2022年第七节定积分的几何应用 .pdf

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1、多练出技巧巧思出硕果第七节定积分的几何应用教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积、体积。教学重点：平面图形的面积、体积的计算。教学难点：所求量元素的确定教学时数： 2 教学内容：一、定积分的元素法定积分的定义中的引例1 用定积分求曲边梯形的面积时，经过如下四个步骤：第一是分割，即把整体进行分割；第二是近似值，在局部范围内，“以直边代曲边”, 即求出整体量在局部范围内的近似值；第三求和，即将各窄曲边梯形面积的近似值加起来；第四取极限，从而得到整体量的精确值事实上，这种方法在实际应用中很广泛，为了今后应用方便，我们在解决实际问题中将这四个步骤简化成以下步骤：（1）取积分变量x, 确定取值范围,b

2、a; （2）分割区间,ba，在其中任取一个小区间，记为,xxx，或记作,dxxx，设所求整体量是S，取ix（小区间的左端点） ，求出S在小区间上的局部量S的近似表达式dxxfS)(它称为量S的微分元素（简称微元）; （3）定限求积分，即用定积分表示所求整体量当0 x时，所有的微元无限相加，就是在区间,ba上的定积分：badxxfS)(. 用以上定积分表示具体问题的简化步骤来解决实际问题的方法称为微元法 二、平面图形的面积由定积分的几何意义，我们已经知道：由连续曲线)0)(),(xfxfy和x轴以及两条直线bxax,所围成的曲边梯形的面积为: babaydxdxxfA)(应注意在上式中)(xf是

3、非负的，如果0)(xf，那么相应图形面积（所围曲边梯形的( )yf xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果面积）应为babadxydxxfA)(一般地，由两条连续曲线)(),(xfyxgy及两条直线bxax,)(ba所围的平面图形（见图1）( 假定)()(xfxg) 的面积按如下方法求得：badxxgxfA)()(. 当不能确定)()(xfyxgy与谁在上面时，则以)(),(xfyxgy为边界及直线bxax,)(ba所围图形的面积应记为badxxgxfA)()()badx上下类似地，由连续曲线0)

4、(yx，y轴与直线dycy,（dc）所围成的曲边梯形面积为（见图2 ）dcdyyA)( . 一般地， 由连续曲线)(),(yxyx及两条直线dycy,（dc）所围成的平面图形的面积为（见图3 ）dcdyyyA)()(例 1：求由曲线1xy，直线xy和2x所围图形的面积解：首先，画草图如图4 所示 ; yx1xy图 2 ( )xydyxo图 3 ( )xy( )xycdyxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果其次，由草图知，应选x作积分变量；解方程组xyxy1得交点)1 ,1 (，积分区间为2 ,1

5、，最后，用公式可得所求面积为21)1(dxxxA2ln23)ln21(122xx例 2：求由曲线xy22与xy4所围图形的面积解：画草图如图5 所示确定积分变量为y，解方程组xyxy422得交点)4,8(),2 ,2(，于是得积分区间为2,4所以所求图形面积为242)24(dyyyA18)61214(4232yyy例 3：求由6,2,yxxyxy所围图形的面积解：如图所示（见图6） ，解方程组62yxxy和6yxxy得交点)4,2(和)3 ,3(取积分变量为x，则积分区间分别为3 ,2,2 ,0则所求图形的面积为3220)6()2(dxxxdxxxA232022)6()21(xxx3该题也可以

6、取y为积分变量，此时积分区间为4,3,3 ,0，所求图形的面积为4330)26()2(dyyydyyyA342032)436(4yyy3说明：用定积分求几何图形的面积，既可选取x为积分变量， 也可选取y为积分变量 但3 4 o2 3 xxy6yxxy2y图 6 图 5 o4 x22xy4yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果积分变量的选取， 决定了图形用不用分块，即表示面积的定积分是用一个表达式还是用几个表达式一般情况下，选取积分变量的原则是，尽量使图形不分块（用一个定积分表示）和少分块（必须分块

7、时） 归纳出解题步骤:(1) 画草图 (2)由图选取积分变量, 求出积分区间 (3)写出面积公式 : 选x为积分变量 , 确定x的范围,ba，s()badx上下; 选y为积分变量 , 确定y的范围,dc，s()dcdy右左. 三、旋转体的体积旋转体 是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴 下面我们计算由连续曲线( )yf x、直线xa、xb（ab）所围成的图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(1) 取x为积分变量，其变化区间为,ba，在,ba上任取一点x，作垂直于x轴的截面，该截面是半径为( )f x的圆，因而截面面积为22( )( )A xyfx(2)

8、在,ba上，以x为端点取区间 ,x xdx，则以截面( )A x为底、以dx为高的圆柱体体积为22( )( )dVA x dxy dxf xdx(3) 以dV为体积微元，在,ba上作定积分，即得所求的体积为xV22d = ( ) dbbaayxf xx. 类似地，由连续曲线( )xy、直线yc、yd(cd) 以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为22Vd() dddyccxyg yy. 例 4：求由抛物线2xy，直线2x及x轴所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转所得立体的体积V解： 绕x轴旋转所生成的立体体积为：220 xVy dx , 于是204dxxV5232505x. 绕y轴旋转所形成立体的体积等于直线2x绕y轴旋转得到的体积减去抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果2xy绕y轴旋转得到的立体，所以其体积42202() yVydy40(4)y dy241(4)802yy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页