2022年矩阵知识点归纳 .pdf

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1、学习必备精品知识点矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy 中，由x axby，y cxdy，(其中 a，b，c，d 是常数 )构成的变换称为线性变换由四个数a，b， c，d 排成的正方形数表abcd称为二阶矩阵，其中a，b， c，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，或 (aij)表示 (其中 i，j 分别为元素aij所在的行和列 )2矩阵的乘法行矩阵 a11a12 与列矩阵b11b21的乘法规则为a11a12b11b21 a11b11 a12b21，二阶矩阵abcd与列矩阵xy的乘法规则为abcdxyaxbycxdy.矩阵乘法满足结合律，不满

2、足交换律和消去律3几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M1001；(2)旋转变换R对应的矩阵是Mcos sin sin cos ；(3)反射变换要看关于哪条直线对称例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M11001；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M21001；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3100 1；(4)伸压变换对应的二阶矩阵Mk100k2，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍， k1，k2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M1000；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移 |ky|个单位，则对应矩

3、阵M1k01，若沿 y 轴平移 |kx|个单位，则对应矩阵M10k1.(其中 k 为非零常数 )4线性变换的基本性质设向量 xy，规定实数 与向量 的乘积 xy；设向量 x1y1， x2y2，规定向量 与 的和 x1x2y1y2. (1)设 M 是一个二阶矩阵， 、 是平面上的任意两个向量， 是一个任意实数， 则 M( ) M ， M( )M M . (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换 )把平面上的直线变成直线(或一点 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备精品知识点(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1矩阵的

4、逆矩阵(1)一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换 ，使得I，则称变换可逆并且称是 的逆变换(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得 BAAB E，则称矩阵A 可逆，或称矩阵 A 是可逆矩阵，并且称B 是 A 的逆矩阵(3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的A 的逆矩阵记为 A1(4)(性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果A，B 都可逆，则AB 也可逆，且 (AB)1B1A1. (5)已知 A，B，C 为二阶矩阵，且ABAC，若矩阵 A 存在逆矩阵，则BC. (6)对于二阶可逆矩阵Aabcd(adbc0)，它的逆矩阵为A1dad b

5、cbadbccad bcaadbc. 2二阶行列式与方程组的解对于关于x，y 的二元一次方程组axbym，cxdyn，我们把abcd称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式 )，记为 det(A)abcdadbc. 若将方程组中行列式abcd记为 D，mbnd记为 Dx，amcn记为 Dy，则当 D0 时，方程组的解为xDxD，yDyD.3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得 A ，那么称为 A 的一个特征值，称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量(2)特征多项式设 是二阶矩阵Aabcd的一个特征值，

6、 它的一个特征向量为 xy， 则 Axyxy，即axbyx，cxdyy，也即 a xby0，cx d y0.(*) 定义：设 Aabcd是一个二阶矩阵， R，我们把行列式f( ) abc d2(ad) adbc 称为 A 的特征多项式(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果 是二阶矩阵A 的特征值， 则 一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即 f( )0，此时，将 代入二元一次方程组(*) ，就可得到一组非零解x0y0，于是非零向量x0y0即为A 的属于 的一个特征向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备精品

7、知识点所有变换矩阵单位矩阵：1001M，点的变换为( , )( , )x yx y伸压变换矩阵：001kM：1k，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变01k，将原来图形横坐标缩小为原来k倍，纵坐标不变点的变换为( ,)(, )x ykx y100Mk：1k，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变01k，将原来图形纵坐标缩小为原来k倍，横坐标不变点的变换为( ,)( ,)x yx ky反射变换：1001M：点的变换为( , )( ,)x yxy变换前后关于x轴对称1001M：点的变换为( , )(,)x yx y变换前后关于y轴对称1001M：点的变换为( , )(,)x yxy变换前

8、后关于原点对称0110M：点的变换为( ,)( , )x yy x变换前后关于直线yx对称旋转变换：cossinsincosM： 逆时针090：0110M； 顺时针090：0110M旋转变化矩阵还可以设为：abMba投影变换：1000M：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上点的变换为( , )( ,0)x yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备精品知识点0001M：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上点的变换为( , )(0,)x yy1010M：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上点的变换为( ,)( , )x yx x0101M：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上点的变换为( , )( , )x yy y11221122M：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上点的变换为( , )(,)22xy xyx y切变变换：101kM：把平面上的点沿x轴方向平移|ky个单位点的变换为( , )(, )x yxky y101Mk：把平面上的点沿y轴方向平移|kx个单位点的变换为( , )( ,)x yx kxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页