2022年直接证明与间接证明导学案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载 2.2 直接证明和间接证明预习案考纲解读： 了解直接证明的两种基本方法-分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种方法-反证法，了解反证法的思考过程、特点. 学习目标： 1能用直接法证明一般的数学问题2会用反证法证明一般的数学问题学习重点： 直接法证明数学问题学习难点 ：反证法证明数学问题预习要求： 请同学们自己预习课本63-67页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题 . 教材助读：1直接证明 -综合法、分析法(1) 综合法课题直接证明与间接证明四要素研究课标考纲要求考点了解直接证明的两种基本 方 法 -分 析 法 和 综 合法，了

2、解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种方法 -反证法，了解反证法的思考过程、特点. 了解直接证明的两种基本方法 -分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点； 了解间接证明的一种方法-反证法，了解反证法的思考过程、特点 . 直 接 法 证明数学问题 反 证 法 证明数学问题高考回放山东卷全国卷已知, ,a b cR，1abc，求证：1119abc. 已 知a， b， m 都 是正 数 ，并 且. ba求证:.bambma（2003 全国）如果：3sinsin 2 +（），求证：tan()2 tan.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

3、 - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载用综合法解题的逻辑关系是：11223().nPQQQQQQQ综合法的思维特点是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法(2) 分析法用分析法解题的逻辑关系是：1121().()nnnQPPPPPPP分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题1B为真，从而有这只需要证明命题2B为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知 A为真，故命题B必为真2直接证明 -反证法小故事：中国古代有一个叫路边苦李的故事。王戎7 岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小

4、伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地不动。有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。 ”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李。一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。证明步骤：反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。思维方法： 正难则反关键在与： 从假设出发， 在正确的推理下得出矛盾（与已知矛盾， 与假设矛盾， 与定义、定理、公理矛盾，与事实矛盾等）。预习自测：1设在四面体PABC中 ,90 ,ABCPAPBPC D

5、 是 AC的中点 . 求证 :PD 垂直于ABC所在的平面 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载2在四面体SABC中,SAABC ABBC面,过 A 作 SB的垂线 ,垂足为 E,过 E 作 SC的垂线,垂足为 F,求证AFSC. 证明：要证3用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。预习疑惑：_. 探究案探究点 1:综合法例 1. 已知, ,a b cR，1abc，求证：1119abc.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共

6、 17 页学习必备欢迎下载已知 a，b，m都是正数，并且. ba求证 :.bambma变式练习：已知,Rba求证.abbababa探究点 2：分析法例 2. 求证5273变式练习：证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载求证：)3(321aaaaa探究点 3：反证法例 3.证明2不是有理数 .变式练习：1nn12bb.43nnb已知数列的通项公式，证明：数列中的任意三项不可能成等差数列证明： 1，2，3不

7、能为同一等差数列的三项.当堂检测：1. 如果3sinsin 2 +（），求证：tan()2tan.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载2. 设a为实数，2( )f xxaxa.求证：(1)f与(2)f中至少有一个不小于12.标题数学归纳法四课标考纲要求考点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载 2.3.1 数学归纳法预习案考纲解读：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。了解数学归纳法的原理

8、，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。使学生进一步了解归纳法 , 理解数学归纳法的原理与实质。理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数 n 有关问题。数学归纳法证明与自然数有关的命题步骤;数学归纳法第二步如何 利 用 归 纳 假 设 证 明1nk时命题成立高考回放山东卷全国卷（山东 01 模拟）用数学归纳法证明)14(31)12(53122222nnn过程中，由n=k 递推到 n=k+1 时，不等式左边增加的项为（）A.2)2( kB.2)32( kC. 2) 12( kD. 2)22( k（全国02 模拟）用数学归纳法证明不等式)2(241321312111nnnnn的过程中，由

9、n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A.增加了一项)1(21kB.增加了一项) 1(21121kkC.增加了“)1(21121kk” ，又减少了“11k” D. 增加了“)1(21k” ， 又减少了“11k”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载学习目标 ：1、使学生进一步了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质。2、理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题。学习重点：数学归纳法证明与自然数n有关的命题步骤;学习难点 : 数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明1nk时命题成立预习

10、要求：请同学们自己预习课本内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题. 教材助读：1.一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值n = 0n时命题成立；（2） （归纳递推）假设_时命题成立，证明_时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。注： （1） ， （2）两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。2.运用数学归纳法时易犯的错误（1） 对项数估算的错误

11、，特别是寻找n k 与 n k1 的关系时， 项数发生什么变化被弄错。（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。（3） 关键步骤含糊不清， “假设 nk 时结论成立， 利用此假设证明nk1 时结论也成立” ，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。预习自测1. 用数学归纳法证明：11112321nn（*Nn，且1n）时，第一步即证下列哪个不等式成立（）A. 12B. 1122C. 111223D. 11232. 用数学归纳法证明：)1(12131211nNnnn且，第二步证明从“K

12、 到K+1”，左端增加的项数是（）A. 12k B. k2 C. k2-1 D. k2+1 3. 用数学归纳法证明1222()nnnnN时，第一步证明n_. 4. 用数学归纳法证明：246 2n2nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下载预习疑惑：_. 探究案探究点 1：利用数学归纳法证明等式例 1、用数学归纳法证明：*Nn时，11 22 33 4(1)(1)(2)3n nn nn变式练习：用数学归纳法证明：22222246(2 )(1)(21)3nn nn探究点 2：由“ K 到 K+1”左端增加的项

13、数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载例 2、用数学归纳法证明22221135(21)(41)3nnn过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为（）A.2)2( k B.2)32( kC. 2)12( k D. 2)22( k变式练习：1. 用数学归纳法证明不等式111113(2)123224nnnnn的过程中， 由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A. 增 加 了 一 项)1(21kB. 增 加 了 一 项)1(21121kkC.增加了“) 1(21121kk” ，又减少了“11

14、k” D.增加了“) 1(21k” ，又减少了“11k”2.用 数 学 归 纳 法 证 明(1)(2)()21 3 5(21)nnnnnn*()nN时 ， 从“nk到1kn” ，左边需增乘的代数式是（）A. 12kB. 112kkC. )12(2kD. 132kk当堂检测：1. 用数学归纳法证明“)(12222112Nnnn”的过程中， 第二步kn时成立，则当1kn时应证明 ( ) A. 12222211122kkkB. 11221222221kkkkC. 122221112kkD. kkkk21222221122.空间中有n个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k个这样的平面把空间

15、分成)(kf个区域，则1k个平面把空间分成的区域数)()1(kfkf（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载A. 1kB. k C. 1kD. k23. 用数学归纳法证明某命题时, 左式为111111234212nn,nk到1nk时应将左边加上( ) 111111.212124222122ABCDkkkkkk4若11111( )1234212f kkk则)1(kf=)(kf+ _数学归纳法应用举例四课标考纲要求考点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

16、 -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载 2.3.2 数学归纳法应用举例预习案 了 解 数 学 归 纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学问题。理解数学归纳法原理；掌握数学归纳法的证明步骤；会用数学归纳法表达证明过程 . 数学归纳法证明与自然数有关的命题步骤;数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明1nk时命题成立高考回放山东卷全国卷（ 山 东 02 模 拟 ） 已 知 数 列na,nS是数列na的前n项和 ,且112nnnaSa, 且0 ()nanN. 写出数列na的 前 三 项 ; 猜 想 数 列na的通项公式并用数学归纳法证明 . （全国 00 模拟） 3. 根据下列不等式: 1

17、1 11 11 31 111,11,1,12,22 32 37 22 315, 能否猜想一个一般的不等式. 并证明你的结论 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载考纲解读： 理解数学归纳法原理，并能用数学归纳法证明一些与自然数n有关问题 .学习目标 : 1. 理解数学归纳法原理；2. 掌握数学归纳法的证明步骤；3. 会用数学归纳法表达证明过程. 学习重点： 会用数学归纳法证明. 学习难点 ：数学归纳法第二步中，如何利用假设证明1nk时命题成立 . 预习要求： 请同学们自己预习课本71-72 页内容

18、， 有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题 .教材助读：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：证明当n取_时, 命题成立；假设 _时命题成立，证明当_时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立 . 上述证明方法叫做数学归纳法 . 注：、两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题. 预习自测：1. 若命题( )P n对nk成立 ,则它对2nk时也成立 , 并且已知命题(2)P成立 , 则下列结论正确的是( ) A.( )P n对

19、每一个自然数n都成立 B.( )P n对每一个正偶数n都成立C.( )P n对每一个正奇数n都成立 D.( )P n对所有大于 1的自然数n都成立2. 对于不等式21 (*)nnnnN,某同学用数学归纳法证明过程如下：当1n时, 2111 1, 显然命题是正确的; 假设(*)nk kN时, 有21kkk, 那么当1nk时, 2(1)(1)kk2232(32)(2)(1) 1kkkkkk, 1nk时命题是正确的, 由、可知对于*nN, 命题都是正确的. 以上证法 ( ) A. 正确 B. 当1n时, 证明过程不正确 C. 归纳假设的过程不正确 D. 从nk到1nk的推理不正确. 精选学习资料 -

20、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载3. 用数学归纳法证明22111(,1)1nnaaaanN aa中 , 证明1n时 , 左边式子应为 _. 预习疑惑： _.探究案探究点 1：证明等式问题例1. 用数学归纳法证明:222112(1)(21)6nn nn. 变式练习：已知数列na,nS是数列na的前n项和 , 且112nnnaSa, 且0 ()nanN. 写出数列na的前三项 ; 猜想数列na的通项公式并用数学归纳法证明. 探究点 2：证明不等式问题例2. 求证 :当,2nNn时,22211111223nn. 精选

21、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载变式练习：证明不等式 :11112(*)23nnnNn. 探究点 3：证明整除问题例 3. 用数学归纳法证明:22nnxy(*)nN能被xy整除 . 变式练习：用数学归纳法证明:2121(*)nnxynN能被xy整除 . 探究点 4：证明几何问题例4. 求证 :n棱柱中过侧棱的对角面的个数1( )(3) (4)2f nn nn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载变式练习

22、：平面内有(2)n n条直线 , 其中任何两条不平行, 任何三条不共点. 证明直线交点个数为1( )(1)2f nn n. 课后检测：1. 用数学归纳法证明：112121coscos3cos(21)sincos(,)2sin22nnnknN.证明1n时 , 左边的代数式为( ) 1111.cos.coscos3.coscos3cos52222ABCD2. 用数学归纳法证明“52nn能被 3整除”的第二步中，1nk时，为了使用假设，应将1152kk变形为 _. 3. 根据下列不等式:11111131111,11,1,12,22323722315,能否猜想一个一般的不等式. 并证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载4. 求证 : 凸n边形的内角和为( )(2)180(3)f nnn. 5. 是否存在常数ab、使等式112 (1)3 (2)(1) 21() ()6nnnnnnnanb对一切正整数n都成立，并证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页