2022年离散型随机变量的均值教案 .pdf

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1、231 离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能 ：了解离散型随机变量的均值 或期望的意义， 会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望过程与方法 ：理解公式“ E（aX+b）=a E(X)+b ” ，以及“若XB（n,p ） ，则 E(X)=np ” .能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值 或期望。教学重点： 离散型随机变量的均值 或期望的概念教学难点： 根据离散型随机变量的分布列求出均值 或期望授课类型： 新授课教具：小黑板教学过程 ：一、复习引入：离散型随机变量的二项分布: 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中, 用 X表示事件A发生的次数 ,设每次

2、试验中事件A发生的概率是P， 则在这n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(， （k0,1,2,，n，pq1） 此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p) ，其中n，p为参数二、讲解新课：1. 问题情境前面我们学习了离散型根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数X的分布列如下X4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均

3、值 或期望根据射手射击所得环数X的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有nnP02.0)4(次得 4 环；nnP04.0)5(次得 5 环；nnP22.0)10(次得 10 环故在n次射击的总环数大约为n02.04n04.05n22.01002.04(04.05n)22.010，从而，预计n次射击的平均环数约为02.0404.0532. 822.010这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页对于任一射

4、手，若已知其射击所得环数X的分布列，即已知各个)(iP（i=0，1，2，10） ，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数: )0(0P)1(1P)10(10P1.均值 或数学期望 : 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为X x1x2xn P p1p2pn则称E11px22pxnnpx为X的均值 或数学期望 ，简称期望2. 均值 或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值 :一般地，在有限取值离散型随机变量X的概率分布中， 令1p2pnp，则有1p2pnpn1，E1(x2xnxn1)，所以X的数学期望又称为平均数、均值4. 均值 或期望的一

5、个性质:若ba(a、b是常数 ) ，X是随机变量， 则 也是随机变量，它们的分布列为X x1x2xn bax1bax2baxnP p1p2pn于是E11)(pbax22)(pbaxnnpbax)(11(pxa22pxnnpx)1(pb2pnp ) baE，由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)(5. 若 XB（n,p ） ，则 EX=np 证明如下：knkknknkknqpCppCkP)1()(，E0 nnqpC00 1 111nnqpC 2 222nnqpC kknkknqpC n0qpCnnn又11)!1() 1()!1()!1()!(!knknnCknknnknknkkC，精选学

6、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页E(np001nnCpq2111nnqpC)1()1(111knkknqpC)0111qpCnnnnpqpnpn 1)(故若XB(n，p) ，则Enp三、讲解范例：例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得0 分，已知他命中的概率为0.7 ，求他罚球一次得分的期望解：因为3 .0)0(,7 .0) 1(PP，所以7.03 .007 .01E例 2.一次单元测验由20 个选择题构成，每个选择题有4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5 分，不作出选择或

7、选错不得分，满分100 分学生甲选对任一题的概率为0.9 ，学生乙则在测验中对每题都从4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则 B（20,0.9 ）,)25.0,20( B, 525.020,189.020EE由于答对每题得5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和 5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(EEEE例 3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0. 01 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损

8、失60 000 元，遇到小洪水时要损失10000 元为保护设备，有以下3 种方案：方案 1：运走设备，搬运费为3 800 元方案 2：建保护围墙，建设费为2 000 元但围墙只能防小洪水方案 3：不采取措施，希望不发生洪水试比较哪一种方案好解：用 X1、X2和 X3分别表示三种方案的损失采用第 1 种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即X1 = 3 800 . 采用第 2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即262000 ，有大洪水；X =2000, 无大洪水 .同样，采用第 3 种方案，有精选学习资料 - -

9、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页360000，有大洪水；X = 10000, 有小洪水；0, 无洪水 .于是，EX13 800 , EX262 000 P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 ) = 62000 0. 01 + 2000(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000 P (X3 = 60000) + 10 000 P(X3 =10 000 ) + 0P (X3 =0) = 60 000 0.01 + 100000.25=3100 . 采取方案2 的平均损失最小，所以可

10、以选择方案2 . 值得注意的是， 上述结论是通过比较“平均损失” 而得出的 一般地， 我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的例 4. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：6 ,2, 1,6/1)(iiP，6/166/126/11E=3.5例 5. 有一批数量很大的产品，其次品率是15% ，对这批产品进行抽查，每次抽取1 件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10 次 求抽查次数的期望（结果保

11、留三个有效数字）解：抽查次数取 110 的整数，从这批数量很大的产品中抽出1 件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15 ，取出正品的概率是0.85 ，前1k次取出正品而第k次（k=1， 2， 10）取出次品的概率：15.085.0)(1kkP（k=1，2， 10）需要抽查10 次即前9 次取出的都是正品的概率：985.0)10(P由此可得的概率分布如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316 根据以上的概率分布，可得的期望35.52316.

12、0101275.0215.01E例 6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的数学期望解：抛掷骰子所得点数X的概率分布为X1 2 3 4 5 6 P 616161616161所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页E161261361461561 661(1 23456) 613.5 抛掷骰子所得点数X的数学期望，就是X的所有可能取值的平均值例 7. 某城市出租汽车的起步价为10 元，行驶路程不超出4km 时租车费为10 元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm 加收 2 元计费 ( 超出不足lkm 的部分按lkm

13、 计 ) 从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程( 这个城市规定，每停车5 分钟按lkm 路程计费) ，这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量设他所收租车费为( ) 求租车费 关于行车路程X的关系式；( ) 若随机变量X的分布列为X 15 16 17 18P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租车费 的数学期望( ) 已知某旅客实付租车费38 元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停 车累计最多几分钟? 解： ( ) 依题意得 =2(X-4) 十 10，即 =2X+2；(

14、 )E4.161.0183. 0175. 0161. 015 =2X+2 E2EX+2=34.8 （元）故所收租车费 的数学期望为34.8 元( ) 由 38=2X+2，得X=18， 5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15 分钟四、课堂练习：1. 口袋中有 5 只球，编号为1，2，3， 4，5，从中任取3 球，以表示取出球的最大号码，则E（）A 4；B5；C4.5 ；D4.75答案： C 2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1 分，罚不中得0 分已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，求他罚球1 次的得分X的数学期望；他罚球2 次的得分 的数学期望；他罚球3 次的得分X的

15、数学期望解：因为7.0) 1(P，3.0)0(P，所以E1)1(P07.0)0(P 的概率分布为0 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页P 23.03.07 .012C27 .0所以E009.0142.0 298.01.4 X的概率分布为X 2 3P 33 .02133.07 .0C3. 07 .0223C37 .0所以E0027.01189.0298.02.1. 3设有m升水，其中含有大肠杆菌n个今取水1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X，求X的数学期望分析：任取1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率

16、是m1，事件“X=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(X=k), 进而可求EX. 解：记事件A： “在所取的1 升水中含一个大肠杆菌”，则 P(A)=m1P(X=k)=Pn(k)=Cknm1)k(1 m1)nk（k=0,1,2, .,n） XB(n,m1) ，故EX =nm1=mn五、小结：(1) 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2) 求离散型随机变量X的期望的基本步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取各个值的概率，写出分布列；根据分布列， 由期望的定义求出EX公

17、式 E （aX+b） = aEX+b ，以及 服从二项分布的随机变量的期望EX=np 六、课后作业：P64-65 练习 1,2,3,4 P69 A组 1,2,3 1. 一袋子里装有大小相同的3 个红球和两个黄球，从中同时取出2 个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数 (=0 、1、2)则的要布列为0 1 2 p 10353101于是 E （）=0103+153+2101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.2 2. 袋中有 4 个黑球、 3 个白球、 2 个红球，从中任取2 个球，每取到一个黑球记0 分，每取到一个白球记1 分，每取到一个红球记2 分，用表 示得分数求

18、的概率分布列求的数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页解：依题意的取值为0、 1、2、3、4 =0 时，取 2 黑 p(=0)=612924CC=1 时，取 1 黑 1 白 p(=1)=31291314CCC=2 时，取 2 白或 1 红 1 黑 p(=2)= 2923CC+3611291412CCC=3 时，取 1 白 1 红，概率p(=3)= 61291213CCC=4 时，取 2 红，概率p(=4)= 3612922CC分布列为（2）期望 E=061+131+23611+361+4361=9143. 学校新

19、进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第 i 台仪器出现故障（i=1 、2、3）iA表示第 i 台仪器不出现故障，则：p(=1)=p(A12A3A)+ p(1AA23A)+ p(1A2AA3) =p1(1p2) (1 p3)+ p2(1 p1) (1 p3)+ p3(1 p1) (1 p2) = p1+ p2+p32p1p22p2p3 2p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1 A2A)+ p(A12A3A)+ p(1AA2A3) = p1p

20、2 (1 p3)+ p1p3(1p2)+ p2p3(1 p1) = p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p3p(=3)=p(A1 A2A3)= p1p2p3 E=1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)= p1+p2+p3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2 个黄球， 从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2 0 1 2 3 4 p 6131361161361精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页解：从 5 个球中

21、同时取出2 个球，出现红球的分布列为0 1 2 P 1 .02522CC6. 0251213CCC3.02523CC2.13.026.011 .00E5. A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是321,AAA，B队队员是321,BBB，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A1对 B13231A2对 B25253A3对 B35253现按表中对阵方式出场，每场胜队得1 分，负队得0 分，设A队，B队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布；（2）求E，E解： （），的可能取值分别为3，2，1，02535353310,525253

22、315352315353321,75285253325252315352322,2785252323PPPP根据题意知3，所以25303,5212,752821,75830PPPPPPPP（）15222530521752827583E；因为3, 所以15233EE七、板书设计（略）八、教学反思： (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页(2) 求离散型随机变量X的期望的基本步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出EX公式 E（aX+b）= aEX+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页