106差分方程的基本概念.ppt

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1、106差分方程的基本概差分方程的基本概念念其实质就是一个量在一个单位内的变化情况其实质就是一个量在一个单位内的变化情况tt+tf(t)f(t+t)注意：差商中注意：差商中t只能取整数倍只能取整数倍特别：差商特别：差商ytyt 1差分差分定义：定义：设设y= f (t),记为记为 ，其中，其中t（通常表示时间）（通常表示时间）的取值为等间隔的整数值的取值为等间隔的整数值 ，则则 称为函数称为函数 在在t处的差分，记为处的差分，记为 即即tttttyyyyy 1,3,2,1 ,0,1,2,3tttyyy 1例例1：求下列函数的差分求下列函数的差分ttttaytycy )3)2)13解解:(1) t

2、ttyyy10 cc tttyyy1)2(133)1(233 tttt tttyyy1)3()1(1 aaaattt结论结论（1）常量的差分为零。）常量的差分为零。 （2）幂函数的差分次幂降低一次。）幂函数的差分次幂降低一次。 （3）指数函数的差分为原指数函数的若干倍）指数函数的差分为原指数函数的若干倍例例1：求下列函数的差分求下列函数的差分ttttaytycy )3)2)13练习：求练习：求 的差分的差分ttyte (1)ttye t ee 差分的简单性质差分的简单性质ttycyc )()1ttttzyzy )()2P407 性质性质3、4-差分的乘除运算差分的乘除运算高阶差分高阶差分差分差

3、分 在在 t 处的差分，称为处的差分，称为 在在 t 处的二阶处的二阶差分，记为差分，记为ty tyty2 即即?)()(12 ttttyyyy同学们想一想下面怎么计算？同学们想一想下面怎么计算？类似地有：三阶差分：类似地有：三阶差分： 四阶差分：四阶差分：)(23ttyy )(34ttyy 二、差分方程二、差分方程定义：含有自变量定义：含有自变量 t 以及未知函数不同时期值的以及未知函数不同时期值的函数方程称为差分方程，其一般形式为函数方程称为差分方程，其一般形式为0),(1 ntttyyytF其中未知函数下标的最大差，称为差分方程的其中未知函数下标的最大差，称为差分方程的“阶阶”如：如：0

4、6312 tttyyy06312 xyyxx二阶二阶一阶一阶重要说明：重要说明：1）差分方程的另一个定义）差分方程的另一个定义定义定义：含有自变量：含有自变量 t 以及未知函数各阶差分以及未知函数各阶差分 的方程称为差分方程，其一般形式为的方程称为差分方程，其一般形式为,2ttyy 0),(2 tnttyyytF2）两种）两种“阶数阶数”定义不等价！定义不等价！其中未知函数差分的最高阶数，称为其中未知函数差分的最高阶数，称为该差分方程的该差分方程的“阶阶”如：如：02 ttyy二阶二阶)()2(1122tttttttyyyyyyy 但是但是012 ttyy一阶一阶约定：阶数以定义为准！约定：阶

5、数以定义为准！考试中常出现两类题：考试中常出现两类题：1）给一个函数求其差分；）给一个函数求其差分；2）给一个差分方程）给一个差分方程(往往是定义往往是定义的题型的题型)确定其确定其阶阶切记切记!求差分方程的阶时方程一定要转化为下标形式求差分方程的阶时方程一定要转化为下标形式例如：差分方程例如：差分方程 的阶数为的阶数为_tyytt33 2阶数为阶数为2，而不是，而不是3！三、差分方程的解三、差分方程的解1、定义：若将已知函数代入差分方程后，可使该、定义：若将已知函数代入差分方程后，可使该方程恒成立，则称此函数为该差分方程的解。方程恒成立，则称此函数为该差分方程的解。2、通解与特解、通解与特解

6、通解含有任意常数，且独立的任意常数通解含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于方程阶数的解的个数等于方程阶数的解特解不含有任意常数的解特解不含有任意常数的解通常可根据定解条件，确定通解中任意常数的通常可根据定解条件，确定通解中任意常数的值而得到特解。值而得到特解。3。差分方程解的重要性质。差分方程解的重要性质差分方程中自变量差分方程中自变量 t 超前或滞后相同的时间间隔，超前或滞后相同的时间间隔，而方程结构不变，则新方程与原方程同解。而方程结构不变，则新方程与原方程同解。如：如： 是是 的解的解 同时也是同时也是 的解。的解。0303)(231 ttttyyyyty 也称时滞性也称时滞性规定：

7、方程中最小下标为规定：方程中最小下标为 t例例2将下列方程标准化将下列方程标准化02321 tttyyy02312 tttyyy213tyytt 21)1(3 tyytt注意！注意！标准化就是变量替换思想！标准化就是变量替换思想！称为齐次的称为齐次的四、线性差分方程四、线性差分方程1、概念：、概念：其标准形式其标准形式)()()(11tfytaytaytnntnt 0)()(11 tnntntytaytay称为称为n阶线性差分方程阶线性差分方程称为非齐次的称为非齐次的例如例如 为二阶非齐次差分方程为二阶非齐次差分方程tytyytttsin5212 为一阶齐次差分方程为一阶齐次差分方程021 ttyy2、基本定理、基本定理 P410 定理定理1；定理；定理2；定理；定理3；更简单：常系数线性差分方程亦有这些基本定理更简单：常系数线性差分方程亦有这些基本定理特别强调定理特别强调定理3：非齐次通解非齐次通解 齐次通解齐次通解 非齐次特解非齐次特解tyty*ty作业：作业：P411，1，5