最新中级微观02经济学解释的工具(共121张PPT课件).pptx

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1、1第第 2 讲讲经济学解释经济学解释(jish)的工具的工具第一页，共一百二十一页。2n第第1 1节节 重要的数学重要的数学(shxu)(shxu)表达表达“我们需要数理经济学的工具来弄清这些基本的真理吗？我们需要数理经济学的工具来弄清这些基本的真理吗？是的，需要。如果不是用严格的数学方法，牛顿、麦克是的，需要。如果不是用严格的数学方法，牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦、玻尔就不可能完成那些科学革命，这斯韦、爱因斯坦、玻尔就不可能完成那些科学革命，这种科学革命触发了带来全世界经济增长种科学革命触发了带来全世界经济增长(zngzhng)(zngzhng)的产业的产业革命。仅仅阅读革命。仅仅阅读1919世

2、纪的经济学著作或者由教书匠和空谈世纪的经济学著作或者由教书匠和空谈家炮制的现代改写本，是不能使人超越经济科学的幼儿园家炮制的现代改写本，是不能使人超越经济科学的幼儿园的，这就是严酷的现实的，这就是严酷的现实”萨缪尔逊为萨缪尔逊为经济分析基础经济分析基础写的中文版前言，北京经济学写的中文版前言，北京经济学院出版社院出版社19901990年版年版 第二页，共一百二十一页。3一、一、 实数和集合实数和集合l1. 基本概念基本概念l实数：量上是一个闭联集或连续实数：量上是一个闭联集或连续(linx)统；结构上有统；结构上有序结构、代数结构和拓扑结构序结构、代数结构和拓扑结构第三页，共一百二十一页。4l

3、集合论的语言和方法渗透于整个微观经济集合论的语言和方法渗透于整个微观经济(wi un jn j)(wi un jn j)理论理论集合的元素和子集集合的元素和子集空集、补集、差集空集、补集、差集集合的并和交集合的并和交有序对和有序对和n n维向量维向量第四页，共一百二十一页。5l凸组合和凸集凸组合和凸集向量（点）的凸组合向量（点）的凸组合如果两个如果两个(lin )向量向量u和和v，有，有 0，1， u （1 ） v，称为凸组合，称为凸组合Rn上的凸集上的凸集对于所有的对于所有的x1S，x2 S ，如果有下列式子，如果有下列式子，则则 是一个凸集是一个凸集 tx1（1t）x2 S ，对于所有的，

4、对于所有的t（0t1），该），该式成立式成立nRS 第五页，共一百二十一页。6qRn上的凸集（文字定义上的凸集（文字定义(dngy)）：如果对于集合内的任意）：如果对于集合内的任意两个点，这两个点的所有加权平均数也是同一集合的点，两个点，这两个点的所有加权平均数也是同一集合的点，那么，此集合是凸的。这种加权平均数称为凸组合那么，此集合是凸的。这种加权平均数称为凸组合第六页，共一百二十一页。7l2. 相关的拓扑知识相关的拓扑知识l度量度量(dling)和度量和度量(dling)空间空间l极限、极限点和区间极限、极限点和区间l开球和闭球开球和闭球l开集、闭集、有界集和紧集开集、闭集、有界集和紧集第

5、七页，共一百二十一页。8二、二、 实值函数实值函数l1. 关系和函数关系和函数l二元关系二元关系二元关系：任何有序对（二元关系：任何有序对（s，t）把一个）把一个(y )元素元素s S 与另一个元素与另一个元素t T 联系起来。任何有序对的集合联系起来。任何有序对的集合被认为构成了集合被认为构成了集合S与与T 之间的一个二元关系之间的一个二元关系第八页，共一百二十一页。9l函数函数函数是一类函数是一类(y li)普遍但十分特殊的关系。一普遍但十分特殊的关系。一个函数是一种将一个集合内的每个要素与另个函数是一种将一个集合内的每个要素与另一集合内的单个且唯一的元素联系起来。称一集合内的单个且唯一的

6、元素联系起来。称函数函数f 是从一个集合是从一个集合D到另一个集合到另一个集合R的映射，的映射，写成写成f ：DR。D是定义域，是定义域，R是值域。是值域。f 的象是值域内的点集的象是值域内的点集第九页，共一百二十一页。10l函数函数、斜率和弹性、斜率和弹性如果如果yf ( xi )来表示两类变量来表示两类变量(binling)之间的关系。之间的关系。 f (xi )表示函数随自变量变化而变化的速度，也是几表示函数随自变量变化而变化的速度，也是几何意义上何意义上f ( xi )的斜率的斜率函数具体一点的斜率表示弹性。例如令函数具体一点的斜率表示弹性。例如令qapb是需是需求函数，其弹性为求函数

7、，其弹性为bappbapqpdpdqb1b第十页，共一百二十一页。11l2. 凸函数凸函数(hnsh)与凹函数与凹函数(hnsh)第十一页，共一百二十一页。12第十二页，共一百二十一页。13第十三页，共一百二十一页。14如果如果(rgu)函数可微，函数的凹凸性也可以按其函数可微，函数的凹凸性也可以按其一阶导数来定义一阶导数来定义第十四页，共一百二十一页。15l3. 拟凸函数与拟凹函数拟凸函数与拟凹函数第十五页，共一百二十一页。16第十六页，共一百二十一页。17第十七页，共一百二十一页。18第十八页，共一百二十一页。19第十九页，共一百二十一页。20三、三、 比较静态分析比较静态分析l1. 比较

8、静态的含义比较静态的含义l作为测试理论的比较静态学作为测试理论的比较静态学l例如，例如，MR（q）=MC（q）是厂商最优产量条件，并且有）是厂商最优产量条件，并且有R （q）C （q）。如何检验呢？）。如何检验呢？l引入一个可观察的外生变量税率引入一个可观察的外生变量税率(shul)t，看它对模型中另，看它对模型中另一个可观察的量一个可观察的量q的影响的影响第二十页，共一百二十一页。21q一阶条件一阶条件(tiojin)为：为：R，(x)C，(x)t0第二十一页，共一百二十一页。22第二十二页，共一百二十一页。23l比较比较(bjio)不同均衡状态的比较不同均衡状态的比较(bjio)静态分析静

9、态分析第二十三页，共一百二十一页。24第第1讲讲l2. 雅可比行列式雅可比行列式如果(rgu)由方程组 y1f1（x1，x2，x3） y2f2（x1，x2，x3） y3f3（x1，x2，x3）雅可比行列式为雅可比行列式为 332313322212312111321321xy xy xyxy xy xyxy xy xy x,x,xy,y,y J第二十四页，共一百二十一页。25第第1讲讲如果有如果有就可以就可以(ky)进行比较静态分析进行比较静态分析 0 J 第二十五页，共一百二十一页。26l3. 全微分全微分(wi fn)和全导数和全导数第二十六页，共一百二十一页。27第第1讲讲l4. 隐函数定

10、理和隐函数法则隐函数定理和隐函数法则l隐函数定理隐函数定理l隐函数法则隐函数法则f（x，y）=0，有全微分：有全微分：fxdxfydy0，从而有从而有该法则表明，即使该法则表明，即使(jsh)隐函数的具体形式未知，仍隐函数的具体形式未知，仍可通过取函数可通过取函数f的一对偏导数比值的负值，而求得隐的一对偏导数比值的负值，而求得隐函数的偏导数函数的偏导数xyffdxdy第二十七页，共一百二十一页。28第第1讲讲例：例：生产可能性曲线为生产可能性曲线为2x2 y2 225，求其边际转换率求其边际转换率移项为隐函数移项为隐函数(hnsh)2x2 y2 225 0 ，有有fx4x， fy2y，从而边际

11、转换率从而边际转换率 第二十八页，共一百二十一页。29l推广到联立方程组的情况推广到联立方程组的情况给定联立方程组，它们定义给定联立方程组，它们定义(dngy)一组隐函数。如一组隐函数。如果雅可比行列式不为零，可直接从果雅可比行列式不为零，可直接从n个联立方程中个联立方程中解得隐函数的偏导数，而不需要解出变量解得隐函数的偏导数，而不需要解出变量y第二十九页，共一百二十一页。30l5. 包络包络(bo lu)定理定理第三十页，共一百二十一页。31第三十一页，共一百二十一页。32包络(bo lu)定理l假定假定 y 是是 x 的函数的函数 y = x2 + axl对于对于a 的不同的不同(b tn

12、)取值取值, 这个函数代表了一族抛物这个函数代表了一族抛物线线l如果如果a 取定一个值取定一个值, 那么那么 y 变成仅仅是变成仅仅是 x 的函数，同的函数，同时可以计算使得时可以计算使得y最大的最大的x的取值的取值第三十二页，共一百二十一页。33包络(bo lu)定理对于对于(duy)不同的不同的a，x和和y的最优值的最优值第三十三页，共一百二十一页。34包络(bo lu)定理随着随着(su zhe) a 增加增加,y (y*) 的最大值上升的最大值上升a 和和 y 的关系的关系(gun x)是是二次的二次的第三十四页，共一百二十一页。35包络(bo lu)定理l假定我们感兴假定我们感兴 y

13、* 如何随着如何随着 a 变化变化l我们有两种方法可以做到这点我们有两种方法可以做到这点直接计算直接计算(j sun) y 的斜率的斜率保持保持 x 在最优值不变，直接计算在最优值不变，直接计算 y/ a第三十五页，共一百二十一页。36包络(bo lu)定理l为了计算函数的斜率为了计算函数的斜率, 我们我们(w men)必须对于任意的必须对于任意的a解出解出 x 的最优值的最优值dy/dx =2x + a = 0 x* = a/2l替代替代, 得到得到y* = (x*)2 + a(x*) =(a/2)2 + a(a/2)y* = a2/4 + a2/2 = a2/4第三十六页，共一百二十一页。

14、37包络(bo lu)定理l因此因此 dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*l但是但是(dnsh), 我们可以利用我们可以利用包络定理节约时间包络定理节约时间l对于对于a的微小变化的微小变化, dy*/da 可以通过保持可以通过保持x 在在 x* 不变，直接从不变，直接从y 计算计算 y/ al y/ a = xl保持保持 x = x* y/ a = x* = a/2l这和前面的结果相同这和前面的结果相同第三十七页，共一百二十一页。38包络(bo lu)定理l包络定理包络定理 表示了，函数最优值对于参数的变化表示了，函数最优值对于参数的变化(binhu)可以通过保持可以通过保持 x

15、(或者几个或者几个x) 在最优值不变，偏微分在最优值不变，偏微分目标函数获得目标函数获得)(*axxaydady第三十八页，共一百二十一页。39包络(bo lu)定理l包络定理可以扩展到包络定理可以扩展到 y 是多变量的函数是多变量的函数(hnsh)y = f(x1,xn,a)l寻找寻找 y 的最优值包括求解的最优值包括求解n个一阶条件方程个一阶条件方程 y/ xi = 0 (i = 1,n)第三十九页，共一百二十一页。40包络(bo lu)定理lx 的最优值将是的最优值将是 a 的函数的函数(hnsh)x1* = x1*(a)x2* = x2*(a)xn*= xn*(a).第四十页，共一百二

16、十一页。41包络(bo lu)定理l替代进原目标函数替代进原目标函数(hnsh)获得了获得了y (y*)最优值的表达式最优值的表达式y* = f x1*(a), x2*(a),xn*(a),al求导，可得求导，可得afdadxxf.dadxxfdadxxfda*dynn2211第四十一页，共一百二十一页。42包络(bo lu)定理l考虑一阶条件考虑一阶条件,如果如果 x 在它们的最优值，那么在它们的最优值，那么(n me)所所有项，除了有项，除了 f/ a ，都等于都等于0l因此因此,)(*axxafdady第四十二页，共一百二十一页。43l6. 一般函数一般函数(hnsh)模型的比较静态分析

17、模型的比较静态分析当任意外生变量或参数发生变化时，内生变量的均衡当任意外生变量或参数发生变化时，内生变量的均衡值将如何变化值将如何变化l有显性解的情况有显性解的情况把内生变量作为外生变量或参数的显性表示，为了解某把内生变量作为外生变量或参数的显性表示，为了解某一参数微小变化如何影响内生变量，仅需把均衡解对该一参数微小变化如何影响内生变量，仅需把均衡解对该参数求偏导数即可参数求偏导数即可第四十三页，共一百二十一页。44第第1讲讲例：市场例：市场(shchng)模型模型dbbcadQdbcaP0)d(c dPcQ0)b(a bPaQ21其解为，第四十四页，共一百二十一页。45第第1讲讲考虑考虑(k

18、ol)P，有四个偏导数，有四个偏导数dPd)(bc)(ad)(bc)1(ad)0(bbPcPdb1aP*22*第四十五页，共一百二十一页。46l没有显性解的情况没有显性解的情况这时需要运用隐函数定理和隐函数法则这时需要运用隐函数定理和隐函数法则步骤如下步骤如下对每个均衡恒等式依次取全微分对每个均衡恒等式依次取全微分选择一个外生变量，令其他选择一个外生变量，令其他(qt)所有外生变量微分为零，所有外生变量微分为零，然后以该外生变量的微分除以每个恒等式余下的各项，然后以该外生变量的微分除以每个恒等式余下的各项，并将两个微分的商视为比较静态导数（若模型包含两个并将两个微分的商视为比较静态导数（若模型

19、包含两个以上外生变量，应视为偏导数）以上外生变量，应视为偏导数）解所得到的方程组，求出比较静态导数，解释其经济含解所得到的方程组，求出比较静态导数，解释其经济含义（使用克莱姆法则）义（使用克莱姆法则）若有其它外生变量，其分析可重复步骤若有其它外生变量，其分析可重复步骤2和步骤和步骤3第四十六页，共一百二十一页。47第第1讲讲例：市场例：市场(shchng)模型模型可将市场模型表示成隐函数形式可将市场模型表示成隐函数形式0)dPdS( S(P)Q)0YD 0PD()Y D(P,QQQs00dsd；NoImage0QS(P)Y Q; (P,F0Q)Y D(P,)Y Q; (P,F02001第四十七

20、页，共一百二十一页。48第第1讲讲F1和和F2有连续有连续(linx)偏导数；内生变量的雅可比行列式不为零偏导数；内生变量的雅可比行列式不为零因此，如果均衡解存在，依据隐函数定理，有因此，如果均衡解存在，依据隐函数定理，有NoImage)(YQQ )Y (PP00和0PDdPdS 1 dPdS1 PD QF PFQF PFJ2211第四十八页，共一百二十一页。49第第1讲讲尽管不能解出尽管不能解出我们可以写出我们可以写出由此，由此， 可以同时得到。对上述可以同时得到。对上述(shngsh)恒等式依次进恒等式依次进行微分，有行微分，有NoImageQ P和0 Q)PS(0 Q)Y ,PD(0)d

21、YdQ( )dYPd(00和0QdPdPddSdYYDQdPdPD00第四十九页，共一百二十一页。50第第1讲讲从而从而(cng r)有有得到矩阵方程得到矩阵方程NoImage0dYQddYPdPddSYDdYQddYPdPD00000NoImage0 YD dYQddYPd 1 PddS1 PD000）（）（第五十页，共一百二十一页。51第第1讲讲由克莱姆法则由克莱姆法则(fz)，得到的解为，得到的解为NoImageNoImageJYDPddS J0 PddSYD PDdYQdJYD J1 0 1 YDdYPd000000）（）（第五十一页，共一百二十一页。52四、四、 最优化分析最优化分析

22、l1. 无约束最优化问题求解无约束最优化问题求解l一元函数极值的一阶、二阶条件一元函数极值的一阶、二阶条件l泰勒展开式泰勒展开式l多元函数多元函数(hnsh)极值的一阶、二阶条件极值的一阶、二阶条件l根据海赛行列式判别二阶条件根据海赛行列式判别二阶条件第五十二页，共一百二十一页。53第第1讲讲l函数增减函数增减(zn jin)性和函数凹凸性性和函数凹凸性函数凹凸性与二阶充分条件函数凹凸性与二阶充分条件函数凹凸确定一条曲线或一个曲面如何弯曲。曲线上函数凹凸确定一条曲线或一个曲面如何弯曲。曲线上任意两点连线，其线段位于曲线下（上）方（两点除任意两点连线，其线段位于曲线下（上）方（两点除外），函数为

23、严格凹（凸）函数。线段可位于曲线下外），函数为严格凹（凸）函数。线段可位于曲线下（上）方，也可位于曲线中，函数为凹（凸）函数（上）方，也可位于曲线中，函数为凹（凸）函数（严格）凹（凸）函数必有极大值（极小值）（严格）凹（凸）函数必有极大值（极小值）第五十三页，共一百二十一页。54凹（凸）性检验凹（凸）性检验(jinyn)对函数对函数f定义域内任意两点定义域内任意两点u和和v，且对，且对01，当且仅当，当且仅当如果函数如果函数 f 可微，定义域内任意两点可微，定义域内任意两点u 和和 v，当且仅当，当且仅当为凹函数时，f)v1(uf)f(v)(1f(u)为凹函数时，可微函数f(x)u)(u)(v

24、ff(u)f(v)为凸函数时，可微函数f(x)u)(u)(vff(u)f(v)为凸函数时，f)v1(uf)f(v)(1f(u)第五十四页，共一百二十一页。55如果函数二次可微，二阶偏导数存在如果函数二次可微，二阶偏导数存在(cnzi)，因此，因此，d2z有定义。当且仅当有定义。当且仅当d2z处处为负（正）半定时，则处处为负（正）半定时，则二阶连续可微函数二阶连续可微函数zf(x1，xn)是凹（凸）函数是凹（凸）函数极大值要求（严格）拟凹性；极小值要求（严格）拟凸极大值要求（严格）拟凹性；极小值要求（严格）拟凸性性第五十五页，共一百二十一页。56l极值和拐点极值和拐点l函数函数(hnsh)最优化

25、及其高阶检验最优化及其高阶检验l总量、平均量和边际量之间的关系总量、平均量和边际量之间的关系以产量为例以产量为例第五十六页，共一百二十一页。57l2. 有约束最优化问题求解有约束最优化问题求解l代入法代入法l拉格朗日方法拉格朗日方法(fngf)l二阶条件二阶条件l海赛加边行列式与二阶条件海赛加边行列式与二阶条件第五十七页，共一百二十一页。58l最优化条件最优化条件(tiojin)：二阶微分和二阶导数：二阶微分和二阶导数二阶微分条件二阶微分条件值和对不同时为零的的任意极大值，极小值dxdx 0zd 0,zd22第五十八页，共一百二十一页。59第第1讲讲二阶导数二阶导数(do sh)条件条件极大值

26、极大值极小值极小值一阶偏导数全为零一阶偏导数全为零fx0，fy0fx0，fy0二阶偏导数判别二阶偏导数判别1fxx0， fyy0 （d2z 0） fxx 0，fyy 0（d2z 0）二阶偏导数判别二阶偏导数判别2fxx fyy （ fxy ）2fxx fyy （ fxy ）2第五十九页，共一百二十一页。60n假定假定 y = f(x1, x2)n最大值点的一阶条件最大值点的一阶条件(tiojin) y/ x1 = f1 = 0 y/ x2 = f2 = 0n为了保证这个点是最大值点为了保证这个点是最大值点, 从任何方向离开从任何方向离开驻点驻点 y 必须减小必须减小第六十页，共一百二十一页。6

27、1nx1 方向的斜率方向的斜率 (f1) 必须在驻点减小必须在驻点减小nx2 方向的斜率方向的斜率 (f2) 必须在驻点减小必须在驻点减小n但是但是, 交叉导数交叉导数 (f12 = f21) 也必须满足约束，以也必须满足约束，以保证保证(bozhng)dy 对于任何方向离开驻点的运动都对于任何方向离开驻点的运动都会减少会减少第六十一页，共一百二十一页。62ny 的全微分的全微分dy = f1 dx1 + f2 dx2n这个函数这个函数(hnsh)的微分是的微分是 d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2d 2y = f11dx12

28、+ f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22n根据根据Young定理定理, f12 = f21 并且并且 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22第六十二页，共一百二十一页。63d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22n为了使得为了使得(sh de)这个方程对于这个方程对于x的任何方向都是负的任何方向都是负的的, f11 和和 f22 必须是负的必须是负的n如果如果 dx2 = 0, 那么那么 d 2y = f11 dx12q为了为了 d 2y 0, f11 0n如果如果 dx1 = 0, 那么那么 d

29、 2y = f22 dx22q为了为了d 2y 0, f22 0q二阶导数二阶导数 (f11 和和 f22) 负的足够大使得它们负的足够大使得它们(t men)足以超足以超过来自交叉导数过来自交叉导数 (f12 = f21)的逆效应的逆效应第六十四页，共一百二十一页。65l最优化条件：二次型有定判别最优化条件：二次型有定判别给定二次型给定二次型qax2bxycy2，判别式的主对角线由二次项系数组判别式的主对角线由二次项系数组成，非对角线由非二次项系数的均分构成成，非对角线由非二次项系数的均分构成(guchng)。当且仅当。当且仅当 0，正定，正定，极小值极小值 q 0，半正定，半正定 0，半负

30、定，半负定 0，负定，负定，极大值极大值第六十五页，共一百二十一页。66当且仅当当且仅当a0，且且acb20，q为正定为正定(zhn dn)；当且仅当；当且仅当 a0，且且acb20，q为负定为负定二次型二次型q的判别式是的判别式是 a0， 当且仅当当且仅当 且且 a0c2b2baD NoImage负定正定为，q0c 2b2b a第六十六页，共一百二十一页。67l最优化条件：海赛行列式有定判别最优化条件：海赛行列式有定判别把二次型系数把二次型系数(xsh)与与d2z的二阶偏导数对应起来，我们有：的二阶偏导数对应起来，我们有：当且仅当当且仅当 负定正定为，和zd0ffff ff f0f0f22x

31、yyyxxxxxyxyxxxxxx第六十七页，共一百二十一页。68第第1讲讲l最优化条件：二次型有定符号特征根检验最优化条件：二次型有定符号特征根检验给定矩阵给定矩阵A，如果能找到一向量如果能找到一向量(xingling)V0及标量及标量c，使得：使得：AV= c V，则标量则标量c称为特征根，向量称为特征根，向量V称为特征向量。相应地有：称为特征向量。相应地有：AV= c IV，或者有：（或者有：（A c I）V = 0，其中（其中（A c I）称为称为A的特征矩阵。由的特征矩阵。由于于V0，特征矩阵（特征矩阵（A c I）必为奇异的必为奇异的0333231232221131211caaaa

32、caaaacacIA第六十八页，共一百二十一页。69第第1讲讲由于矩阵（由于矩阵（A c I）=0，求解得到求解得到c 如果：如果：所有特征所有特征(tzhng)根根c为正，则为正，则A为正定为正定所有特征根所有特征根c为负，则为负，则A为负定为负定所有所有c为非负，且至少一个为非负，且至少一个c=0，则则A为半正定为半正定所有所有c为非正，且至少一个为非正，且至少一个c=0，则则A为半负定为半负定有些有些c为正，另一些为负，则为正，另一些为负，则A符号不定符号不定第六十九页，共一百二十一页。70l最优化条件：多于两个变量的海赛行列式有定判别最优化条件：多于两个变量的海赛行列式有定判别确定确定

33、d2z正定或负定规则大致相似，假定三变量海赛矩阵如下正定或负定规则大致相似，假定三变量海赛矩阵如下其主次主子其主次主子(zh zi)式可表示为式可表示为 333231232221131211fffffffffH HH f ff fH fH3222112112111，第七十页，共一百二十一页。71z的极值二阶充分条件的极值二阶充分条件(chn fn tio jin)可表示为可表示为 正定）（；负定）（；如果极小值极大值为zd 0H 0H 0H zd 0H 0H 0;Hz23212321第七十一页，共一百二十一页。72l最优化条件：与函数凹性和凸性相关最优化条件：与函数凹性和凸性相关(xinggu

34、n)的判别的判别凹（严格凹），拟凹（严格拟凹），极大值凹（严格凹），拟凹（严格拟凹），极大值凸（严格凸），拟凸（严格拟凸），极小值凸（严格凸），拟凸（严格拟凸），极小值 第七十二页，共一百二十一页。73l约束最优化的二阶条件约束最优化的二阶条件对于对于z极大值，极大值，d2z为负（半）定，满足为负（半）定，满足dg0对于对于z极小值，极小值，d2z为正（半）定，满足为正（半）定，满足dg0关于关于d2z定性符号定性符号(fho)的行列式判别准则：的行列式判别准则： 极大值为负定，极小值为正定，时，当且仅当z zdzzd 00 L L gL L gg g 022yyyxyxyxxxyx第七十三页

35、，共一百二十一页。74多变量多变量(binling)时有时有0dg zd 0H 0H 0H zd 0H ,H ,H 24322n32满足负定时，等等，正定）时，当且仅当第七十四页，共一百二十一页。75第第1讲讲 n第第2 2节节 博弈论初步博弈论初步q一、一、 博弈论的基本概念博弈论的基本概念1. 博弈及其分类博弈及其分类l博弈论研究决策主体的行为博弈论研究决策主体的行为(xngwi)发生直接相互作用发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡时的决策以及这种决策的均衡l博弈论的出发点：任何一方参与者会想到的，另一方也会想博弈论的出发点：任何一方参与者会想到的，另一方也会想到；一方会做逻辑思考，

36、另一方也会做逻辑思考；一方将自到；一方会做逻辑思考，另一方也会做逻辑思考；一方将自己的利益最大化，另一方也将自己的利益最大化。一个博弈己的利益最大化，另一方也将自己的利益最大化。一个博弈分析要将所有参与者的利益和行为考虑在内分析要将所有参与者的利益和行为考虑在内第七十五页，共一百二十一页。76l博弈论的发展博弈论的发展起源可以追溯到起源可以追溯到1944年由冯年由冯诺伊曼和摩根斯坦合著的诺伊曼和摩根斯坦合著的博弈论和经济行为博弈论和经济行为(xngwi)一书出版一书出版1970年代起，博弈论的在经济学及其他学科得到年代起，博弈论的在经济学及其他学科得到广泛应用广泛应用冯冯诺伊曼诺伊曼摩根斯坦摩

37、根斯坦第七十六页，共一百二十一页。771994年，纳什、泽尔腾和哈萨尼因博弈论方面的贡献年，纳什、泽尔腾和哈萨尼因博弈论方面的贡献(gngxin)获得诺贝尔经济学奖获得诺贝尔经济学奖哈萨尼哈萨尼纳什纳什泽尔腾泽尔腾第七十七页，共一百二十一页。782005年，奥曼和谢林又因博弈论方面年，奥曼和谢林又因博弈论方面(fngmin)的贡献获得的贡献获得诺贝尔经济学奖诺贝尔经济学奖谢林谢林奥曼奥曼第七十八页，共一百二十一页。79l博弈的分类及对应的均衡概念博弈的分类及对应的均衡概念按参与人行动的先后按参与人行动的先后(xinhu)次序分为静态博弈和动态博弈次序分为静态博弈和动态博弈按参与人对其他参与人的

38、特征、战略和支付方面的知识分为按参与人对其他参与人的特征、战略和支付方面的知识分为完全信息博弈和不完全信息博弈完全信息博弈和不完全信息博弈相应地有四个均衡概念：纳什均衡、子博弈精炼纳什相应地有四个均衡概念：纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、精炼贝叶斯纳什均衡。均衡、贝叶斯纳什均衡、精炼贝叶斯纳什均衡。第七十九页，共一百二十一页。80第第1讲讲静态静态动态动态完全信息完全信息完全信息静态博弈；完全信息静态博弈；纳什均衡。纳什均衡。（纳什，（纳什，19501950，19511951）完全信息动态博弈；子完全信息动态博弈；子博弈精炼纳什均衡。博弈精炼纳什均衡。（塞尔腾，（塞尔腾，1965

39、1965）不完全信息不完全信息不完全信息静态博弈；不完全信息静态博弈；贝叶斯纳什均衡。贝叶斯纳什均衡。（哈萨伊，（哈萨伊，196768196768）不完全信息动态博弈；不完全信息动态博弈；子博弈精炼纳什均衡。子博弈精炼纳什均衡。（塞尔腾，（塞尔腾，19751975；克瑞普斯；克瑞普斯和威尔逊，和威尔逊，19821982；弗登伯格；弗登伯格和蒂诺尔，和蒂诺尔，19911991）第八十页，共一百二十一页。81第第1讲讲2. 基本概念基本概念l参与人：参与人：i=1,2,nl战略：战略：s=（s1,si,sn）l支付：支付： ui= ui（s1,si,sn）l均衡均衡(jnhng)：是所有参与人最优

40、战略的组合。：是所有参与人最优战略的组合。s*=（s1*,si*,sn*）第八十一页，共一百二十一页。82q二、二、 完全信息静态博弈完全信息静态博弈1. 博弈标准式和纳什均衡博弈标准式和纳什均衡l参与人的战略空间为参与人的战略空间为S1，Sn，收益函数为，收益函数为u1，un，我们用，我们用G S1，Sn ； u1，un 表示此博表示此博弈弈l两个参与人时，可用矩阵两个参与人时，可用矩阵(j zhn)形式表示形式表示第八十二页，共一百二十一页。83u11，u11 u22，u22u21，u12u12，u21s1Bs1As2Bs2A参与人参与人B参与人参与人A矩阵矩阵(j zhn)表示法表示法第

41、八十三页，共一百二十一页。842. 2. 占优占优( (战略战略) )均衡均衡l囚徒困境囚徒困境从他们共同利益看，最佳选择从他们共同利益看，最佳选择(xunz)是合作，即同时保持是合作，即同时保持沉默，然而，猜忌和试图获得更大好处（沉默，然而，猜忌和试图获得更大好处（3个月刑期）等个月刑期）等竞争性动机阻碍了达到更好互利选择竞争性动机阻碍了达到更好互利选择(xunz)结果结果对囚犯对囚犯A，B来说，无论对方如何选择，来说，无论对方如何选择，“坦白坦白”都是都是各自最优选择各自最优选择占优战略和占优（战略）均衡占优战略和占优（战略）均衡 第八十四页，共一百二十一页。85第第1讲讲-8，-8-1，

42、-1-10，00，-10坦白坦白坦白坦白抵赖抵赖抵赖抵赖囚犯囚犯B囚犯囚犯A囚徒囚徒(qit)困困境境第八十五页，共一百二十一页。86第八十六页，共一百二十一页。87占优策略：不管竞争对手选择什么策略，参与人都有自占优策略：不管竞争对手选择什么策略，参与人都有自己的一个最优策略己的一个最优策略占优策略均衡：如果在博弈中，每个参与者都有一个占占优策略均衡：如果在博弈中，每个参与者都有一个占优策略，那么优策略，那么(n me)(n me)，这个占优策略组合就是该博弈的，这个占优策略组合就是该博弈的均衡结果均衡结果第八十七页，共一百二十一页。88第第1讲讲l重复剔除的占优均衡重复剔除的占优均衡(jn

43、hng)如果一方没有占优战略，如何？如果一方没有占优战略，如何？给定小猪理性，小猪的最优选择是等待。给定大猪理性，大给定小猪理性，小猪的最优选择是等待。给定大猪理性，大猪会正确预测到小猪的选择，给定这个预测，大猪的最优选猪会正确预测到小猪的选择，给定这个预测，大猪的最优选择只能是按，从而（按，等待）是唯一的均衡。结果是多劳择只能是按，从而（按，等待）是唯一的均衡。结果是多劳少得少得第八十八页，共一百二十一页。89智猪博弈智猪博弈(b y)3，10，07，-12，4按按按按等待等待等待等待小猪小猪大猪大猪第八十九页，共一百二十一页。90第九十页，共一百二十一页。91重复剔除占优均衡的问题重复剔除

44、占优均衡的问题(wnt)：均衡依赖于剔除顺序；：均衡依赖于剔除顺序；预测结果不精确预测结果不精确第九十一页，共一百二十一页。923. 纳什均衡（纳什均衡（NE）l纳什均衡纳什均衡(The Nash Equilibrium)指一组给定对手行为指一组给定对手行为(xngwi)前提下对各博弈方存在的最佳选择，这时只要其它前提下对各博弈方存在的最佳选择，这时只要其它参与者不变换策略选择，任何单个参与者不可能单方面参与者不变换策略选择，任何单个参与者不可能单方面通过变换策略来提高支付。通过变换策略来提高支付。l举例举例第九十二页，共一百二十一页。93纳什均衡：给定其他人的选择，每个参与者都可以纳什均衡：

45、给定其他人的选择，每个参与者都可以(ky)(ky)做出自己的一个最优选择做出自己的一个最优选择纳什均衡的存在性，纳什（纳什均衡的存在性，纳什（19501950）给出证明）给出证明可能不止一个纳什均衡可能不止一个纳什均衡有些博弈不存在纳什均衡有些博弈不存在纳什均衡纳什均衡是古诺均衡的一般化形式纳什均衡是古诺均衡的一般化形式第九十三页，共一百二十一页。94l在在n人参与的博弈人参与的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，中，如果如果s1*,si*,sn*满足对每一参与人满足对每一参与人i， si*是他针是他针对其他对其他n1个参与人所选战略个参与人所选战略(zhnl)s1*,si-1*, si+

46、1*,sn*的最优反应战略，则称的最优反应战略，则称s1*,sn*是该博是该博弈的一个纳什均衡弈的一个纳什均衡第九十四页，共一百二十一页。95l与占优战略均衡区别在于：纳什均衡下，与占优战略均衡区别在于：纳什均衡下，“我（你）所做的我（你）所做的是给定你（我）的选择我（你）所能做的最好的是给定你（我）的选择我（你）所能做的最好的”，占优战，占优战略均衡下，略均衡下， “我（你）所做的是不论你（我）的选择我我（你）所做的是不论你（我）的选择我（你）所能做的更好的（你）所能做的更好的” l在在n人参与的博弈人参与的博弈(b y)G S1，Sn ； u1，un 中，中，重复剔除后剩下的唯一战略组合是

47、纳什均衡；在重复剔除后剩下的唯一战略组合是纳什均衡；在n人参与人参与的博弈的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，如果中，如果s1*,sn*是纳什均衡，它一定不会被是纳什均衡，它一定不会被重复剔除掉重复剔除掉l占优战略均衡必然是纳什均衡，纳什均衡未必是占优战略均占优战略均衡必然是纳什均衡，纳什均衡未必是占优战略均衡衡第九十五页，共一百二十一页。96l博弈可能有几个纳什均衡。如左表所示，有两个纳什均衡：博弈可能有几个纳什均衡。如左表所示，有两个纳什均衡：其中其中“上，左上，左”是纳什均衡（是纳什均衡（A选上，则选上，则B选左；且选左；且B选左选左时时A仍应选上）；仍应选上）；“下，右下，右”也

48、是纳什均衡（也是纳什均衡（A选下，则选下，则B选右；且选右；且B选右时选右时A仍应选下）。没有更多信息则无法判仍应选下）。没有更多信息则无法判断均衡位置断均衡位置(wi zhi)l也可能没有纳什均衡。如右表所示。如也可能没有纳什均衡。如右表所示。如A选选“上上”，B则则选选“左左”；当；当B选选“左左”时，时，A却应当选却应当选“下下”。反之，。反之，A选选“下下”时，时，B应选应选“右右”；然而当；然而当B选右时，选右时，A又应选又应选“上上”第九十六页，共一百二十一页。97纳什均衡的复杂纳什均衡的复杂(fz)情况情况2，11，20，00，0左左上上右右下下局中人局中人B局中人局中人A0，0

49、1，31，00，1左左上上右右下下局中人局中人B局中人局中人A第九十七页，共一百二十一页。984. 混合战略均衡混合战略均衡(jnhng) l纯战略与混合战略纯战略与混合战略纯战略：参与人采取确定的行为战略纯战略：参与人采取确定的行为战略混合战略：参与人战略选择时随机化，如抛硬币混合战略：参与人战略选择时随机化，如抛硬币l对对G S1，Sn ； u1，un ，设，设si si1,，siK，那么，参与人的一个混合战略为一个概率分布，那么，参与人的一个混合战略为一个概率分布pi pi1,，piK，其中对所有的，其中对所有的k1，K，0 piK 1，且且pi1piK1第九十八页，共一百二十一页。99

50、l在在n人参与的博弈人参与的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，中，混合混合(hnh)战略组合战略组合pi* pi1*，piK*是一个纳什均衡，是一个纳什均衡，vi （ pi* ， pi-1* ) vi （ pi ， pi-1* )第九十九页，共一百二十一页。100l例例1 假定政府的混合战略假定政府的混合战略(zhnl)为为sG（，1）（）（即政府即政府以以的概率选择救济，（的概率选择救济，（1）的概率选择不救济）；流浪的概率选择不救济）；流浪汉的混合战略为汉的混合战略为sL（，1）（）（即流浪汉以即流浪汉以的概率选择的概率选择找工作，（找工作，（1）的概率选择流浪）的概率选择流浪）第一