2022年第一章-三角形的证明教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第一讲等腰与等边三角形【优秀学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有：等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60. 2、等边三角形每条边

2、上的中线、高线和所对的角平分互相重合。（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形）【精选精讲】例题 1. 如图所示，ABC 中，AB=AC ，点 D 、E、F 分别在三边上， 且 CE=BD ，CD=BF, 若A=40，求EDF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共

3、 12 页学习必备欢迎下载例题 2、如图， ABC中， B=2C，BAC的平分线 AD交 BC于 D ，求证： AB+BD=AC 例题 3、如图，在 ABC中，AB=3AC ，A的平分线交 BC于点 D ，过 B作 BE AD ，垂足为 E，求证： AD=DE 。【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（） A、30 B、30或 150 C、120或 150 D、30或 120或 1502、等腰三角形的周长为a cm, 一腰的中线将周长分成5:3 ，则三角形的底边长为（） A、6a B、a53 C、aa536或 D、a543、如图 3，ABC 中，

4、AB=AC ，D、E、F 分别在 BC 、AC 、AB上，若 BD=CE ，CD=BF ，则 EDF等于（） A、9021A B、90 A C、180 A D、1802A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载4、如图 4，已知 ABC中，B与C的平分线交点 P恰好在 BC边的高 AD上，那么 ABC 一定是（） A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5、如图 5 所示，在 ABC 中，AB=AC ，BD是角平分线， BDC=75 ，则 BAC= 。图 3 图 4 图 5 6

5、、在 ABC 中，AB=AC ，A-B=27，则 C= 。7、等腰三角形的一个内角是50，则其他两个内角的度数为。8、如右图，已知： ABC ，BDE为等边三角形，求证AD=CE 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载9、已知： ABC ，BDE 为等边三角形， C,B,D 三点共线，求证 AD=EC 。10、已知： ABC为等边三角形， AF=BD=CE,AD,BE,CF 依次交于 G,H,K。求证： GHK 为等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

6、 - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载【能力提升】1、在 ABC 中，AB=AC,D 为 AC上一点，且 AD=BD=BC，则 A= 。2、在 ABC 中，AB=AC ，AB边上的高 CD等于腰长的一半，求顶角。【课后练兵】1、如图，在 ABC 中，AB=AC, A=108 ,BD 平分 ABC 交 AC于点 D,求证： BC=AC+CD 2、如图，已知在等边三角形ABC中，D、E、F分别是 BC 、CA 、AB上的点，且 AF=BD=CE。求证：三角形 DEF是等边三角形。3、已知： ABC ，BDE 为等边三角形， A、D 、E共线。求证： AE=BE+EC。精选学习资料 -

7、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载第二讲直角三角形【优秀学生必知的数学那点事儿】一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余；2、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）3、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（称为勾股定理）a2+b2=c2（反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其他两边的平方和，那么它是直角三角形）二、直角三角形的其他特殊性质1、直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为 h，那么它们存在这样的关系： ab=ch

8、或 h=cab2、直角三角形中，如果一个锐角等于30或 45 a:b:c=1:3:2 a:b:c=1:1:2【精选精讲】例题 1、判断下列各组线段为边能否构成直角三角形（1）9 41 40 （2）5 5 52（3）314151（4）32 42 52（5）235a33045a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载例题 2、如图，已知正方形ABCD ，E是 BC边的中点， F 在 CD上，且 DF=3CF ，求证： AE EF 例题 3、在 ABC中，若 a2+b2=25,a2-b2=7,又 c=5，则最

9、大边上的高是多少？例题 4、ABC中，AB=5,BC=32,BC边上的中线 AD= 2 ，则 ABC 是什么三角形？例题 5、已知如图，四边形ABCD 中， B，D是 Rt， A=45若 DC=2cm ，AB=5cm ，求 AD和 BC的长【基础达标】1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（） A 、5 12 13 B、7 24 25 C 、8 15 17 D、4 6 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载2、适合下列条件的 ABC 中，直角三角形的个数为（）（1）a=31 b=41 c=51（

10、2）a=b A=45 （3）A=32B=58 （4）a=7 b=24 c=25 （5）a=25 b=2 c=3 A 、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个3、下列语句（1）若 ABC 中，a2+b2c2，则 ABC 不是直角三角形（2）若 ABC 为直角三角形， C=90 ，则 a2+b2=c2（3）若 ABC 中，a2+b2=c2，则 C=90 （4）勾股定理的逆定理：若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形其中正确的个数是（） A 、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个4、若线段 a、b、c 组成 Rt，则它们的比为（） A 、2:3:4 B、3:4:6 C、5:

11、12:13 D、4:6:7 5、Rt一直角边的长为 11，另两边为自然数，则Rt的周长为（） A 、121 B、120 C、132 D、不能确定6、如果 Rt两直角边的比为5:12 ，则斜边上的高与斜边的比为（） A 、60:13 B、5:12 C、12:13 D、60:169 7、三角形三边长分别为2K，2 K，2 K，则它的三个内角分别是。8、直角三角形的面积为2，斜边上的中线为2，则直角三角形的周长是。9、如图，在四边形 ABCD 中，AB=3cm ，CD=12cm ，BD=13cm ，B=90 ，求四边形 ABCD 的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

12、 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载10、已知 ABC 三边上分别为 a、b、c，a=n2-16，b=8n,c=n2+16(n4), 求证： C=90 . 11、如图，已知四边形ABCD 中，AB=20 ，BC=15 ，CD=7 ，AD=24 ，B=90求证： A+C=180 12、在 RtABC中，三边长为整数，且AB=3 ，AC=5 ，则 BC边上中线 AD的长是多少。13、如图 P、Q分别是 RtABC的两直角边 AB 、AC上的点， M是斜边 BC的中点， PM QM ，若 PB=a ，QC=b ，求 PQ 精选学习资料 - - - - - - - -

13、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载14、如图，四边形 ABCD 中， BAD=90 ，AB=BC=23，AC=6 ，AD=3 ，求 CD 。【能力提升】1、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以 16 海里/ 时速度向北偏东 40航行，乙船向南偏东 50航行， 3 小时后，甲船到达C岛，乙船到达 B岛，若 C 、B两岛相距 60 海里，问乙船的航速是多少 ? 2、如图， P是长方形 ABCD 内一点，已知 PA=3 ，PB=4 ，PC=5 ，求 PD的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

14、第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载3、如图，在 ABC 中，AB=AC ，P为 BC上的任意一点，请用学过的知识说明，AB2-AP2=PB PC 4、如图，一个牧童在小河的南4Km的 A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 8Km北 7Km处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将 A、C重合，把纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分 AEF的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载【

15、课后作业】1、在 ABC 中， A=30， B=45 ，AC=20 ，求 BC及 AB的长。2、如图，一块砖宽 AN=5cm ，长 ND=10cm ，CD上的点 B距地面的高 BD=8cm ，地面上 A处的一只蚂蚁到 B处吃食，要爬行的最短路线是多少？3、若 ABC 的三边长 a,b,c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断 ABC的形状。4、如图， D、E、F分别是 ABC的 BC 、AB 、AC上的点，若 AE=AF ，BE=BD ，CF=CD ，AB BC=2BD DC ，AB=3 ，AC=4 ，求 ABC的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页