2022年直线与方程知识点归纳 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向 与直线 l 向上方向 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0 . 2、 倾斜角 的取值范围：0 180. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 . 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角( 90) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k 表示, 也就是 k = tan当直线l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线l 与 x

2、轴垂直时 , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线l 的倾斜角 一定存在 , 但是斜率k 不一定存在 .4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有l1l22、两条直线都有斜率，如果它们互

3、相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k kll（充要条件）3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的 点斜式 方程：直线l经过点),(000yxP， 且斜率为k)(00 xxkyy2、 、 直线的 斜截式 方程：已知直线l的斜率为k， 且与y轴的交点为),0(bbkxy3.2.2 直线的两点式方程1、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点),(),(222211yxPxxP其 中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b，

4、其中0,0 ba3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0CByAx（ A， B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页学习必备欢迎下载3.3 直线的交点坐标与距离公式22122121()()PPyyxx3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0 L2：2x+y +2=0 解：解方程组34202220 xyxy得 x=-2， y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为M（-2，2）3.3.2两点间距离两点间的

5、距离公式3.3.3点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页学习必备欢迎下载基础练习一选择题1经过点 (3,2)，倾斜角为60 的直线方程是() Ay23(x3) By233(x3) Cy23(x3) Dy233(x3) 答案： C 2如下图所示，方程yax1a表示的

6、直线可能是() 答案： B 3已知直线l1：y kxb，l2：ybxk，则它们的图象可能为() 答案： C 4经过原点，且倾斜角是直线y22x1 倾斜角 2 倍的直线是 () Ax0 By0 Cy2x Dy22x 答案： D 5 欲使直线 (m 2)xy3 0与直线 (3m2)xy10平行， 则实数 m的值是 () A1 B2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页学习必备欢迎下载C3 D不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算答案： B 6直线 yk(x 2)3 必过定点，该定点为() A(3,

7、2) B (2,3) C(2， 3) D (2,3) 解析：直线方程改写为y3 k(x2)，则过定点 (2,3)答案： B 7若直线 (m2)x (m22m3)y2m 在 x 轴上的截距是3，则 m 的值是 () A.25B6 C25D 6 解析：令y0，得 (m2)x2m，将 x3 代入得 m 6，故选 D. 答案： D 8过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是() A.x3y21 B.x2y31 C.x3y21 D.x2y31 答案： B 9直线xa2yb2 1 在 y 轴上的截距为() A|b| B b C b2D b2答案： D 10下列四个命题中是真命题的是() A经过定

8、点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0 k(xx0)表示B经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1) (x2x1)(xx1) (y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示D经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykx b 表示答案： B 11直线 axby1(a， b 0) 与两坐标轴围成的三角形的面积是() A.12ab B. 12|ab| C.12abD.12|ab|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页学习必备欢迎下载解析：直线 axby 1 可

9、化为x1ay1b1， 故其围成的三角形的面积为S121|a|1|b|12|ab|. 答案： D 12过点 ( 1,3)且垂直于直线x2y30 的直线方程为 () A2xy10 B2x y50 Cx2y50 Dx2y70 答案： A 13直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x 3y2a0 平行，则a的值等于 () A 1或 3 B1 或 3 C 3 D 1 解析：由题意，两直线斜率存在，由l1l2知1a 2a362a， a 1 答案： D 14直线 3x 2y40 的截距式方程是() A.3x4y41 B.x13y124 C.3x4y2 1 D.x43y21 答案： D 15已知点A(1,

10、2) ， B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是() A4x2y5 B4x 2y5 Cx2y5 Dx2y5 解析： kAB123112，由 k kAB 1 得 k2. 由中点坐标公式得x1322，y21232，中点坐标为2，32. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页学习必备欢迎下载由点斜式方程得y322(x2)，即 4x 2y5. 答案： B 16直线 (a2)x(1a)y30 与(a1)x (2a3)y20 互相垂直，则a() A 1 B1 C 1 D32解析：由 (a2)(a1)(1a)(2a3)0 化

11、简得 1a20， a 1. 答案： C 17直线 l 的方程为AxByC 0，若直线l 过原点和二、四象限，则() AC0，B0 BA0，B0， C0 CAB0 ，C0 答案： D 18 直线的截距式方程xayb 1 化为斜截式方程为y 2xb，化为一般式方程为bxay80.求 a，b 的值（）解析：由xayb1，化得ybax b 2xb，又可化得：bx ayabbxay80，则ba2，且 ab 8. 解得 a 2，b4 或 a 2，b 4. 19直线 x2y20 与直线 2xy 30 的交点坐标为() A(4,1) B(1,4) C.43，13D.13，43答案： C 20已知两直线a1xb

12、1y10 和 a2x b2y10 的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是 () A3x2y0 B2x3y 50 C2x 3y1 0 D3x2y 10 答案： C 21 两直线 3axy20 和(2a1)x5ay10 分别过定点A， B， 则|AB|等于 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页学习必备欢迎下载A.895B.175C.135D.115解析：易知A(0 ， 2)，B 1，25，|AB|135. 答案： C 22设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上， AB

13、 的中点是 P(2， 1)，则 |AB|等于 () A5 B4 2 C2 5 D2 10 解析：设 A(x,0) ，B(0，y)，由中点公式得x4，y 2，则由两点间的距离公式得|AB|042202202 5. 答案： C 23已知 M(1,0) ，N( 1,0)，点 P在直线 2xy10 上移动，则 |PM|2|PN|2的最小值为 _答案： 2.4 24已知点 (3，m)到直线 x3y40 的距离等于1，则 m 等于 () A.3 B3 C33D.3或33解析：|33m4|21，解得 m3或33. 答案： D 25两平行线ykxb1与 ykxb2之间的距离是 () Ab1b2B.|b1b2|

14、1k2C|b1 b2| Db2 b1解析：两直线方程可化为kxyb10，kxyb20. d|b1b2|1k2. 答案： B 26过点 (1,2)且与原点距离最大的直线方程是() Ax2y50 B2xy4 0 Cx3y70 D3xy5 0 解析：所求为过A(1,2) ，且垂直OA 的直线，k12，y212(x1)，即 x2y50. 答案： A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 44 页学习必备欢迎下载27点 P(mn， m)到直线xmyn 1 的距离等于 () A.m2n2B.m2n2C.n2m2D.m2 n2解析：直线方程

15、可化为nxmymn 0，故 d|mnnm2mn|m2n2|mnn2m2mn|m2n2m2n2. 答案： A 28已知直线3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是() A4 B.2 1313C.52613 D.72613 解析：由题意m 4，则 d|61|36 1675272 1371326. 答案： D 29垂直于直线x3y10 且到原点的距离等于5 的直线方程是 _解析：由题意，可设所求直线方程为3xy c0，则|c|2 5. |c| 10，即 c 10. 答案：3xy100 或3xy100 30点 P(x，y)在直线 xy40上，则 x2y2的最小值是 () A8 B

16、2 2 C.2 D16 答案： A 31到直线3x4y10 的距离为 2 的直线方程为 () A3x4y110 B3x 4x9 0 C3x 4y110 或 3x4y90 D3x4y110 或 3x4y90 答案： C 强化练习一选择题1直线 y 2x3 的斜率和在y 轴上的截距分别是() A 2,3 B3， 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页学习必备欢迎下载C 2， 2 D3,3 答案 A 2过点 (1,3)且斜率不存在的直线方程为() Ax1 Bx3 Cy1 Dy3 答案 A 3方程 y y0 k(xx0)(

17、) A可以表示任何直线B不能表示过原点的直线C不能表示与y 轴垂直的直线D不能表示与x 轴垂直的直线答案 D 解析 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x 轴垂直的直线4已知两条直线yax2 和 y(2a)x1 互相平行，则a 等于 () A2 B1 C0 D 1 答案 B 解析 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1a，k22a.两直线平行，则有 k1k2. 所以 a2 a，解得 a1. 5方程 y ax1a表示的直线可能是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页学习必备欢迎下载答案 B

18、解析 直线 yax1a的斜率是a，在 y 轴上的截距是1a.当 a0 时，斜率a0，在 y 轴上的截距是1a0，则直线 yax1a过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0 时，斜率 a0，在 y 轴上的截距是1a0， b0 Ba0，b0 Ca0 Da0，b0，b0，b0， 判知 l2的图像符合， 在 C 选项中，由 l1知 a0， b0，排除 C；在 D 选项中，由l1知 a0，b0，排除D.所以应选B. 24直线 l 的方程为AxBy C0，若 l 过原点和二、四象限，则() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 44

19、 页学习必备欢迎下载A.C0B0B.C0B0A0C.C0AB 0D.C0AB0答案 D 解析 l 过原点， C0，又 l 过二、四象限，l 的斜率AB0. 25直线3xy0 与 xy 0 的位置关系是 () A相交B平行C重合D垂直答案 A 解析 A1B2A2B1311(1)3 10，又 A1A2B1B231(1) 131 0，则这两条直线相交，但不垂直26直线 2x3y8 0 和直线 xy 10 的交点坐标是() A(2， 1) B(1， 2) C(1,2) D(2,1) 答案 B 解析 解方程组2x3y80，xy10，得x 1，y 2，即交点坐标是 (1， 2)27直线 ax3y5 0 经

20、过点 (2,1)，则 a 的值等于 () A2 B1 C0 D 1 答案 B 解析 由题意得2a350，解得 a1. 28若三条直线2x3y80，xy 1，和 xky0 相交于一点， 则 k 的值等于 () A 2 B12C2 D.12答案 B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 44 页学习必备欢迎下载解析 由xy12x3y8 0得交点 (1， 2)，代入 xky0 得 k12，故选 B. 29直线 kx y13k，当 k 变动时，所有直线都通过定点() A(0,0) B(0,1) C(3,1) D(2,1) 答案 C

21、解析 方程可化为y1k(x3)，即直线都通过定点(3,1)30已知点 M(0， 1)，点 N 在直线 xy10 上，若直线MN 垂直于直线x2y30，则 N 点的坐标是 () A(2， 3) B(2,1) C(2,3) D(2， 1) 答案 C 解析 将 A、B、C、D 四个选项代入xy 10 否定 A、 B，又 MN 与 x2y30垂直，否定D，故选 C. 31过两直线3xy10 与 x2y70 的交点， 并且与第一条直线垂直的直线方程是() Ax3y70 Bx3y130 C2xy70 D3xy50 答案 B 解析 由3xy10，x2y70，得交点 ( 1,4)所求直线与3xy 10 垂直，

22、所求直线斜率k13， y413(x1)，即 x3y130. 32已知直线mx4y20 与 2x 5yn 0 互相垂直，垂足为(1，p)，则 mnp 为() A24 B20 C0 D 4 答案 B 解析 两直线互相垂直，k1 k2 1， m425 1， m10.又垂足为 (1， p)，代入直线10 x4y20 得 p 2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 44 页学习必备欢迎下载将(1， 2)代入直线2x5yn0 得 n 12， m np20. 33已知点A(a,0)，B(b,0)，则 A，B 两点间的距离为() AabB

23、baC.a2 b2D|ab| 答案 D 解析 代入两点间距离公式34一条平行于x 轴的线段长是5 个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是 () A(3,1)或(7,1) B(2， 3)或(2,7) C(3,1)或(5,1) D(2， 3)或(2,5) 答案 A 解析 AB x 轴，设B(a,1)，又 |AB|5， a 3 或 7. 35已知 A(5,2a1)，B(a 1，a4)，当 |AB|取最小值时，实数a 的值是 () A72B12C.12D.72答案 C 解析 |AB|a42 a322a22a252 a122492，当 a12时，|AB|取最小值36设点 A 在

24、 x 轴上，点B 在 y 轴上， AB 的中点是P(2， 1)，则 |AB|等于 () A5 B42 C25 D210 答案 C 解析 设 A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x4，y 2，则由两点间的距离公式得|AB|042 202202 5. 37ABC 三个顶点的坐标分别为A(4， 4)、 B(2,2) 、C(4， 2)，则三角形AB 边上的中线长为 () A.26 B.65 C.29 D.13 答案 A 解析 AB 的中点 D 的坐标为 D( 1， 1)|CD|142 1 2226；故选 A. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

25、-第 17 页，共 44 页学习必备欢迎下载38已知三点 A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则 ABC 的形状是 () A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案 C 解析 |AB|302 2523 2，|BC|042 56217，|AC|342 26217，|AC|BC|AB|，且|AB|2|AC|2 |BC|2. ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形39两直线 3axy20 和(2a1)x5ay1 0 分别过定点A、B，则 |AB|等于 () A.895B.175C.135D.115答案 C 解析 易得 A(0， 2)，B( 1，25)40在直线 2

26、x3y50 上求点 P，使 P 点到 A(2,3)距离为13，则 P 点坐标是 () A(5,5) B(1,1) C(5,5) 或(1,1) D(5,5) 或(1， 1) 答案 C 解析 设点 P(x，y)，则 y2x53，由|PA|13得(x2)2(2x533)213，即(x2)29，解得 x 1 或 x5，当 x 1 时， y1，当 x5 时， y 5， P( 1,1)或(5,5)41点 (0,5)到直线 y 2x 的距离是 () A.52B.5 C.32D.52答案 B 解析 由 y2x 得： 2xy0，由点到直线的距离公式得：d555，故选 B. 精选学习资料 - - - - - -

27、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 44 页学习必备欢迎下载42已知直线3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是() A4 B.2 1313C.51326D.71326答案 D 解析 两直线平行，63m2， m4，两平行直线6x4y60 和 6x4y10 的距离d|16|624271326. 43已知点 A(3,4)，B(6，m)到直线 3x4y7 0的距离相等，则实数m 等于 () A.74B294C1 D.74或294答案 D 解析 由题意得|916 7|5|184m7|5，解得 m74或 m294. 44点 P 为 x 轴上一点， 点

28、 P 到直线 3x4y 60 的距离为6，则点 P 的坐标为 () A(8,0) B(12,0) C(8,0) 或(12,0) D(0,0) 答案 C 解析 设 P(a,0)，则|3a6|3242 6，解得 a8 或 a 12，点 P 的坐标为 (8,0)或( 12,0)45过点 (1,2)且与原点距离最大的直线方程为() Ax2y50 B2xy40 Cx3y70 D3xy50 答案 A 解析 由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于 (0,0)与(1,2)两点的连线，所求直线的斜率k12，y212(x1)，即 x2y50. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

29、 - - - - -第 19 页，共 44 页学习必备欢迎下载46已知直线l 过点 (3,4)且与点 A(2,2)，B(4， 2)等距离，则直线l 的方程为 () A2x3y180 B2xy20 C3x2y180 或 x2y20 D2x3y180 或 2xy 20 答案 D 解析 设所求直线方程为y4 k(x3)，即 kxy 43k0. 由已知有| 2k243k|k2 1|4k24 3k|k2 1，所以 k2 或 k23，所以直线方程为2xy20 或 2x3y18 0. 47P，Q 分别为 3x4y120 与 6x8y60 上任一点，则|PQ|的最小值为 () A.95B.185C3 D6 答

30、案 C 解析 |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离在直线3x4y 120 上取点 (4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3. 48点 P(x，y)在直线 xy40 上，则 x2y2的最小值是 () A8 B22 C.2 D16 答案 A 解析 x2y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，原点到直线xy40 的距离为| 4|2 2 2，x2y2最小值为8.故选 A. 二填空题1过点 (1,3)，且斜率为2 的直线的斜截式方程为_答案 y 2x1 解析 点斜式为y3 2(x1)，化为斜截式为y 2x1. 2已知直线l1过点 P(2,1)且与直线 l2：yx 1 垂直，

31、则l1的点斜式方程为_ 答案 y1 (x2) 解析 设 l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1 l2， k1k2 1. 又 k21， k1 1. l1的点斜式方程为y 1 (x2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 44 页学习必备欢迎下载3已知点 (1，4)和(1,0)是直线 y kxb 上的两点，则k_，b_. 答案 22 解析 由题意，得4kb，0 k b，解得 k 2，b 2. 4ABC 的顶点A(5， 1)，B(1,1)，C(2，m)，若 ABC 为直角三角形，则直线BC的方程为 _答案 8xy90 或 2xy

32、 10 或 yx 或 3xy40 解析 若 A 为直角，则ACAB，kAC kAB 1，即m12 51115 1，得 m 7；此时 BC：8xy90. 若 B 为直角，则ABBC， kAB kBC 1，即12m121 1，得 m3；此时直线 BC 方程为 2xy10. 若 C 为直角，则AC BC， kAC kBC 1，即m13m121 1，得 m 2. 此时直线 BC 方程为 y x 或 3xy40. 5直线x4y51 在两坐标轴上的截距之和为_答案 1 解析 直线x4y5 1 在 x 轴上截距为4，在 y 轴上截距为5，因此在两坐标轴上截距之和为 1. 6过点 (0,1)和(2,4)的直线

33、的两点式方程是_答案 y14 1x020(或y414x202) 7过点 (0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5 的直线方程是 _答案 3x2y60 解析 设直线方程为xayb1，则b3，ab5，解得 a2， b3，则直线方程为x2y31，即 3x2y60. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 44 页学习必备欢迎下载8直线 l 过点 P(1,2)，分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，则直线 l 的方程为 _答案 2xy40 解析 设 A(x,0)，B(0，y)由 P(1,2)为 AB 的中

34、点，x02 1，0y22，x 2，y4由截距式得l 的方程为x2y41，即 2x y40. 9经过点A(4,7)，且倾斜角为45 的直线的一般式方程为_答案 xy110 解析 直线的斜率k tan45 1，则直线的方程可写为y7x4，即 xy110. 10如下图所示，直线l 的一般式方程为_答案 2xy20 解析 由图知，直线l 在 x 轴， y 轴上的截距分别为1，2，则直线 l 的截距式方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 44 页学习必备欢迎下载为x1y21，即 2x y20. 11 若直线 (a2)x(a22a3

35、)y2a0 在 x 轴上的截距为3， 则实数 a的值为 _答案 6 解析 把 x3，y0 代入方程 (a2)x(a22a3)y2a0 中得 3(a2)2a0，a 6. 12 已知直线的斜率为16， 且和坐标轴围成面积为3 的三角形，该直线的方程为_答案 x6y60 或 x6y 60 解析 设直线的方程为xayb1，直线的斜率k16，ba16，又12|ab|3，a 6，b1或a6，b 1.所求直线方程为：x 6y6 0 或 x6y60. 13 过原点和直线l1： x3y40 与 l2： 2xy5 0的交点的直线的方程为_答案 3x19y0 解析 由x3y40，2xy50，得交点坐标 (197，3

36、7)，所求方程为y319x，即 3x19y0. 14在 ABC 中，高线AD 与 BE 的方程分别是x 5y3 0 和 x y10，AB 边所在直线的方程是x 3y1 0，则 ABC 的顶点坐标分别是A_；B_；C_. 答案 (2,1)(1,0)(2,5) 解析 高线 AD 与边 AB 的交点即为顶点A，高线 BE 与边 AB 的交点即为顶点B，顶点 C 通过垂直关系进行求解15两条直线xmy120,2x3y m0 的交点在y 轴上，则m 的值是 _答案 6 解析 设交点坐标为(0，b)，则有mb12 0，3bm0，解得 m 6. 16已知直线 l1：a1xb1y1 和直线 l2： a2xb2

37、y1 相交于点 P(2,3)，则经过点 P1(a1，b1)和 P2(a2， b2)的直线方程是_答案 2x3y1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 44 页学习必备欢迎下载解析 由题意得P(2,3)在直线 l1和 l2上，所以有2a13b11，2a23b21，则点 P1(a1，b1)和 P2(a2，b2)的坐标是方程2x3y1 的解，所以经过点P1(a1，b1)和 P2(a2， b2)的直线方程是2x3y1. 17已知点M(m， 1)，N(5，m)，且 |MN|2 5，则实数m_. 答案 1 或 3 解析 由题意得m52

38、 1m22 5，解得 m1 或 m3. 18已知 A(1， 1)，B(a,3)， C(4,5)，且 |AB|BC|，则 a_. 答案 12解析 a12 3124a2 532，解得 a12. 19 已知点 A(4,12)， 在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于13， 则点 P 的坐标为 _答案 (9,0)或(1,0) 解析 设 P(a,0)，则a42122 13，解得 a9 或 a 1，点 P 的坐标为 (9,0)或(1,0)20已知 ABC 的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2， 4)，则 BC 边上的中线AM 的长为_答案 65 21已知点A(0,4)，B(2,5)，C(2

39、,1)，则 BC 边上的高等于 _答案 22解析 直线 BC：x y30，则点 A 到直线 BC 的距离 d|043|222，即 BC 边上的高等于22. 22过点 A(3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_答案 3xy100 解析 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大kOA13，所求直线的方程为y13(x3)，即 3xy100. 23直线 l1：2x 4y10 与直线l2：2x4y30 平行，点P 是平面直角坐标系内任一点， P 到直线 l1和 l2的距离分别为d1，d2，则 d1d2的最小值是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

40、 - - - - - -第 24 页，共 44 页学习必备欢迎下载答案 55解析 l1与 l2的距离 d|31|41655，则 d1d2d55，即 d1d2的最小值是55. 24 两条平行线分别经过点(1,0) 和 (0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是_答案 y5 和 y0 或者 5x12y600 和 5x12y 50. 解析 设 l1：ykx5， l2：xmy1，在 l1上取点 A(0,5)由题意 A 到 l2距离为 5，|05m1|1m25，解得 m125，l2： 5x12y50. 在 l2上取点 B(1,0)则 B 到 l1的距离为5，|k 05|1k25，k0 或 k512，

41、l1： y5 或 5x12y 600，结合 l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：l1：y5，l2：y0；或 l1：5x12y600，l2：5x12y5 0. 三解答题1已知直线l1的方程为y 2x3，l2的方程为y4x2，直线 l 与 l1平行且与l2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程解析 由斜截式方程知直线l1的斜率 k1 2. 又 ll1， l 的斜率 kk1 2. 由题意知 l2在 y 轴上的截距为2，l 在 y 轴上的截距b 2，由斜截式可得直线l 的方程为y 2x2. 2已知 ABC 的三个顶点分别是A(5,0)，B(3， 3)，C(0,2)，试求BC 边上的高所在直线的点斜

42、式方程分析 BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，从而由点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 44 页学习必备欢迎下载斜式得直线方程解析 设 BC 边上的高为AD，则 BCAD，kBCkAD 1. 2303kAD 1，解得 kAD35. BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y 035(x5)即 y35x3. 3已知直线y33x5 的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5 倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程(1)过点 P(3， 4)；(2)在 x 轴上截距为2；(3)在 y 轴上截距为3. 解析

43、 直线 y33x5 的斜率 k tan 33， 150 ，故所求直线l 的倾斜角为30 ，斜率 k33. (1)过点 P(3， 4)，由点斜式方程得：y433(x3)，y33x34. (2)在 x 轴截距为 2，即直线l 过点 (2,0)，由点斜式方程得：y033(x 2)， y33x2 33. (3)在 y 轴上截距为3，由斜截式方程得y33x3. 4求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为32的直线方程解析 设直线方程为y32xb，令 y0 得 x23b，由题意知12 |b| |23b|12， b236，b 6，所求直线方程为y32x 6. 5求过点 P(6， 2)，且在 x 轴上的截距比在y

44、 轴上的截距大1 的直线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 44 页学习必备欢迎下载解析 设直线方程的截距式为xa1ya1. 则6a12a1，解得 a2 或 a1，则直线方程是x21y21或x11y11，即 2x3y60 或 x2y20. 6已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4， 2)、C(6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程解析 设 AB、BC、CA 的中点分别为D、E、F，根据中点坐标公式得D(6，32)、E(1，12)、F(1,4)由两点式得DE 的直线方程为y321232x 616.整理得 2x14y9

45、 0，这就是直线 DE 的方程由两点式得y12412x 11 1，整理得 7x 4y90，这就是直线EF 的方程由两点式得y32432x61 6整理得 x2y90 这就是直线DF 的方程7ABC 的三个顶点分别为A(0,4)，B( 2,6)， C(8,0)(1)分别求边AC 和 AB 所在直线的方程；(2)求 AC 边上的中线BD 所在直线的方程；(3)求 AC 边的中垂线所在直线的方程；(4)求 AC 边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB 和 AC 的中点的直线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 44 页学习

46、必备欢迎下载解析 (1)由 A(0,4)，C(8,0)可得直线AC 的截距式方程为x 8y41，即 x2y80. 由 A(0,4)，B(2,6)可得直线AB 的两点式方程为y464x020，即 xy40. (2)设 AC 边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x 4，y2，所以直线BD 的两点式方程为y626x242，即 2xy10 0. (3)由直线 AC 的斜率为kAC400812， 故 AC 边的中垂线的斜率为k 2.又 AC 的中点D( 4,2)，所以 AC 边的中垂线方程为y2 2(x 4)，即 2xy6 0. (4)AC 边上的高线的斜率为2，且过点B(2,6)，所以其点斜式方

47、程为y6 2(x2)，即 2xy20. (5)AB 的中点 M(1,5)，AC 的中点 D( 4,2)，直线 DM 方程为y 25 2x 41 4，即 xy60. 8求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点 (4， 3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等分析 欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式解析 (1)设直线 l 的方程为y34xb. 令 y0，得 x43b，12|b (43b)|6，b 3. 直线 l 的方程为y43x 3 (2)当 m1 时，直线l 的方程是y010

48、 x1m1，即 y1m1(x1) 当 m1 时，直线l 的方程是x1. (3)设 l 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为a、b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 44 页学习必备欢迎下载当 a0，b0 时， l 的方程为xayb1；直线过 P(4， 3)，4a3b1. 又 |a|b|，4a3b1，a b.解得a1，b1或a7，b 7.当 ab0 时，直线过原点且过(4， 3)，l 的方程为y34x. 综上所述，直线l 的方程为 xy1 或x7y 71 或 y34x. 点评 明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)

49、中 m 的分类，再如 (3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况9把直线l 的一般式方程2x3y60 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形分析 求 l 在 x 轴上的截距， 即求直线l 与 x 轴交点的横坐标 在 l 的方程中令y0，解出 x 值，即为x 轴上的截距，令x0，解出 y 值，即为y 轴上的截距解析 由 2x3y60 得 3y2x6，y23x 2，即直线 l 的一般式方程化成斜截式为y23x2，斜率为23. 在 l 的方程 2x 3y6 0 中，令 y0，得 x 3；令 x0，得 y 2. 即直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距

50、分别是3， 2. 则直线 l 与 x 轴， y 轴交点分别为A(3,0)，B(0， 2)，过点A，B 作直线，就得直线l的图形，如右图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 44 页学习必备欢迎下载点评 已知一般式方程讨论直线的性质：令x0，解得 y 值，即为直线在y 轴上的截距，令y0，解得 x 值，即为直线在x 轴上的截距，从而确定直线与两坐标轴的交点坐标，从而画出图形 当然也可将一般式方程化为截距式来解决；化为斜截式可讨论斜率与倾斜角，以及在y 轴上的截距10(1)已知三直线l12x4y70，l2x2y50，l34x