最新不定积分的计算方法(共73张PPT课件).pptx

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1、1习题课(1)一、一、 求不定积分的基本求不定积分的基本(jbn)方方法法二、几种二、几种(j zhn)特殊类型的积特殊类型的积分分 不定积分(b dn j fn)的计算方法 第四章第四章 第一页，共七十三页。2一、一、 求不定积分的基本求不定积分的基本(jbn)方方法法通过通过(tnggu)简单变形简单变形, 利用基本积分公式和运算法则利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法求不定积分的方法 .xxfd)( 第一类换元法第一类换元法tttfd)()( 第二类换元法第二类换元法(代换代换: )(tx第二页，共七十三页。3vuxvud使用使用(shyng)(shyng)原原则则: :1) 由由

2、v易求出易求出 v ;2) xvud比比xvud好求好求 .一般一般(ybn)经验经验: 按按“反反, 对对, 幂幂, 指指 , 三三” 的顺的顺序序,排前者取为排前者取为 u ,排后者取为排后者取为.vxvu d第三页，共七十三页。4二、几种特殊类型二、几种特殊类型(lixng)的积的积分分有理函数有理函数(yu l hn sh)分解分解多项式及多项式及部分分式之和部分分式之和指数代换指数代换三角函数有理式三角函数有理式万能代换万能代换简单无理函数简单无理函数三角代换三角代换根式代换根式代换指数函数有理式指数函数有理式第四页，共七十三页。5(1) 一般方法一般方法(fngf)不一定是最简便的

3、方法不一定是最简便的方法(fngf),(2) 初等初等(chdng)函数的原函数不一定是初等函数的原函数不一定是初等(chdng)函数函数 ,要注意综合要注意综合使用各种基本积分法使用各种基本积分法, 简便计算简便计算 . 因此不一因此不一定都能积出定都能积出.例如例如 , ,de2xx,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk第五页，共七十三页。61.下列等式中正确的是下列等式中正确的是);(d)(d.xfxxfA ;d)(d)(dd.xxfxxfxB );()(d.xfxfC .)()(d.CxfxfDD )1(d. 2xx

4、x;arcsin21.CxA ;arcsin.CxB ;)12arcsin(2.CxC .)12arcsin(.CxD D三、典型三、典型(dinxng)例题例题第六页，共七十三页。7例例解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 设设,1,11,11,)( xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数第七页，共七十三页。8须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx

5、,12123CC 即即,1,11,11,)( xxxxxxf.1,2132CCCC 可得可得,1CC 联联立立并并令令第八页，共七十三页。9.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故第九页，共七十三页。10例例 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdtCtt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令换元积分法换元积分法第十页，共七十三页。11例例xxxxd11ln112 解解xxxxd11ln112 xx11ln21Cxx

6、 211ln41212x xx11lnd )11(lnxx第十一页，共七十三页。12例例解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 第十二页，共七十三页。13例例解解xxxd18 原式原式 222d1)(141xx 222d1)(141xx 11ln8122xxCx 2arctan41 244d)1)(1(41xxx14 x)1(4 x 18x212dx第十三页，共七十三页。14xdeexx 412解解原式原式xeexxd42 xexd412 222)(dx

7、xeexeexxd)41(122 2arctan21xe )4d(14118122xxee 2arctan21xe Cex 241ln81例例第十四页，共七十三页。15 dxxx43cossinCxx cos1121cos11413Cxx cos1cos313xdxxcoscoscos142 例例第十五页，共七十三页。16xdx 4sin11解解原原式式 )sin1)(sin1(d22xxxxxxdsin11sin112122 xxdcos1212 1sin1sind2122xxx xtan21 xx2cot2cotd21例例Cxx 2cotarctan221tan21第十六页，共七十三页。1

8、7xdxxxx cossincossin解解原原式式xxxxxxxdcossin1coscossin2sin2122 xxxxxdcossin)cos(sin212 xxxdcossin121 )cos(sin21xx )4cos()4(d221 xxCxx 4tan4secln221 )cos(sin21xx 例例第十七页，共七十三页。18例例 求求. )0(d)cossin(12 baxxbxa解法解法(ji f) 1 xttan 令令原式原式 dx2)tan(bxa x2cos 2)(dbtatCbtaa )(1Cxbxaax )cossin(cos第十八页，共七十三页。19xbxaco

9、ssin解法解法(ji f) 2 cos,sin2222 babbaa令令 22baxbabxbaacossin2222sincos原式原式 )(cosd1222 xxbaCxba )tan(122 Cbaxba )arctantan(122baarctan 例例 求求. )0(d)cossin(12 baxxbxa第十九页，共七十三页。20例例 求求.dsincossincos3 xxxxx解解 令令xxsincos3 xBAxBAsin)(cos)( 比较比较(bjio)同类项系数同类项系数3 BA1 BA, 故故2,1 BA 原式原式 xxxxxsincos)sind(cos2dCxxx

10、 sincosln2说明说明(shumng): 此技巧适用于此技巧适用于形为形为 xxdxcxbxadsincossincos的积分的积分(jfn).)sin(cos)sin(cos xxBxxA第二十页，共七十三页。21例例求不定积分求不定积分(b dn j fn).dsin)cos2(1 xxx解解 )cos(xu 令令原式原式 uuud)1)(2(122ln31 u1ln61 uCu 1ln21 xxxxdsin)cos2(sin2uuuud)121161231( Cxxx | 1cos|ln21| 1cos|ln61|cos2|ln31第二十一页，共七十三页。22)()sin()sin

11、(dkbabxaxxI 求求xbxaxd)sin()sin( )()sin(bxax )sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1 )sin(ax )cos(bx )cos(ax )sin(bx )sin(1ba xbxbxd)sin()cos( xaxaxd)sin()cos( Caxbxba )sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba )sin()sin(ln)sin(1解解I =例例第二十二页，共七十三页。23例例解解1.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddt

12、tCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换(di hun)第二十三页，共七十三页。24例例解解2.1122 dxxxx求求)20( ,sec ttx令令dtttttt)tan(sec1secsec1sec22 原式原式.11arccos2Cxxx (三角三角(snjio)代代换换),tansectdttdx dtttttt)tan(sectansec1sec2 dttt sec1secdtt)cos1( Ctt sintx12 x1第二十四页，共七十三页。25例例解解.112 dxxx求求)22( ,sin ttx令令(三角三角(snjio)代代换换),costdt

13、dx dtttt 2sin1sincos原式原式dtttt cossincos法法 1dttttttt cossin)sin(cos)sin(cos21)cos(sincossin121121ttdttdt Cttt cossinln21Cxxx 1lnarcsin212tx21x 1第二十五页，共七十三页。26dtttt 2cos1sincos原式原式dtttt cossincos法法 2dtttttt 22sincos)sin(coscosdtttt 2cos2sin2cos121td tdttd t22tan4112122sec41 Ctttt 2cosln41212tan2secln4

14、1Ctt 212sin1ln41Cttt 21sincosln21Cxxx 1lnarcsin212txsin 第二十六页，共七十三页。27dtttt 2cos1sincos原式原式dtttt cossincos法法 3dttt )4sin(2)44cos( txsin dtttt )4sin(2)4sin()4sin()4cos()4cos( )4()4sin()4sin()4cos( tdttt第二十七页，共七十三页。28例例解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原式原式 234)1()

15、11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 第二十八页，共七十三页。29例例解解xxxexd)1(2 xxxexd)1(2xexxd)1(2 uv xexx2)1(xxxexd)1(13 更为更为(n wi)复复杂杂原式原式xxex 11xxxexd1)( xxex 1xexd xxex 1Cex xxex 11d第二十九页，共七十三页。30例例解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式.2tanCxex xxexxexexxxd2tand2tan2tan xxexdexxd2tan2tan第三十页，共七十三页

16、。31练习练习(linx) 求求 (1) (2) ,sincos1dxxxx .cos1sindxxxx Cxx 2tanCxx |sin|lndxxxxx 2cos22cos2sin2)2(2dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 第三十一页，共七十三页。32 xxxxdln1ln223 解解 原原式式xxxdln23 xxxdln123 xxxdln123 xxxxxxd1ln11ln11222 xxxdln123 Cxx ln12例例 分项分项 21dx xln1 第三十二页，共七十三页。33例例解解 xxxfxxf1d)()(满足

17、方程满足方程设函数设函数 ,dsin23Cxxx.d )(xxf 求求对方程对方程(fngchng)两边求两边求导得导得 )(xfx x1121xx sin23 )(xf)1(121xx xxsin xd xd xd xxd)(112122 )cosd(xxCxxxx sincosarcsin第三十三页，共七十三页。34xeExxd)1(1.2 解解uuud1-112 原式原式Ceeexxx 111ln, 1 xeu令令uuuud)1111(2 C1|1|ln uuu(1)(2)dxeeexxx 21)(1原原式式xeu 令令uuud1)1(12 (3)dxeeexxx21)(1 原原式式第三

18、十四页，共七十三页。35 14d. 122xxx解解ux1 令令uuxd1d2 Cxx 142凑微分凑微分(wi fn)(wi fn)duuu 24原式原式第三十五页，共七十三页。36xxdcos. 2 解解2,uxux 令令uuxd2d 分部分部(fn b)(fn b)积分积分uuud2cos 原原式式 uud sin2Cxxx cossin 2sinsin 2 uduuu第三十六页，共七十三页。37xxxxdsin1cossin. 32 解解 xxx2sin1coscosd原式原式 xxx2cos2coscosdxucos 令令 122d212d22uuuuuCuu 122ln212 回代

19、回代!Cxx 1sec2sec2ln222第三十七页，共七十三页。38xxxd)1(ln. 42 解解原原式式 xx11dlnCxxxx |1|ln|ln1ln分部分部(fn b)(fn b)积积分法分法 xxxxxd)1(11ln xxxxxd)1(11ln第三十八页，共七十三页。39xxxdarcsin. 52 解解 原原式式 xx1darcsinxxxxxd111arcsin12 xxxxxd1)1(11arcsin122 xxxx1d1)1(1arcsin12 Cxxxx )1)1(1ln(arcsin12第三十九页，共七十三页。40 xxxxdsin1sincos. 62 解解 原原

20、式式xxxdsin1cos2 xxxdsin1sin2 )arctan(sin x Cxx cos2cos2ln221xxdcoscos212 第四十页，共七十三页。41解解 原原式式xxxxdcos1)cos1(sin24 xxxd)cos1(sin2 Cxxx 3sin31)2sin21(21xxxdcos1sin. 74 第四十一页，共七十三页。42xxxxdsincos2sin. 844 解解 原原式式xxxxdsincos2sin22 xx2cos2cosd21xxxd2cos2sin Cx 2cosln21第四十二页，共七十三页。43xexexxd)1(. 92 )11-( xed

21、x原原式式dxeexxx1111- dxeeexxxx)1(11- ceexxx |1|ln1-解解第四十三页，共七十三页。44习题课(2)第第4 4章章 定积分(jfn)及其相关问题一、与定积分一、与定积分(jfn)概念和性质有关的问题概念和性质有关的问题二、定积分二、定积分(jfn)的计算的计算第四十四页，共七十三页。451. 理解理解(lji)定积分的概念及性质定积分的概念及性质；2. 掌握掌握(zhngw)(zhngw)微积分基本定理微积分基本定理以及以及牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式的应用，熟练掌握的应用，熟练掌握变限积分的性质、求导变限积分的性质、求导及其他运及其他运算算；

22、3. 熟练掌握定积分熟练掌握定积分(jfn)的的换元法和分部积分法换元法和分部积分法；4. 理解理解广义积分广义积分的定义，会计算一些简单的广义积的定义，会计算一些简单的广义积分分.第四十五页，共七十三页。46证证例例证明不等式证明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . . ,111112xxn ,111112102102210 dxxdxxdxn 210210arcsin1121xdxxn6 1. 用定积分概念与性质用定积分概念与性质(xngzh)求极求极限限;2. 用定积分用定积分(jfn)性质估性质估值值.第四十六页，共七十三页。47提示提示(tsh): 令令, txu _

23、d)(sindd0100 ttxxx则则ttxxd)(sin0100 ud 0 xu100sinx100sin例例 第四十七页，共七十三页。481. 对称区间对称区间(q jin)上的上的积分积分考察考察(koch)被积函数是否为奇偶函被积函数是否为奇偶函数数,用奇偶函数用奇偶函数的的“特性特性”处理处理.2. 分段函数的积分分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点的端点, 然后按段积分求和然后按段积分求和.3. 被积函数带有绝对值符号的积分被积函数带有绝对值符号的积分在作积分运算之前设法去掉绝对值在作积分运算之前设法去掉绝对值.(注意符号注

24、意符号!)4. 被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”的积分的积分用用分部积分法分部积分法做做,将积分上限的函数取作将积分上限的函数取作u. aaaxxfxfxxf0d)()(d)(第四十八页，共七十三页。49例例.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是是偶函数偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 第四十九页，共七十三页。50例例计算计算(j sun).d)()1(112 xxfx解解下面下面(xi mian)证明证明)(xf为为奇奇函数函数(hnsh).令令, 0 y则则又又即即可知

25、可知)(xf为为奇奇函数函数. 112d)()1(xxfx于是于是. 0有有上上连连续续，且且对对任任何何在在设设yxxf,),()( ),()()(yfxfyxf ),0()()(fxfxf , 0)0( f),()()(xfxfxxf , 0)()( xfxf第五十页，共七十三页。51例例. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 第五十一页，共七十三页。52例例 10d|txtt解解计算计算(j sun)定积分定积分令令0 xt,0时时当当 x 10d|txtt 10d)(

26、txtt231x ,10时时当当 x 10d|txtt x0ttxtd)( 1xtxttd)( 31233 xx,1时时当当 x 10d|txtt 10d)(ttxt.312 xxt )4(6(99P第五十二页，共七十三页。53例例解解 2ln021dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cos dtttt原式原式 262sincos dtttxt02ln2 6 2626sinsin tdttdt.23)32ln( .)(12ln02 dxex第五十三页，共七十三页。54例例.942 xxdx求下列广义积分求下列广义积分解解 020

27、29494xxdxxxdx原式原式 ttttxdxxdx02025)2(lim5)2(limttttxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 第五十四页，共七十三页。55., 1,22AdxAedxexxx求求 dxAexx21 dxAex41)21(2 dueAexuu241)21( 41Ae .2141 eA解解第五十五页，共七十三页。56例例.d)()1(,d)(102022 xxfxyexfxyy求求设设解解d022 xyyye10023d)1(312 xyyyex 102)1(31xux 2)1(令令 01d6uueeu).2(61 eu 1023d)1(3

28、12xexxx1)1(2 xe)1(d2 x 21 102)1(x原式原式xd3)1(d x31 1002d2xyyye0第五十六页，共七十三页。57.)(sin)(00 dxxfdtttxfx，求求设设 0)(dxxf 00)()(xxdfxxfdxxf xf 0)()(dxxxxdttt 00sinsindxxxxdxxx 00sinsindxx 0sin 0)cos(x . 2 解解第五十七页，共七十三页。58例例解解为为其中其中设设 204)(,d)(2cos)( xfxxfxxf).(,xf试试求求连连续续函函数数 20,d)( Axxf令令Axxf2cos)(4 xAxAd)2(c

29、os204 ,22143A ,)1(163 A.)1(83cos)(4 xxf则则xd20 xd)(20 第五十八页，共七十三页。59.3234)(2 xxxf解解设设,d)(2d)()(20102 xxfxxfxxxf求求).(xf定积分定积分(jfn)为常数为常数 ,d)(10axxf 设设bxxf 20d)(abxxxf2)(2 10d)(xxfa33x22bxax201 20d)(xxfb33x22bxax202ab2231 ab4238 ,31 a34 b故应用故应用(yngyng)积分法积分法定定此常数此常数 .例例 第五十九页，共七十三页。60例例解解)(, 0)0(,1 , 0

30、)(xffxf又又且且上可导上可导在在设函数设函数 ).(, 5)d)()(2110 xfxxfxf试求试求 10,25d)()(xxfxf设设 10,d)(Axxf则则Axf25)( CxAxf 25)(,25)(xAxf AxxAA225d2510 25 A.25)(xxf 满足满足(mnz)关系关系:0 C00上积分，上积分，两边在两边在1 , 0第六十页，共七十三页。61例例解解).(,dsin11)(02dsin022xFtttxFxtt 求求设设 xttxu02dsin)(令令 xttxu02dsin)(而其中而其中(qzhng) )(xF xx2sin2121)(sin)(112

31、2xuxu x2sin 第六十一页，共七十三页。62(选择题选择题),0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则xA arctan)(xBarctan2)(2)( C0)(D解解1 xxttttxf102021d1d)(令令),0( x )(xf0 )(xf恒等于恒等于(dngy)常常数数. 1021021d1dtttt.2 C 221111xx 211x)1()(fxf 10arctan2t 第六十二页，共七十三页。63,0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则解解2 xtt1021d 原式原式.2 0arctant xduuuut)1(111122 xduu211 x

32、xtttt102021d1d xdtt211 021dtt xxtttt2021d1d第六十三页，共七十三页。64).1()(,1ln)(1xfxfdtttxfx 求求若若 xdtttxf111ln)1( xduuuuut12)1(111ln1 xduuuu1)1(ln xdtttt1)1(ln xxdttttdtttxfxf11)1(ln1ln)1()( xdttt1ln xttd1lnln.2ln2x 解解1第六十四页，共七十三页。65解解2dtttdtttxfxfxx 1111ln1ln)1()(),1( x 21111lnxxx xx1ln).1()(,1ln)(1xfxfdtttxf

33、x 求求)1(ln1lnxxxxx )1()(xfxf )1()(xfxf dxxxlnxxln Cx 2ln2令令, 1 x0 C.2ln)1()(2xxfxf 第六十五页，共七十三页。66.)(,cos1)(,)(200 dxxfxdttxtfxfx求求连续连续解解 0)()(xduufux例例 xxduuufduufx00)()(xduuufduufxxxcos1)()(00 方程方程(fngchng)两边对两边对x求导求导xxxfxxfduufxsin)()()(0 xduufxsin)(0 . 1)(20 dxxftxudttxtfx 令令0)(第六十六页，共七十三页。67证证1,)

34、()(0 tduuftF令令)()(tftF xdttF0)(右右 xxdttFtttF00)()( xxdtttfduufx00)()( xxdtttfdttxf00)()(.)()(0左左 xdtttftxf例例 xdtttfxxF0)()( xxdtttfdttfx00)()(用分部用分部(fn b)积分法积分法左左从右从右第六十七页，共七十三页。68证证2 xdttxtfxF01)()(令令,)()(002 xtdtduufxF令令 xxdtttfdttfx00)()()()()()(01xxfxxfdttfxFx xdttf0)( xduufxF02)()(, 0 )()(21 xF

35、xFCxFxF )()(21)0()0(21FF . 0 ,)(0 xdttf第六十八页，共七十三页。69 10110)()(1 , 0)(dxduufduuufCxfx证明证明，设设证证,)()(1 xduufxF令令 101)(dxduufx右右),()(xfxF 10)(dxxF 1010)()(dxxFxxxF, 0)1( F 10)(dxxxf.)(10左左 duuuf分部分部(fn b)积积分分第六十九页，共七十三页。70例例,3)1(,0)( fxxf处连续处连续在在已知已知,d)(d)(d)(111成立成立 xyyxttfyttfxttf. )(xf求求解解 方程方程(fngc

36、hng)两端对两端对 x 求导求导, 得得)(yxf yttf1d)()(xyf y 令令 x = 1, 得得yttfyyfy3d)()(1 再对再对 y 求导求导, 得得yyf3)( Cyyf ln3)(,3,1 Cy得得令令. 3ln3)( xxf故故有有且对任意的且对任意的), 0(, yx,3)1( f3)()()( yfyf yyf)13(235P第七十页，共七十三页。71证证右端右端,)(上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数在在设设baxf )(af且且试证试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)( baxfbxax)(d)(21 abxfbxax)()(21 xbax

37、xfbad)2)(21 分部分部(fn b)积积分分)(d)2(21xfbaxba 再次再次(zi c)分部积分部积分分xxfbad)( abxfbax)()2(21 = 左端左端.,0)( bf例例 (P227 10)第七十一页，共七十三页。第七十二页，共七十三页。内容(nirng)总结1。1) 由。一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,。排前者取为 u ,。1. 一般积分方法。2. 需要注意的问题。(1) 一般方法不一定是最简便的方法,。(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,。使用各种基本积分法, 简便计算 .。解 令。练习 求 (1)。第4章 定积分及其相关问题。2. 掌握微积分基本定理以及牛顿(ni dn)-莱布尼兹公式的应用，熟练掌握变限积分的性质、求导及其他运算第七十三页，共七十三页。