， N 满足3BMMC，2DNNC，则AM NM 【答案】 9 7.设 a，b 不共线， AB2a pb，BCab，CD a2b，若 A，B，D 三点共线，则实数p的值为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学而不思则惘，思而不

22、学则殆解析BCab，CD a2b，BDBCCD2ab.又 A，B，D 三点共线， AB，BD共线 .设AB BD，2apb (2ab)， 22 ，p ， 1，p 1. 答案1 8.向量 e1，e2不共线， AB3(e1e2)，CBe2e1，CD2e1e2，给出下列结论：A，B，C 共线； A，B，D 共线； B，C，D 共线； A，C， D 共线，其中所有正确结论的序号为 _. 解析由ACABCB 4e12e22CD，且 AB与CB不共线，可得A，C，D 共线，且B不在此直线上.答案能力提升9.在 ABC 中，点M，N 满足 AM2MC， BNNC.若MNxAByAC，则 x_；y_. 解析由

23、题中条件得，MN MC CN13AC12CB13AC12(ABAC)12AB16ACxAByAC，所以 x12，y16. 答案121610.如图，经过OAB 的重心 G 的直线与OA， OB 分别交于点 P，Q，设 OP mOA，OQnOB，m，nR，则1n1m的值为 _. 解析 ：设OAa，OB b，由题意知 OG2312(OAOB)13(ab)，PQOQ OPnbma，PG OGOP13m a13b，由 P，G，Q 三点共线，得存在实数 使得PQ PG，即 nbma 13m a13 b，从而 m13m ，n13 ，消去 ，得1n1m3. 11.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中

24、e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数 ，使向量d a b与 c共线？解d (2e13e2) (2e13e2) (2 2 )e1 (3 3 )e2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆要使 d与 c 共线，则应有实数k，使 dkc，即(2 2 )e1 (3 3 )e22ke19ke2，即22 2k，3 3 9k，得 2 . 故存在这样的实数 ，只要 2 ，就能使d与 c 共线 . 12.如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，ABDC，M，N 分别是 DC，AB 的中点， 已知 ABa，ADb，DCc，试用 a，b，c表示 BC，MN，DNCN. 解BCBA ADDC ab c. 因为 MNMDDAAN，MNMCCBBN，所以 2MNMDMCDA CBANBN ADBC b(abc)a2bc.所以MN12ab12c. DNCN DMMNCMMN2MN a2b c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页