2022年人教版初二数学反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解 2.pdf

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1、初二数学反比例函数知识点第七章、反比例函数反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。一、反比例函数知识要点点拨1、反比例函数的图象和性质：反比例函数(0)kykxk的符号0k0k图象性质x的取值范围是0 x，y的取值范围是0y当0k时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限在每个象限内，y随x的增大而减小x的取值范围是0 x，y的取值范围是0y当0k时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限在每个象限内，y随x的增大而增大反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对

2、称图形， 它有两条对称轴， 对称中心是坐标原点2、反比例函数与正比例函数(0)ykx k的异同点：函数正比例函数反比例函数解析式(0)ykx k(0)kykx图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数0 x的一切实数图象的位置当0k时，在一、三象限；当0k时，在二、四象限当0k时，在一、三象限；当0k时，在二、四象限xyOxyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页性质当0k时，y随x的增大而增大；当0k时，y随x的增大而减小当0k时，y随x的增大而减小；当0k时，y随x的增大而增大二,、典型例题

3、例 1下面函数中，哪些是反比例函数？（1）3xy；（ 2）xy8；（ 3）54xy；（ 4）15xy；（ 5）.81xy解：其中反比例函数有（2），（ 4），（ 5）说明 ：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，xky)0(k，它也可变形为1kxy及kxy的形式，（ 4），（ 5）就是这两种形式例 2 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号若这个小题成正比例关系，填( 正) ；若成反比例关系，填( 反) ；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填( 非 ) (1) 周长为定值的长方形的长与宽的关系（）；(2) 面积为定值时长方形的长与宽的关系（）；(3) 圆面积与半径的关系（）；(4) 圆面

4、积与半径平方的关系（）；(5) 三角形底边一定时，面积与高的关系（）；(6) 三角形面积一定时，底边与高的关系（）；(7) 三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系（）；(8) 在圆中弦长与弦心距的关系（）；(9)x越来越大时，y越来越小，y与x的关系（）；(10) 在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系（）答：说明 ：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义例 3 已知反比例函数62)2(axay，y 随 x 增大而减小，求a的值及解析式分析根据反比例函数的定义及性质来解此题解因为62)2(axay是反比例函数，且y 随 x 的增大而减小，所以. 02, 162aa

5、解得.2,5aa所以5a，解析式为xy25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页例 4 （1）若函数22) 1(mxmy是反比例函数，则m 的值等于（）A 1 B1 C3D 1 （2）如图所示正比例函数0(kkxy）与反比例函数xy1的图像相交于A、C两点， 过 A作 x轴的垂线交x轴于 B， 连结 BC 若A B C的面积为S，则：A1SB2SC3SDS的值不确定解： （1）依题意，得, 12, 012mm解得1m故应选 D（2）由双曲线xy1关于 O 点的中心对称性，可知：OBCOBASS12122ABOBABOB

6、SSOBA故应选 A例 5已知21yyy，1y与 x 成正比例，2y与 x 成反比例， 当1x时，4y；当3x时，5y，求1x时， y 的值分析先求出 y 与 x 之间的关系式，再求1x时， y 的值解因为1y与 x 成正比例，2y与 x 成反比例，所以)0(,212211kkxkyxky所以xkxkyyy2121将1x，4y；3x，5y代入，得. 5313,42121kkkk解得.821,81121kk所以xxy821811所以当1x时，4821811y说明不可草率地将21kk 、都写成 k 而导致错误， 题中给出了两对数值，决定了21kk 、的值例 6 根据下列表格x 与 y 的对应数值精

7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围解： （1）图像如右图所示（ 2） 根 据 图 像 ， 设)0(kxky， 取6, 1 yx代 入 ， 得16k6k函数解析式为)0(6xxy说明 ：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性例 7（1）一次函数1xy与反比

8、例函数xy3在同一坐标系中的图像大致是如图中的（）（2）一次函数12kkxy与反比例函数xky在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（）解：1xy的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又xy3的图像两支在第一、三象限，故排除D答案应选A（2）若0k，则直线) 1(2kkxy经过第一、三、四象限，双曲线xky的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、 B、 C、 D 中没有一个相符；若0k，则直线) 1(2kkxy经过第二、 三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有 C 正确应选 C例 8，已知函数24231mxmy是反比例函数， 且其函数图像在每一个象限内，y随x的增大而减小，求

9、反比例函数的解析式解：因为y是x的反比例函数，所以1242m，所以21m或.21m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页因为此函数图像在每一象限内，y随x的增大而减小， 所以031m， 所以31m，所以21m，所以反比例函数的解析式为.65xy说明 ：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xky)0(k，当0k时，y随x增大而减小，当0k时，y随x增大而增大例 9 一个长方体的体积是100 立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5 厘米，高是x 厘米（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围；（3

10、）当3x厘米时，求y 的值；（4）画出函数的图像分析本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5 厘米，高为x 厘米，所以1005xy，所以xy20（2）因为 x 是长方体的高所以0 x即自变量x 的取值范围是0 x（3）当3x时，326320y（厘米）（4）用描点法画函数图像，列表如下：x0.5 2 5 10 15 y40 10 4 2 311描点画图如图所示例 10 已知力 F 所作用的功是15 焦，则力 F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（）说明本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别

11、正、反比例函数，一次函数的图象位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页解 据SFW，得 15=SF，即SF15，所以 F 与 S 之间是反比例函数关系，故选（ B）例 11一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa200，翻过来放，对桌面的压强是多少？解： 由物理知识可知，压力F，压强p与受力面积S之间的关系是.SFp因为是同一物体，F的数值不变，所以p与S成反比例设下底面是0S，则由上底面积是032S，由SFp，且0SS时，200p，有2000SpSF因 为 是 同 一

12、 物 体 ， 所 以0200SF是 定 值 所 以 当032SS时 ，).Pa(3003220000SSSFp因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300 帕说明： 本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的例 12如图， P 是反比例函数xky上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式分析求反比例函数的解析式，就是求 k 的值此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解解设 P 点坐标为),(yx因为 P 点在第二象限，所以0,0 yx所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为yx,又2xy，所以2xy因为xyk，所以2k所以这个反比

13、例函数的解析式为xy2说明过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于xky中的k例 13.当 n 取什么值时，122)2(nnxnny是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内， y 随 x 增大而增大还是减小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页分析根据反比例函数的定义)0(kxky可知，122)2(nnxnny是反比例函数，必须且只需022nn且112nn解122)2(nnxnny是反比例函数，则,11, 0222nnnn.10,20nnnn或且即1n故当1n时，122)

14、2(nnxnny表示反比例函数：xy101k，双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大三、反比例函数中考考点突破1、 （2010 甘肃兰州） 已知点（-1 ，1y）， （2，2y）， （3，3y）在反比例函数xky12的图像上 . 下列结论中正确的是 A321yyy B231yyy C213yyy D132yyy2、（2010 嵊州市） 如图 , 直线)0(kkxy与双曲线xy2交于),(),(2211yxByxA两点, 则122183yxyx的值为 ( ) xyBAoA.-5 B.-10 C.5 D.10 3、（ 2010 四川眉山） 如图，已知双曲线(0)k

15、ykx经过直角三角形OAB 斜边 OA 的中点D，且与直角边AB 相交于点C若点 A 的坐标为（6，4），则 AOC 的面积为A12 B9 C6 D4 DBAyxOC4、（2010 安徽蚌埠二中）已知点 （1，3）在函数)0(xxky的图像上。 正方形ABCD的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 41 页边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点， 函数)0(xxky的图像又经过A、E两点，则点E的横坐标为 _。5、 （2010 内蒙赤峰） 已知反比例函数xy2，当 4 x 1 时，y 的最大值是 _. 6、（2010 广西钦州

16、市） 反比例函数kyx（k 0）的图象与经过原点的直线l 相交于 A、B 两点，已知A 点的坐标为（ 2，1），那么B点的坐标为7、（ 2010 广西南宁） 如图 7 所示，点1A、2A、3A在x轴上，且32211AAAAOA,分别过点1A、2A、3A作y轴的平行线， 与分比例函数)0(8xxy的图像分别交于点1B、2B、3B，分别过点1B、2B、3B作x轴的平行线，分别与y轴交于点1C、2C、3C，连接1OB、2OB、3OB,那么图中阴影部分的面积之和为8、（ 2010 年山西 15 题） 如图， A 是反比例函数图象上一点，过点A 作yAB轴于点 B，点 P 在 x 轴上， ABP 面积为

17、 2，则这个反比例函数的解析式为。【答案】xy49、（2010 江苏盐城） 如图， A、B 是双曲线y= kx(k0) 上的点，A、B 两点的横坐标分别是 a、2a，线段 AB 的延长线交x 轴于点 C，若 SAOC=6则k=Ox第 6 题1 21ABl y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页10、（ 2010 福建德化） 如图，直线43yx与双曲线kyx（0 x）交于点A将直线43yx向下平移个6 单位后，与双曲线kyx（0 x）交于点B，与x轴交于点C，则 C 点的坐标为 _；若2AOBC，则k11、（ 2010

18、 福建南平 ）函数 y= 4x和 y=1x在第一象限内的图像如图，点P 是 y= 4x的图像上一动点， PCx 轴于点 C，交 y=1x的图像于点B.给出如下结论： ODB 与 OCA 的面积相等； PA 与 PB 始终相等；四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；CA= 13AP.其中所有正确结论的序号是_. 四、达标训练( 一) 、基础过关1在反比例函数y=x2的图象上的一个点的坐标是（）第 11 题D O C A P B y x O x y A B C y x O B C A （第 10 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

19、 页，共 41 页A.（ 2，1) B.（ 2，1) C.（2，21) D.（21,2）2对于函数y=x3，下列判断正确的是（）A.图象经过点（1，3）B.图象在第二、四象限C.图象所在的每个象限内，y 随 x 的增大而减小；D.不论 x 为何值时，总有y0 3已知反比例函数y=x6的图象经过点（a，b） ， （c，d） ，且 bd0，则 a与 c 的大小关系是（）A.ac0 B.a c0 C.ca0 D.ca0 4在反比例函数y=xk（kx20，则y1y2的值为 ( ) A.正数B.负数C.非正数D.非负数5设反比例函数y=xm3的图象上有两点A（x1，y1）和 B（x2，y2） ，且当 x

20、10 x2时，有 y1y2，则 m 的取值范围是( ) 6点（ 1，3）在反比例函数y=xk的图象上，则k=_ ，在图象的每一支上，y 随 x的增大而 _. 7.若反比例函数y=xk经过点（ 1，2） ，则一次函数y=kx+2 的图象一定不经过第_象限. 8.正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=xk的图象有一个交点的纵坐标是2，求： （1）x=3 时反比例函数y 的值；（2）当 3x0 时， y 随 x 的增大而增大，求函数关系式. ( 二) 、综合应用10 函数 y=axa 与 y=xa（a 0） 在同一坐标系中的图象可能是图1716 中的（）精选学习资料 - - - - - - - -

21、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页图 1716 11在平面直角坐标系内，过反比例函数y=xk（k0）的图象上的一点分别作x 轴、 y 轴的垂线段，与x 轴、 y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为_. 12.若函数 y=(2m 1)x 与 y=xm3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是_. 13.在同一直角坐标系内，如果将直线y= x+1 沿 y 轴向上平移2 个单位后，那么所得直线与函数 y=x2的图象的交点共有几个？14.已知反比例函数y=xk的图象经过点A（ 4，21） ，若一次函数y=x+1 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，

22、m） ，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标 . 15、三个反比例函数:(1)y=xk1;（2）y=xk2;（3） y=xk3在 x 轴上方的图象如图1717 所示，由此推出k1， k2，k3的大小关系是_. 15 题图16 题 图16、两个反比例函数y=x3,y=x6在第一象限内的图象如图1718 所示，点 P1， P2，P3，P2 005在反比例函数y=x6的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，x2 005，纵坐标分别是1，3，5，共 2 005 个连续奇数，过点P1，P2，P3， ，P分别作 y 轴的平行线，与y=x3的图象的交点依次是Q1（x1，y1） ，Q2（x2，y2）

23、 ，Q3（x3，y3） ，Q2 005（x2 005， y2 005） ，则 y2 005=_. 17、如图 1719 所示，已知直线y1=x+m 与 x 轴、y 轴分别交于点A、B，与双曲线y2=xk（ ky2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页17 题图18已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=x8的图象交于A、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2，求：（1）一次函数的解析式； （2） AOB 的面积 . 五、分类解析及培优( 一) 、反比例函数k 的意义代数意义：给出反比例函数图象上

24、一点坐标（x、y），则 k=xy （1）当 x、y 变为 -x 、-y 时， k 不变，可知双曲线的两支关于原点对称。几何意义：（1）过反比例函数图象上一点分别作x 轴、 y 轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为k（2）过图象上的任一点P 作 x 轴(或 y 轴)的垂线，连接OP，则垂线段、 OP、x 轴(或 y 轴)围成三角形的面积为21k. （3）k0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限y 随 x 的增大而减小；k0,双曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y 随 x 的增大而增大；我们抓住反比例函数k 的意义可以快解题。A、快得解析式例 1、某反比例函数的图象过点M（1,3）,

25、则此反比例函数的解析式为。解析：由代数意义知k=13=3 则解析式为y=x3B、快判断点是否在图象上。例 2、在平面直角坐标系中有六个点A （1，5）,B（-3 ，-35）,C（-5,-1 ）D （-2，25），E （3，35）,F（25,2 ）其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是。解析 : 由代数意义分别求出k，除 D 点的 k=-5 外，其它都为5，因而点 D不在这个反比例函数图象上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页C、快确定图象所在的象限例 3、已知反比例函数y=xk的图象经

26、过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_象限。解析 : k=-12=-2 ，所以双曲线的两支分别在二、四象限。D、快比较大小例 4、 若 A （1x，1y） ， B （2x，2y） ， C （3x，3y） 是 y=xk（k0） 上的三点，且1x2x03x，则从小到大排列1y、2y、3y为_ 解析 :1x2x0，k0， 在第二象限， k0,y 随 x 的增大而增大， 所以1y2y0； 03x，k0，所以3y0 所以3y2y1yE、快得图形的面积例 5、如图，直线y=mx与 y=xk交于 A、B两点，过 A作 AM垂直 x 轴，垂足为M ，连接 BM ，若k=2,则SABm=_. 解析：双曲线的

27、两支关于原点对称。所以O 为 AB 的中点，又OAMS=1，则SABm=2. 例 6、如图， y=xk经过矩形 OABC 的边 BC的中点 E，交 AB于 D，若梯形 ODBC的面积为 3，则双曲线的解析式为_ 解析： SDOA=21k，四边形ECOF 的面积为k，由SDOA+SDBCE梯形=S矩形，则21k+3=2k；解得k=2F、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。如图 1，由几何意义知SCOA=S DOB, 则不重叠的两部分面积相等。例 7、已知 A（1,2 ），B（4,b ）在同一反比例函数的图象上，求 SAOB. 解析：由代数意义知y=x2,b=21, 如图 2，过分别A、B作 A

28、D x 轴,BEx 轴,AD 交 OB于 C,由几何意义知SAOC=S 四边形 BCDE 则 SAOB=S 梯形 ABED =21(21+2) （4-1 ） =21253=415精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页( 二) 、反比例函数与三角形合反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。1、反比例函数与直角三角形例 1、如图 1 所示， P 是反比例函数y=6x在第一象限分支上的一个动点，PAx 轴，随着 x 的逐渐增大，APO 的面积将（）A、增大B、

29、减小C、不变D、无法确定（ 09 年德城）。分析：设点P的坐标是（ a，b），所以 ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道OA=a ，AP=b ，所以，三角形AOB的面积是：AOAP21=21ab=3，因此，三角形的面积是不变的定值。解：选C。2、反比例函数与底边是定长的动态三角形例 2、如图 2，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线3yx（0 x）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，OAB的面积将会： A逐渐增大 B 不变 C 逐渐减小 D 先增大后减小（兰州市2009 年）分析：三角形OAB 的面积是：21OAh，因为，点A是x轴正半轴上的一个定点，所以， OA

30、 是一个定长，所以，三角形OAB 的面积有OA 上的 h 决定，而这里的h 恰好是点 B 的纵坐标，根据反比例函数的性质，当k 大于 0 时， y 随 x 的增大而减小，所以，当点B 的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解：选C。( 三) 、反比例函数与相似三角形例 3、如图 3 所示，在直角坐标系中，OBA DOC ，边 OA、OC 都在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（ 6，8）， BAOOCD90 ，OD5反比例函数(0)kyxx的图象经过点 D，交 AB 边于点 E（ 1）求 k 的值（ 2）求 BE 的长（ 09 年长春市）分析：解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的

31、坐标的关系。这是问题获得解决的两个关键点。解： （1）因为， OBA DOC，所以，OCBADCOA因为， B(6，8)， BAO90，所以，8463OCDC在 RtCOD 中， OD5，所以， OC4，DC3所以， D(4，3)因为，点 D 在函数kyx的图象上， 所以，34k 所以，12k （2） 因为，E 是12(0)yxxx y O A B 图2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页图象与 AB 的交点，所以，AE1262所以， BE82=6( 四) 、反比例函数与全等三角形例 4、如图 4 所示，在平面直

32、角坐标系中，直线AB与 Y轴和 X轴分别交于点A、点 8，与反比例函数y=xm在第一象限的图象交于点c(1 ，6) 、点 D(3，n)过点 C作 CE上 y 轴于 E，过点 D作 DF上 X轴于 F (1) 求 m ，n 的值； (2) 求直线 AB的函数解析式；(3) 求证： AEC DFB 分析：( 五) 、反比函数图像上四种三角形的面积反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。A、三角形面积的四个结论结论 1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。如图 1 所示，设 P（ a，b）是反

33、比例函数y=xk（k0）图像上的一点，过点P 作 PA x轴，垂足为A，三角形PAO的面积是S，则 |k|=2S 。结论 2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。如图 2 所示，设 P（ a，b）是反比例函数y=xk（k0）图像上的一点，过点P 作 PB y轴，垂足为B，三角形PBO的面积是S，则 |k|=2S 。结论 3、正比例函数y=k1x（ k1 0）与反比例函数y=xk（k0）的图像交于A、B两点，过 A点作 AC x 轴，垂足是 C，三角形 ABC的面积设为S，则 S=|k| ，与正比例函数的比例系

34、数k1无关。如图 3 所示。证明 1：因为，正比例函数y=k1x（ k10）与反比例函数y=xk（k0）的图像交于A、B两点，所以，xkxk1，所以， x=111kkkkk，当 x=11kkk时， y= k1x=1kk，所以，点A 的坐标是（11kkk，1kk），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 41 页当 x=-11kkk时， y= k1x=-1kk，所以，点B 的坐标是（ -11kkk，-1kk），所以， OC的长度是11kkk，三角形ABC 的面积 =三角形 AOC 的面积 +三角形 BOC 的面积=21OCAC+

35、21OCBD =2111kkk1kk+2111kkk|-1kk| =21k+21k=k 。所以，与k1无关。证明 2、根据结论1，知道三角形AOC 的面积是21k，三角形 BOC 的面积 =21OCBD2111kkk|-1kk|=21k，所以，三角形ABC 的面积 = k。结论 4、正比例函数y=k1x（k1 0）与反比例函数y=xk（k0）的图像交于A、B两点，过A点作 AC x 轴，过 B点作 BC y 轴，两线的交点是C ， 三角形 ABC的面积设为S， 则 S=2|k| ，与正比例函数的比例系数k1无关。如图4 所示。因为，正比例函数y=k1x（ k10）与反比例函数y=xk（k0）的

36、图像交于A、B两点，所以，xkxk1，所以， x=111kkkkk，当 x=11kkk时， y= k1x=1kk，所以，点A 的（11kkk1kk），当 x=-11kkk时， y= k1x=-1kk，所以，点B 的坐标是（ -11kkk，-1kk），所以， OC 的长度是11kkk，三角形ABC 的面积 =三角形 AOE 的面积 +三角形 BOD 的面积+矩形 ODCE 的面积=21OE AE+21ODBD+OD DC =2111kkk1kk+21|-11kkk|-1kk|+11kkk|-1kk| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

37、6 页，共 41 页=21k+21k+k=2k 。所以，与k1无关。B、结论的具体应用这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。例 1、如图 5，若点A在反比例函数(0)kykx的图象上，AMx轴于点M，AMO的面积为3，则k（ 08 年巴中市）分析： 根据结论1， 知道面积 S 与 k 之间有如下的关系： |k |=2S，S=3，所以， |k |=6，所以， k=6 或者 k=-6 ，因为图像分布在二、四象限，所以，k0，所以 k=-6.解：k-6.例 2、两个反比例函数y=xk和 y=x1在第一象限内的图象，如图 6 所示，点P 在 y=xk的图象上， PCx

38、 轴于点 C，交y=x1的图象于点A，PDy 轴于点 D，交 y=x1的图象于点 B，当点 P 在 y=xk的图象上运动时，以下结论：ODB 与 OCA 的面积相等；四边形PAOB 的面积不会发生变化；PA 与 PB 始终相等；当点A 是 PC 的中点时，点B 一定是 PD 的中点其中一定正确的是（08 年湖北省咸宁市）分析：因为，点A、 B 都在反比例函数y=x1的图像上，根据结论1 和结论 2，知道 ; ODB 与 OCA 的面积相等 ,所以，是正确的；如图 7 所示，连接OP ，根据结论1 知道，三角形POC 的面积为21k，是个常数，三角形OAC 的面积是21，所以，三角形PAO 的面

39、积是21k-21，是个常数，根据结论2 知道，三角形POD 的面积为21k，是个常数，三角形OBD 的面积是21，所以，三角形PBO 的面积是21k-21，是个常数，所以，四边形PBOA 的面积等于三角形PAO 的面积 +三角形 PBO 的面积 =21k-21+21k-21=k-1 ，是一个定值，所以是正确的；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 41 页设点 P 的坐标为（ m， n），因为，点P 在kyx的图象上，反比例函数在第一象限内，所以， mn=k，m0，n0，因为， PCx 轴于点 C，交1yx的图象于点A，所以

40、，点 A 的横坐标为m，所以，点A 的纵坐标为m1，即点 A 的坐标为（ m，m1）；因为， PDy 轴于点 D，交1yx的图象于点B，所以，点B 的纵坐标为n，所以，点A 的横坐标为n1， 即点 B 的坐标为（n1， n） ， PA=PC-AC=n-m1=mmn1,PB=PD-BD=m-n1=nmn1，分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n 时， PA=PB 才能成立，所以，即是不正确的；当点A 是 PC 的中点时，有PA=AC 即mmn 1=m1，所以， mn=2，即 k=2，所以，点P 的坐标为（ m，m2），即点 B 的坐标为（2m，m2），所以，点B 是 PD 的中点，所以

41、，当点A 是 PC 的中点时，点B 一定是 PD 的中点即是正确的；因此，一定正确的是 .例 3、如图 8，一次函数122yx的图象分别交x 轴、 y 轴于 A、 B，P 为 AB 上一点且PC 为 AOB 的中位线， PC 的延长线交反比例函数(0)kykx的图象于Q，32OQCS，则 k 的值和 Q 点的坐标分别为_. （08 年荆州市）简析：根据结论1 知道：因为k 是大于0 的，所以， k=2S=223=3，即 y=x3，设 Q的坐标为（ m ，n），则mn因为，一次函数122yx的图象分别交x 轴、 y 轴于 A、 B，所以，点 A 的坐标为（ 4，0），点 B 的坐标为（ 0， -

42、2 ），所以，线段OA =4, 因为， PC 为 AOB 的中位线，所以，点C 是线段 OA 的中点，所以，OC=2,即点 Q 的横坐标为 m =2，所以， n=23，所以点Q的坐标为（ 2，23）。例 4、如图 9，反比例函数y=x5的图象与直线y=kx（k0）相交于A、B 两点， AC BC轴，则 ABC 的面积等于个面积单位。简析：因为，反比例函数y=x5中 k=5，根据结论4，所以，ABC的面积等于2k=10。本题的最大特点是吧，把几何中的三角形全等问题引入函数的图像中，充分体现数形的完美组合。解：（ 1）因为，点c(1 ，6) 在反比例函数y=xm的图像上，所以，16=m ，所以，

43、m=6 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页因为，点D(3，n) 在反比例函数y=xm的图像上，所以，3 n=6，所以， n=2；（2）设设直线AB的解析式是y=kx+b，所以，236bkbk，解得： k=-2 ，b=8 所以，直线AB的解析式是y=-2x+8 。（3）因为， 直线 AB的解析式是y=-2x+8 ，令 x=0，得 y=8，即直线与y 轴的交点坐标是 （ 0，8），即 A的坐标是（ 0，8），所以， OA=8,令 y=0，得 x=4，即直线与x 轴的交点坐标是（4，0），即B 的坐标是（4， 0），

44、所以， OB=4,又因为，点C(1，6) 、点D(3，2) ，所以，CE=1,OE=2,OF=3,DF=2,所以， AE=OA-OE=8-6=2,BF=OB-OF=4-3=1 ，因此， AE=DF ，CE=BF, 因为 , AEC= DFB 90, 所以 , AEC DFB ( 六) 、反比例函数与一次函数相交题反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。1、联手演绎无交点例 1、函数xk1y的图象与直线xy没有交点，那么k 的取值范围是：A、1k B、1k C、1k D、1k(2008 年扬州市

45、) 分析：反比例函数y=xk（k0）与正比例函数y=ax（a 0）要想没有交点，函数的图像必须不能分布在相同的象限内，具体应满足如下的两种情形：如果反比例函数的图像分布在一、三象限，则正比例函数的图像必须分布在二、四象限，即k0，则 a0；如果反比例函数的图像分布在二、四象限，则正比例函数的图像必须分布在一、三象限，即k0，则 a0。解：因为，函数xk1y的图象与直线xy没有交点，且正比例函数的图像分布在一、三象限，所以，反比例函数的图像必须分布在二、四象限，所以，1-k 0，所以， k1，所以，选择A。2、联手演绎已知一个交点的坐标例 2、已知直线mxy与双曲线xky的一个交点A的坐标为（

46、-1，-2）则m=_；k=_；它们的另一个交点坐标是_（ 08 梅州）分析 : 函数的交点坐标，一定同时满足两个函数的解析式。这是骄傲点坐标的一个最大的特点。所以，在具体的解答过程中，同学们只需把交点的坐标分别代入两个函数的解析式。在求另一个交点的坐标时，建立起方程就可以。解：因为，直线mxy与双曲线xky的一个交点A的坐标为 （-1 ，-2 ） ，所以，-2=m（-1 ） ,-2=1k，解得： m=2 ，k=2，所以，函数的解析式分别是：y=2x 和 y=x2；令： 2x=x2，所以， x2=1，所以， x=-1 ，或x=1；当 x=1 时， y=2，所以，另一个交点的坐标是（1，2）。精选

47、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 41 页3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布例 3、已知反比例函数y=xa(a0)的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（）第一象限第二象限第三象限第四象限（08 茂名）分析：因为，反比例函数y=xa(a0)的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，所以，a0，因此， -a 0，所以， y=-ax+a 一定经过二、四象限，和第一象限，因此，函数的图像一定不经过的是第三象限。选C。4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标例

48、 4、在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移 1 个单位长度得到直线l直线l与反比例函数kyx的图象的一个交点为(2)A a，则k的值等于（2008年 芜 湖 市 ）分析：由直线yx向上平移1 个单位长度得到直线l的表达式是： y=x+1，将 A 点坐标代入y=x+1，得： a+1=2，所以， a=1，所以，点 A 的坐标是（ 1，2），把（ 1，2）代入反比例函数的表达式kyx，解得： k=2。应该填 2. ( 七) 、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作 x 轴、 y 轴的垂线AM 、AN ，所得矩形AMON的面积为： S=AM AN=|x| |

49、y|=|xy|.又 y=xk， xy=k.AMONS矩形=|k|.|21kSAOM. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、 Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：（1）、 求函数的解析式例 1 如图 2 所示， 在平面直角坐标系中， 一次函数1ykx的图象与反比例函数9yx的图象在第一象限相交于点A过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点B、C如果四边形OBAC是正方形，求一次函数的关系式解析四边形OBAC是正方形及反比例函数9yx的图象图 1 A N M X Y O A C O B x 图 2 精选学习资料 -

50、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页在第一象限相交于点A，则正方形OBAC的面积为： Sxy9， 所以正方形的边长为3， 即点 A 的坐标（ 3， 3， ） 。将点 A（3， 3，）代入直线得y=32x+1。（2）.特殊点组成图形的面积例 2 如图 3，点A、B是双曲线3yx上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S阴影，则12SS解析由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，S1+S阴影S2+S阴影 xy31S阴影，12SS224。例 3 如图 4，A、B是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴