10多因素方差分析.ppt

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1、10多因素方差分析多因素方差分析 进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着进行多因素方差分析从理论上说并无任何困难，但随着因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加，这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到；出几何级数的增加上因此三或三因素以上方差分析较少用到； 当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法。殊的方差分析

2、方法，例如正交实验设计方法。 多因素方差分析繁复多因素方差分析繁复 单因素方差分析相比，单因素方差分析相比，交互作用交互作用是多因素方差分析中是多因素方差分析中新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素新的概念之一。当一个因素的效应明显地依赖于其他因素的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用的体质不同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用同样的肥料，增产效果也有不同，等等。同样的肥料，增产效果也有不同，等等。 模型类型及交互作用概念模型类型及交互作用概念A1 A2 A3B1B

3、2B3A1 A2 A3B2B3B1 (a) 无交互效应无交互效应 (b) 有交互效应有交互效应 图中每条曲线代表图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。我们对交互作用的有无也可进行统计检验。 交互效应交互效应 多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型三类。这几类模型的计算公式

4、基本相同，但其数学模型，假三类。这几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。设，统计量，结果的解释等方面均有相当大的差异。 按因素类型进行分类按因素类型进行分类 多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为两类计算公式也有些差别，下面我们以两因素方差分析为例，介绍它们试验设计方面的不同点。例，介绍它们试验设计方面的不同点。 交叉分组：实验中，交叉分组：实验中，A因素的每个水平都会和因素的每个水平都会和B因素的因素的每个水平相遇，因此每个水平相遇，

5、因此A，B的地位是完全对称的。这是最常的地位是完全对称的。这是最常见的实验设计方法。见的实验设计方法。 按实验设计分类按实验设计分类先按先按A因素的因素的a个水平分为个水平分为a组，在每一组内再按组，在每一组内再按B的水平细的水平细分。一般分。一般A因素不同水平的组内因素不同水平的组内B因素的水平可取不同值。因素的水平可取不同值。例如研究例如研究PH值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最值对酶活性的影响，不同的酶可能有不同的最适适PH值，因此应对每种酶设置值，因此应对每种酶设置PH值偏高、合适、偏低三个值偏高、合适、偏低三个水平，而不同的酶水平，而不同的酶(因素因素A的不同水平的不同水平)

6、PH值值(因素因素B)的水平的水平可能是不相同的。可能是不相同的。 系统分组：系统分组： 1. 固定效应模型。首先考虑固定效应模型。首先考虑有重复的情况有重复的情况。线性统计模。线性统计模型为：型为：xijk= + i+ j+()ij+ ijk, i=1, 2, a, j=1, 2, b; k=1, 2, n其中：其中： ：总平均值；：总平均值； i：A因素因素i水平主效应；水平主效应； j：B因素因素j水平主效应；水平主效应；()ij：A因素因素i水平与水平与B因素因素j水平的交互效应；水平的交互效应； ijk：随机：随机误差。误差。 两因素交叉分组方差分析两因素交叉分组方差分析H01: i

7、 =0, i=1, 2, aH02:j=0, j=1, 2, bH03:()ijij=0, i=1, 2, a, j=1, 2, b=0, i=1, 2, a, j=1, 2, b备择假设为备择假设为:H HA A: : 上述各参数中至少有一个不为上述各参数中至少有一个不为0 0。( (这实际上是三个这实际上是三个备择假设。备择假设。) ) 零假设零假设方差分析的基本思想仍是总变差分解：方差分析的基本思想仍是总变差分解：即：即： SST = SSA + SSB + SSAB + SSe自由度：自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)总变差分解总变差分解均方数学

8、期望 aiiAAabnaSSEMSE1221)1()(bjjBBbanbSSEMSE1221)1()(aibjijABABbanbaSSEMSE1122)() 1)(1() 1)(1()(2) 1()(nabSSEMSEee 检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用分母全部采用MSe即可。即可。检验检验H01，H02，H03的统计量分别为：的统计量分别为： 检验检验H01，H02，H03的统计量的统计量,eAAMSMSF eBBMSMSF eABABMSMSF 从前述的各均方期望可知，只有当各从前述的各均方期望可知，只有当各H

9、0成立时，上述三成立时，上述三个分子才是个分子才是 2的无偏估计量，此时各统计量均服从的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若分布；若某个某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行分布上单尾分位数进行检验。检验。 各效应的估计值各效应的估计值 .xxaxii.xxjj.)(.xxxxjiijji其中其中i=1, 2 a, j=1, 2, b。计算公式aibjnkijkTabnxxSS1112.2aiiAabnxxbnSS12.2.1bjjBabnxx

10、anSS12.2.1aibjijSTabnxxnSS112.2.1STTeBASTABSSSSSSSSSSSSSS,计算排列如下表：计算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均的平均 .,jiijxxx计算步骤变差来源平方和自由度均方统计量F主效应A主效应B交互效应AB误差 总和 方差分析表方差分析表 把计算所得结果填入上表后，再根据各把计算所得结果填入上表后，再根据各F统计量的自由度统计量的自由度查出其查出其F0.95及及F0.99分位数，并将分位数，并将F计算值与相应分位数相比，计算值与相应分位数相比，大于大于F0.95则在统计量则

11、在统计量F右上角标一个右上角标一个“*”号；大于号；大于F0.99则再加则再加一个一个“*”号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著著 F测验 如果如果MSAB小于或约等于小于或约等于MSe，即，即FAB小于或约等于小于或约等于1，说明此时交互作用不存在说明此时交互作用不存在，在这种情况下也可把，在这种情况下也可把MSAB和和MSe合并在一起合并在一起(即把平方和和自由度都合并即把平方和和自由度都合并)作为作为2 2的估的估计量，这样可以

12、提高检验的精确度。具体计算公式如下计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下 ABeABeedfdfSSSSSM交互作用不存在交互作用不存在 然后可用作统计量然后可用作统计量FA和和FB的分母，对两个主效应进行统计的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。检验。注意查表时分母自由度要相应改变。 原料种类(A)温 度（B）3035401414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930选择最适发酵条件 本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这本题中显然温度是一个因

13、素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是的，因此都是固定因素。固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验在同样温度、原料下所做的几次实验应视为应视为重复重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的，它们之间的差异是由随机误差所造成的 固定因素固定因素.ix j i123 134.518.251823.58 24937.515.534 345.25462739.42 42.9233.9220.12 . jx各处理平均数 发酵实验方差分析表 变差来源平方和自由度均方F原料A温度BAB误差1554

14、.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67*25.68*3.30*总和7170.0035 查查F分布表，得：分布表，得：F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390,F0 . 9 5( 4 , 2 7 ) F0 . 9 5( 4 , 3 0 ) = 2 . 6 9 0 , F0.99(4,27)F0.99(4,30)=4.018,FFA A,F,FB B均达极显著，标上均达极显著，标上“* * * *”，F FABAB只达显著，标只达显著，标上上“*

15、*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。发酵温度。 F测验 在固定效应模型中，若各在固定效应模型中，若各F F统计量有达到显著或极显著统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。例如在例要的条件组合。例如在例4.34.3中，我们已经发现原料，温度中，我们已经发现原料，温度以及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进以及它们

16、的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比一步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较了较了 。各处理间进行多重比较各处理间进行多重比较 如果有交互作用存在，则一般需要把所有如果有交互作用存在，则一般需要把所有abab个水平组个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用常用DuncanDuncan法。法。 把各处理平均数从大到小排列把各处理平均数从大到小排列(记为记为x1x9)：49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 1

17、5.5，求出各对差值，求出各对差值，列成下表：列成下表： 多重比较多重比较 x9x8x7x6x5x4x3x2x1x2x3x4x5x6x7x833.5*30.5*29.75*22*19*11.52.752.531*28*27.25*19.5*16.5*90.2530.75*27.75*27*19.25*16.25*8.7522*19*18.25*10.57.514.5*11.510.75311.58.57.753.750.753求得：求得： ，df=27 9163. 34/35.61/nMSSex查查Duncan检验的检验的r值表，值表， df=27, k=29, Kr0.05R0.05r0.0

18、1R0.01234567892.913.053.143.213.273.303.343.3611.4011.9412.3012.5712.8112.9213.0813.163.924.104.204.294.354.404.454.4915.3516.0616.4516.8017.0417.2317.4317.58Duncan检验的检验的r值值分析：从这一差值表中可见，分析：从这一差值表中可见，x1至至x5，除，除x1至至x5外相互间都外相互间都没有显著差异。但没有显著差异。但x4，x5与其他与其他3个值差异相对大一些。个值差异相对大一些。x6至至x9差异均不显著。而差异均不显著。而x1，x2

19、，x3与与x6 x9差异均达极显著。差异均达极显著。另外，另外，x1，x2，x3以及以及x7，x8，x9之间的差异都很小。之间的差异都很小。由于由于现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要关心关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2，x3视为无差异视为无差异 x1，x2，x3视为无差异视为无差异 当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法把把SSAB与与SSe分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。 对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。平，不能任意推广到其他水平上去。 几点注意事项：几点注意事项：