高中数学三角函数常见习题类型及解法 .docx

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1、精品名师归纳总结高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相比照较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要留意三角学问的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要留意三角学问的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角学问的应用意识。一、学问整合1. 娴熟把握三角变换的全部公式，懂得每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等。 熟识三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等。并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明。把握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解

2、决一些实际问题2. 娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它讨论复合函数的性质。娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的外形、特点，并会用五点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结画出函数yA sinx 的图象。懂得图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结讨论函数图象的变化 二、高考考点分析2004 年各的高考中本部分所占分值在1722 分，主要以挑选题和解答题的形式显现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简洁运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如

3、判定符号、求值、求周期、判定奇偶性等。其次层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如帮助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。三、方法技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 三角函数恒等变形的基本策略。2 1常值代换：特殊是用“1”的代换，如1=cos22+sin22222 =tanx cotx=tan45 等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=sinx+cos

4、x+cosx=1+cosx。配凑可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角： = +， =等。22 3降次与升次。 4化弦切法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4引入帮助角。 asin +bcos =a 2b2sin + ，这里帮助角所在象限由 a、b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的符号确定，角的值由 tan= b 确定。a2. 证明三角等式的思路和方法。 1思路：利用三角公式进行化名，化角，转变运算结构，使等式两边化为同一形式。 2证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 证

5、明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。 1发觉差异：观看角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 2查找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 3合理转化：挑选恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知tan2 ，求1 coscossin sin。2sin 2sin.cos2 cos 2的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2求函数 y1sin xcosxsin xcosx2 的值域。可

6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知函数f x4sin 2 x2sin 2x2，xR。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1求f x 的最小正周期、f x 的最大值及此时x 的集合。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2证明：函数 f x 的图像关于直线 x对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知函数 y= 1 cos 2x+283 sinx cosx+1x R,2可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 2该函数的图像可由y=sinxx R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5已知函数f xsinx cos x3 cos 2 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333将 fx 写成 Asinx 的形式，并求其图象对称中心的横坐标。2假如 ABC的三边 a、b、c 满意 b =ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范畴及此时函数 fx 的值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6在ABC 中， a、b、c 分别是角

8、 A、B、C 的对边，且 cosC3ac，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Bb(1) 求 sin B 的值。(2) 假设 b42 ，且 a=c ，求ABC 的面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7已知向量 a2cos ，2sin ，b= sin ，cos，xa t23b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ykab ，且 xy0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求函数kf t 的表达式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 假设 t1，3 ，求f

9、 t 的最大值与最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8已知向量 a25cos，sin ，b=cos ，sin ，| ab |，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1求 cos 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 假设 0 0，且sin 5，求 sin 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，2213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9平面直角坐标系有点P1,cos x, Qcos x,1, x,44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 求向量 OP 和 OQ 的夹角的余弦用 x

10、表示的函数（ 2） 求的最值 .f x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：1cos cossin sin1sin cos1sin cos1tan121tan12322 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22sinsincos22 cossin2sin2sincos2cos2 cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2cos2sin2 cos2sin2 cos122242.213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：利用齐次式的结构特点假如不具备，通过构造的方法得到，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 tsin xcos x2 sin x 2， 2，就原函数可化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ytt1t1 23，由于 t42， 2 ，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2413可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t2 时，ymax32 ，当 t时，2ymin，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，函数的值域为y 3 ，32 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x4sin 2 x2sin 2x22sin x212si

12、n 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 2 x2cos 2x22 sin2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 所以4f x 的最小正周期 T，由于 xR，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，当 2 x 2k ，即42xk 3 8f x 最大值为 2 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，(2) 证 明： 欲证 明函数f x的 图 像 关 于直 线 x对 称 ，只要 证 明 对任 意 xR ， 有8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x

13、成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结88可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 f x22 sin2 x22 sin 2 x22 cos 2 x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8842f x22 sin2 x 22 sin 2 x22 cos 2 x ，8842可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf x 成立，从而函数f x 的图像关于直线 x对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结888可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：1y= 1 cos 2x+23 sinx cosx+1=21 2c

14、os 2x 1+41 +3 2sinx cosx +144可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 1 cos2x+3 sin2x+5 = 1 cos2x sin+sin2x cos+ 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4= 1 sin2x+2442664+ 564可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 y 取最大值时，只需2x+=+2k , k Z，即 x=+k , k Z。626所以当函数 y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=+k ,k Z6 2将函数 y=sinx依次进行如下变换： i 把函数 y=sinx的图像向左平移，得到函数 y=si

15、nx+ 的图像。66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的的图像。 iii把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的1 倍纵坐标不变 ，得到函数 y=sin2x+261 倍横坐标不变，得到函数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y= 1 sin2x+2 的图像。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iv 把得到的图像向上平移5 个单位长度，得到函数y=41 sin2x+2+ 5 的图像。64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上得到 y=1 cos2x+23 sinxcosx+1的图像。2可编辑资料 - -

16、 - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：此题是 2000 年全国高考试题，属中档偏简洁题，主要考查三角函数的图像和性质。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式， 降幂后最终化成 y=a2b2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。此题1仍可以解法如下：当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosx=0 时， y=1 。当 cosx 0 时， y=1 cos2 x23 sin2x cos x1+1= 23 tan x2+1可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品名师归纳总结sin 2 x2cos2 x1tan 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简得： 2y 1tanx 3 tanx+2y 3=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tanx R， =3 8y 12y 3 0, 解之得：73 y 744可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ymax=4，此时对应自变量x 的值集为 x|x=k +6,k Z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x1 sin 2x3 1cos 2 x 1 sin 2x3 cos 2x3sin 2x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由23

18、sin 2 x323 =0 即 2x33323k k2z得x323k12332kz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即对称中心的横坐标为2由已知 b =ac3k1 ， kz 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos x 12a2cos xc 2b2a 22ac1，0xc2ac 2ac，32acac1 ， 2ac22 x53339可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5| | ，3292sin32 xsin31，32 x33sin1，332可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f x 的值域为 3 ,13 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品名师归纳总结综上所述， x0,，3f x值域为 3,13 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等学问，仍需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培育同学的运算才能，对学问进行整合的才能。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1由正弦定理及cos C3accos C，有3sin Asin C，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Bbcos Bsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sinB cos C3sinA cos Bsin C cos B ，所以 sin

20、 BC3sinAcos B ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ABC， sin BCsinA ，所以 sin A3sinAcos B ，由于 sin A0 ，所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 cos B1 ，又 0B，所以3sin B1cos2 B22 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 在 ABC 中，由余弦定理可得a 2c22 ac332 ，又 ac ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有 422ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a32，即 a324 ，所以的面积为可编辑资料 - - -

21、欢迎下载精品名师归纳总结112Sac sin Ba sin B82 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22解： 1 a 24 ， b 21， a b0 ，又 xy0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x y at23b kabka2t 23b 2tkt 23a b0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 k1 t 33 t ，即kf t 1 t 33 t 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结442 由 1可得，令f t 导数443 t230 ，解得 t1 ，列表如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t 1 1， 111， 3f t 导数00+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f t极大值递减微小值递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11991可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 f 1， f 1， f 3，所以f t max， f t min。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222解： 1由于 acos，sin ，b= cos，sin ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 abcos cos ，sin sin ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

23、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于| ab |25，所以5cos cos 2sin sin 225 ，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 22cos 43，cos 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结55 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20， 0，0 22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于cos 3，所以5sin 4 ，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 5，所以13cos 12，所以13sin sin 6365可编辑资料 - - - 欢

24、迎下载精品名师归纳总结解：1OP OQOPOQcos，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos xcos x1cos2 x cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2 cos x1 cos2 x即f x2 cos x1cos2 xx 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2coscosx21，又cosxcos x1cos x 2, 32 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 22 ,13，min0 ，maxarccos 22 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻留意。可编辑资料 - - - 欢迎下载