2022年人教版高中数学等差数列知识点归纳 .pdf

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1、第 1 页 共 4 页等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n 项和求法。1. 设数列na的前n项和为nS已知5a1，13nnnaS，*nN设3nnnbS，求数列nb的通项公式；解： 依题意，113nnnnnSSaS，即123nnnSS，由此得1132(3 )nnnnSS因此，所求通项公式为nnnn23-Sb。2设数列na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 3已知等差数列na的公差0d，且139,a a a成等比数列，则1392410aaaaaa1316【考点梳理】1. 在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n 中任意三个，可求其余两个。

2、2. 补充的一条性质1）项数为奇数21n的等差数列有：1snsn奇偶nssaa奇偶中，21(21)nnsna2）项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶，ssnd偶奇21()nnnsn aa3. 等差数列的判定：an为等差数列数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）BnAnSnBAnaaaadaannnnnnn22112即：*), 2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn为常数）BnAnsbknann2；4. 三个数成等差可设：a，ad，a2d或ad，a，ad；四个数成等差可设：a 3d，ad，ad，a3d. 5等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系

3、：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d n+ a1-d, an是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（ n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11naan，d=mnaamn，由此联想点列（n， an）所在直线的斜率 . 2）点)S(n,n在没有常数项的二次函数2nSpnqn上。其中，公差不为0. 6. 等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（）若已知2n

4、Spnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2）若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（）若已知通项na，则nS最小100nnaa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页第 2 页 共 4 页（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小。7. 等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等差数列定义an 为等差数列an+1-an=d（常数），nN+2an=an-1+an+1（n2，nN+）通项公式1）na=1a+（n-1 ）d=ka+（ n-k ）d；na=dn+1

5、a-dbkn2）推广： an=am+（nm ）d. 3）变式： a1=an（n1）d，d=11naan，d=mnaamn，由此联想点列 （ n，an）所在直线的斜率. 求和公式1）nBnA)2(22)1(2)(S21211ndanddnnnaaannn2）变式：21naa=nSn=naaan21=a1+（n1） 2d=an+（n1） （2d） . 等差中项1）等差中项： 若a、b、c成等差数列， 则b称a与c的等差中项， 且b=2ca；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件 .2 ）推广： 2na=mnmnaa重要性质1 mnlkmnlkaaaa( 反 之 不 一 定 成 立 ) ； 特

6、 别 地 , 当2mnp时 , 有2mnpaaa；特例： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=。2 下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md. 3 nnnnnsssss232,成等差数列。4 )(11nmnmaanaadnmn5 增减性为递增数列na0d为常数列na0d为递减数列na0d其它性质1 an=am+（nm ）d. 2 若数列 an 是公差为d的等差数列，则数列an+b（ 、b为常数）是公差为 d的等差数列； 若bn 也是公差为d的等差数列， 则 1an+2bn（ 1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d. 3 an=an

7、+b，即 an是 n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即 Sn是 n 的不含常数项的二次函数；三、合作探究：题型 1 等差数列的基本运算例 1 在等差数列 an中，(1) 已知 a1510，a45 90，求 a60；(2) 已知 S1284，S20 460，求 S28；(3) 已知 a6 10，S55，求 a8和 S8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页第 3 页 共 4 页解： (1) 方法一：38382904410141145115dadaadaaa60 a159d130方法 2 38

8、15451545aamnaadmn，anam(nm)da60a45(60 45)d 901538130(2) 不妨设 SnAn2Bn，172460202084121222BABABASn2n217n S2822821728 1092 (3) S6S5a651015，又 S62)10(62)(6161aaa152)10(61a即 a1 5 而 d31616aaa8a62 d 16 S8442)(881aa变式训练1设an为等差数列，Sn为数列 an 的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列 nSn的前n项和，求Tn. 解： 设等差数列 an的公差为d，则Sn=na1+21n（n1）d.

9、 S7=7，S15=75，,7510515,721711dada即.57, 1311dada解得a1=2，d=1. nSn=a1+21（n1）d=2+21（n1）=25n. 11nSnnSn=21. 数列 nSn 是等差数列，其首项为2，公差为21. Tn=41n249n. 小结与拓展： 基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个 . 题型 2 等差数列的判定与证明例 2 已知数列 an 满足 2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a35，S636. 求数列 an

10、的通项公式；解： 2an1anan2， an是等差数列，设an的首项为a1，公差为d，由a35，S636 得a12d56a1 15d36，解得a11，d2. an2n1. 变式训练2 在数列 an中，a11，an12an2n. 设bnan2n1，证明：数列 bn是等差数列；证明： 由已知 an12an2n得 bn1an12n2an2n2nan2n11 bn 1. 又 b1a11，因此bn 是首项为 1，公差为1 的等差数列小结与拓展：证明数列 an 是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明anan1（n2）为常数； 2）利用等差中项，即证明2an=an1+an+1（n2）. 题型 3 等

11、差数列的性质例 3 设等差数列na的首项及公差均是正整数，前n项和为nS，且11a，46a，312S，则2010a=_ _ _答案： 4020 变式训练3 在等差数列 an 中，已知log2(a5a9) 3，则等差数列 an的前 13 项的和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页第 4 页 共 4 页S13_. 答案： 52 解： log2(a5a9) 3，a5a9238. S1313(a1a13)213 (a5a9)2138252. 小结与拓展： 解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成

12、关于a1和d（q）的方程；巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 题型 4 等差数列的前n项和及最值问题例 4 设等差数列 an的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130. （1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，S12中哪一个最大，并说明理由. 解： （1）a3=12，a1=122d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S120，S13 0，即2)(12121aa0，且2)(13131aa0，解之得724d 3. （2）易知a70，a60，故S6最大 . 变式训练4 设等差数列na的前

13、n 项和为nS, 若111a,466aa, 则当nS取最小值时,n 等于 ( A ) A6 B7 C8 D9 【解析】 设该数列的公差为d，则461282( 11)86aaadd，解得2d，所以22(1)11212(6)362nn nSnnnn，所以当6n时，nS取最小值。小结与拓展： 等差数列的前n项和为nS ，在0d时，有最大值 . 如何确定使nS 取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值 . 2. 等差数列 an中，当a10，d 0 时，数列 an 为递增数列，Sn有最小值；当a10，d0 时，数列 a

14、n 为递减数列，Sn有最大值；当d=0时， an为常数列 . 3. 注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 五、检测巩固：1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数解：设这四个数为：2(), ,adad a ada，则2()16212adadaad解得：48ad或96ad，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,12由正数组成的等比数列na，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11 倍，第 3 项与第 4 项之和为第2 项与第 4 项之积的 11 倍，求数列na的通项公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页