最新复件曲线积分和曲面积分复习资料精品课件.ppt

《最新复件曲线积分和曲面积分复习资料精品课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新复件曲线积分和曲面积分复习资料精品课件.ppt（97页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、复件曲线积分和曲面积分复习复件曲线积分和曲面积分复习资料资料一、对弧长的曲线积分的概念. )( d)()()(),(d),( , d),( 0,)()( , )()( , )( ,)()( , ),(2222 tttttfsyxfsyxfttttttytxLLyxfLL且且存在存在分分则曲线积则曲线积且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在、其中其中方程为方程为的参数的参数上有定义且连续上有定义且连续在在设函数设函数三、对弧长的曲线积分的计算定理定理注：注：. 0,. iits从而要求从而要求总是大于零总是大于零长度长度因为小弧段的因为小弧段的一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分

2、的下限 被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的参数方程代入被积函数中参数方程代入被积函数中两种特殊情形两种特殊情形.),(:. 1bxaxyyL .),(,:bxaxyyxxL ).( d)(1)(,d),(2baxxyxyxfsyxfbaL .),(:. 2dycyxxL .,),(:dycyyyxxL ).( d1)(),(d),(2dcyyxyyxfsyxfdcL 推广推广则则有有上上连连续续在在函函数数给给出出由由参参数数方方程程弧弧如如果果空空间间光光滑滑曲曲线线,),(,)()(),(),( zyxfttzztyytxx

3、 )( d)()()()(),(),(d),(222 ttztytxtztytxfszyxf3.:( ),.L rr :cos ,sin ,.L xryr 22( , )d cos , sin ( ) ( )d ().Lf x ysf rrrr .)1 , 1()0 , 0(,d2之间的那一段弧之间的那一段弧点点与与介于点介于点是抛物线是抛物线计算计算xyLsyL , 10,:2 xxyL积积分分曲曲线线 1022d)2(1dxxxsyL 102d41xxx.12155 例例1解解例例2 2.2:,d2222yyxLsyxL 其中其中求求解解 : 的的极极坐坐标标方方程程为为L,2sin )0

4、( Lsyxd22 0d2)sin2( d)()(d22 s d)sin2()cos2(22 ,d2 . 8 例例3 3. 134:,d)243(2222 yxLsxyyxL其其中中求求解解, 134: 22 yxL因为因为,1243 22 yx所以所以 Lsxyyxd)243(22 Lsxy d)212( LLsxysd2d12( (根据积分曲线关于根据积分曲线关于坐标轴的对称性和坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性) )0 ) (.12是椭圆的周长是椭圆的周长aa 对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积

5、分的概念二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念引例引例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功xOyABL.,),(),(),(,所作的功所作的功力力变变计算在上述移动过程中计算在上述移动过程中的作用的作用质点受到力质点受到力中中在移动过程在移动过程移动到点移动到点面曲线弧面曲线弧沿光滑的平沿光滑的平设一个质点从点设一个质点从点FjyxQiyxPyxFBLA .d),(d),( LyyxQxyxP二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质

6、性质性质1 1 ,则则为为常常数数、设设 .d),(d),(d),(),(2121 LLLryxFryxFryxFyxF 性质性质2 2则则和和有向曲线弧有向曲线弧可分成两段光滑的可分成两段光滑的如果有向曲线弧如果有向曲线弧, 21LLL.d),(d),(d),(21 LLLryxFryxFryxF则则曲线弧曲线弧方向相反的有向方向相反的有向是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设, , LLL 性质性质3 3.d),(d),(- LLryxFryxF即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. .三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算,d),(d),(,

7、0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LyyxQxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理ttttQtttPyyxQxyxPLd)()(),()()(),(d),(d),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .d)()(,)(,ddxxyxy

8、xQxyxPyQxPbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 则则., :的的终终点点上上限限对对应应的的起起点点定定积积分分的的下下限限始始终终对对应应注注意意LL.,)()()(: )3( 终终点点起起点点空空间间光光滑滑曲曲线线ttztytx tttttRttttQttttPzRyQxPd)()(),(),()()(),(),()()(),(),(ddd .)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按

9、按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLxyL AB.0: ,sin,cos:)1( ayaxL d )sin(sin022 aaI.34dsin3033aa 例例1解解.:, 0,:)2(aaxyxxL LxyId2. 0d0 aax注意被积函数相同注意被积函数相同, ,起起点和终点也相同点和终点也相同, ,但是由但是由于积分路径不同于积分路径不同, ,导致积导致积分结果不同分结果不同. .AB.,)0 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(.,2),(22处处处再沿直线行进到处再沿直线行进到然后从然后从处处处沿直线行进到处沿直线行进到质点从质点从处

10、处行进到行进到处沿抛物线处沿抛物线质点从质点从的功的功求下述情形下场力所作求下述情形下场力所作在场力作用下运动在场力作用下运动一质点一质点设有一平面力场设有一平面力场BAAOBxyOjxxyiyxF OAB. 10:,:)1(2 xxyL LyxxxyWdd22 1022d)22(xxxxx. 1d4103 xx例例2解解. 10:, 1: , 10:, 0: ,)2( yxABxyOAABOAL ABOAyxxxyyxxxyWdd2dd222. 1d010 y注意注意被积函数相同被积函数相同, ,起点和起点和终点也相同终点也相同, ,虽然积分路径不虽然积分路径不同同, ,但是积分结果相同但是

11、积分结果相同. .OAB 102102d)1012(d)002(yyxxx例例3 3.)0 , 0 , 0()1 , 2 , 3(,dd3d223ABBAzyxyzyxx的直线段的直线段到点到点点点是从是从其中其中计算计算 解解直线段直线段AB的方程是的方程是;123zyx 化为参数方程得化为参数方程得,2,3tztytx 所以所以zyxyzyxxdd3d223 ttttttd2)3(2)2(33)3(01222 tt d87013 . 01变到变到从从t.487 四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处

12、的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLsQPyQxPd)coscos(dd 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 格林公式及其应用格林公式及其应用 一、格林公式一、格林公式二、格林公式的简单应用二、格林公式的简单应用三、平面曲线积分与路径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件D单连通区域单连通区域1.1.单单( (复复) )连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界.,称称为为复复连连通通区区域域不不是是单单连连通通的的平平面面区区域域域域是是平平面面单单连连通通区区则则称称所所围围的的有有界界区区域域都都属属于于内内任任意意一一条条

13、闭闭曲曲线线如如果果为为一一平平面面区区域域设设DDDD复连通区域复连通区域D单连通区域就是单连通区域就是没有没有“洞洞”的区域的区域. .一、格林公式:,的的正正向向如如下下的的边边界界曲曲线线规规定定平平面面上上的的闭闭区区域域是是设设DxOyD.,),(终终位位于于他他的的左左侧侧始始邻邻近近处处的的前前行行进进时时并并沿沿边边界界的的这这一一方方向向朝朝侧侧轴轴正正向向所所指指的的一一位位于于平平面面上上当当人人站站立立于于DzxOy.的正向边界曲线的正向边界曲线为为带有正向的边界曲线称带有正向的边界曲线称DDxyOz112241),(:223 yxyxD .1),(4),( 2222

14、共同组成共同组成与顺时针走向的圆周与顺时针走向的圆周的圆周的圆周正向边界为逆时针走向正向边界为逆时针走向 yxyxyxyx2.2.格林公式格林公式. ,dddd ,),(),( ,1的正向边界曲线的正向边界曲线是是其中其中则有则有上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在函数函数所围成所围成由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线设闭区域设闭区域定理定理DLyQxPyxyPxQDyxQyxPLDLD 上述公式称为格林公式上述公式称为格林公式, ,是英国数学家、物理是英国数学家、物理学家格林在学家格林在18251825年发现的年发现的, ,是微积分基本公式在二是微积分基本公式在二重积分情形下的推广重积

15、分情形下的推广. .1.1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之间的关系第二类曲线积分之间的关系. .2.2.给出了计算二重积分的新方法给出了计算二重积分的新方法. .3.3.给出了计算第二类曲线积分的新方法给出了计算第二类曲线积分的新方法. .格林公式便于记忆的形式格林公式便于记忆的形式.d),(d),(dd LDyyxQxyxPyxQPyx : dddd 的重要意义的重要意义公式公式 LDyQxPyxyPxQ(1)(1)简化曲线积分简化曲线积分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向边界正向边界为顶点的三角形区

16、域的为顶点的三角形区域的是以是以其中其中计算计算LyxyxxL xyO11D由格林公式由格林公式所围区域为所围区域为记记,DL DLyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 Dyxydd.61dd1010 xyyx二、格林公式的简单应用例例1解解xyOABr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圆周在第一象限从的圆周在第一象限从是半径为是半径为计算计算rBrArLyxL ., BOOA添加定向直线段添加定向直线段.LOABO 定向闭曲线定向闭曲线,),(, 0),(xyxQyxP . 0, 1 yPxQ DyxyPxQyxdd)(d Dyxdd.42r 例例2解解 BOyxd OAy

17、xd .4dd 2ryxyxL 所所以以, 0d00 rxx, 0d00 ryxyOABrOABxy(2)(2)简化二重积分简化二重积分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域以以计算计算BAODyxDy 则则令令,e, 02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxyxdedde22 OAyyxde2. 10:.: xxyOA).e1(211 10de2xxx例例3解解.2dd2dd的的面面积积DDLSyxyxxy (3)(3)计算平面区域的面积计算平面区域的面积.d),(d),(d)( LDyyxQxyxPyPxQ 则则令

18、令,xQyP 则则令令, 0 xQP .ddd的的面面积积DDLSyxyx 则则令令, 0, QyP.ddd的面积的面积DDLSyxxy .dd21dd LLLDyxxyxyyxS的面积的面积例例4 4所围成图形的面所围成图形的面求椭圆求椭圆 sin,cosbyax .A积积解解 LxyyxAdd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab Oxy(4)(4)计算曲线方程未知的曲线积分计算曲线方程未知的曲线积分.,dd22方向为逆时针方向方向为逆时针方向闭曲线闭曲线滑且不经过原点的连续滑且不经过原点的连续分段光分段光为一条无重点为一条无重点其中其中计算计算Lyxxyy

19、xL .),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)0 , 0(),(时时当当 yx,)(22222yxxyyPxQ . 0 yPxQ即即.,上上不不一一定定连连续续在在所所围围成成的的闭闭区区域域为为记记DyPxQDL 例例5 5解解xyOLDxyOLD.,)0 , 0()1(上上连连续续在在时时当当DyPxQD DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不连续上不连续在在时时当当DyPxQD .,:,1222DCLLDCryxCrrrr围围成成的的复复连连通通区区域域为为共共同同与与记记不不相相交交内内且且与与位位于于使使得得为为半半径径作作圆圆

20、周周以以原原点点为为圆圆心心 rC).(),(),(1)1(DCyxQyxP xyOL1DrC.,1格格林林公公式式上上应应用用在在取取逆逆时时针针方方向向DCr 1dd)(0DyxyPxQ rCLyQxPyQxPdddd rrCCLyQxPyQxPyQxPdddddd所以所以)(2dd122所围图形的面积所围图形的面积rCCrxyyxrr .2222 rr( (积分值与积分路径无关积分值与积分路径无关) )三、平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件.,00线线的光滑或分段光滑的曲的光滑或分段光滑的曲到到内从内从是是内任意两点内任意两点为为为一平面开区域为一平面开区域设设MM

21、GLGMMGG0MMLL.,d),(d),(0内内与与路路径径有有关关该该曲曲线线积积分分在在否否则则便便说说内内与与路路径径无无关关则则称称该该曲曲线线积积分分在在关关而而与与积积分分的的路路径径无无有有关关的的两两个个端端点点只只与与如如果果曲曲线线积积分分GGMMLyyxQxyxPL . ) ( dd , ),(),( , 2内恒成立内恒成立在在的充分必要条件是的充分必要条件是曲线的曲线积分为零曲线的曲线积分为零内任意闭内任意闭或沿或沿内与路径无关内与路径无关在在则曲线积分则曲线积分内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数在在函数函数是一个单连通域是一个单连通域设区域设区域定理定理GxQ

22、yPGGyQxPGyxQyxPGL .)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,选选取取特特殊殊路路径径简简化化积积分分曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关.)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的的有有向向折折线线段段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(2222的一段有向弧的一段有向弧到到上从上从是是其中其中计算积分计算积分yyxLyyxxyxyL 例例1 1解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L )0, 1()0,0(22d)(d)21(yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210

23、d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L关于曲线积分的几个等价命题关于曲线积分的几个等价命题定理定理设开区域设开区域D是一个单连通域是一个单连通域, , 函数函数),(yxP在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, ,),(yxQ则下列命题则下列命题 LQdyPdx(1)曲线积分曲线积分在在D内与路径无关内与路径无关;等价等价:(2)(3)为某二元函数为某二元函数( , )u x y的全微分的全微分;PdxQdy 在在D内恒成立内恒成立;QPyx (4)对对D内任意闭曲线内任意闭

24、曲线,L0.LPdxQdy 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积根据上述定理根据上述定理, ,若若( , ),( , )P x y Q x y在在D内满足定内满足定理的条件理的条件, , 则则00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x y dxQ x y dy (1)满足满足( , )( , )( , ).du x yP x y dxQ x y dy 称称( , )u x y为表达式为表达式( , )( , )P x y dxQ x y dy 的的原函原函数数. .此时此时, ,因因(1)式右端的曲线积分与路径无关式右端的曲线积分与路径无关,于是于是, ,

25、00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000( ,)( , )xyxyP x y dxQ x y dy 选取折线段路径：选取折线段路径：即得即得000(,)( ,)( , )xyx yx y00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000(, )( , )yxyxQ xy dyP x y dx 或选取折线段路径：或选取折线段路径：即得即得000(,)(, )( , )xyxyx y其中其中00(,)xy是区域是区域D内的任意一点，常取内的任意一点，常取(0,0)另曲线积分另曲线积分LPdxQdy在在D内与路径无关内与路径无关，且，且( , )(

26、, )( , )du x yP x y dxQ x y dy ，则00( , )(,)00( , )(,)x yxyPdxQdyu x yu xy 例例1验证验证dyyyxdxxyx)23()23(2232 是全微分，是全微分，并求其一个原函数并求其一个原函数 .证证这里这里,23,232232yyxQxyxP ,62xyxQyP 所以原式是全微分，所以原式是全微分，)0 , 0(为起点，得为起点，得取取dyyyxdxxyxyxuyx ),()0,0(2232)23()23(),(dyyyxdxxxy 00222)23(32323yyxx 为其一个原函数为其一个原函数 .例例2计算计算,)8,

27、6()0, 1(22 yxydyxdx积分沿不通过坐标原积分沿不通过坐标原点的路径点的路径. .解解显然显然, , 当当)0 , 0(),( yx时时, ,22yxydyxdx 于是于是 )8,6()0, 1(22yxydyxdx)8,6()0, 1(22yx 9. )8,6()0, 1(22yxd,22yxd 对面积的曲面积分的概念、对面积的曲面积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对面积的曲面积分的概念一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算三、对面积的曲面积分的计算 一、对面积的曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑即曲面所谓

28、曲面光滑即曲面上各点处都有切平面上各点处都有切平面, ,且且当点在曲面上连续移动时当点在曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. . . , ),( , 求其质量求其质量函数函数它的面密度为连续它的面密度为连续是光滑的是光滑的若曲面若曲面zyx iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),( 即即积分曲面积分曲面dS 面积元素面积元素积分和式积分和式被积函数被积函数 以上积分也称为第一类曲面积分或对面积以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分的曲面积分. .d),(, ),(一定存在一定存在曲面积分曲面积分第一类第一类上连续时上连续时在光滑曲面在光滑曲面当当 Sz

29、yxfzyxf 曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些物理量物理量. ,),( 上连续上连续在在设曲面面密度设曲面面密度 zyx ;d),( SzyxM 曲曲面面质质量量,d),(1 SzyxxMx 曲曲面面重重心心坐坐标标,d),(1 SzyxyMy .d),(1 SzyxzMz 二、对面积的曲面积分的性质 .d),( d),( , SzyxfSzyxf可可写写成成为为闭闭曲曲面面时时当当 . d , 1),( 的的面面积积是是曲曲面面时时当当 Szyxf则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 .d),(d),(d),(21 Sz

30、yxfSzyxfSzyxf三、对面积的曲面积分的计算;dd),(),(1),(,22yxyxzyxzyxzyxfxyDyx Szyxfd),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：, 面面上上的的投投影影在在为为xoyDxy ;dd),(),(1),(,22zxzxyzxyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(则则.dd),(),(1,),(22zyzyxzyxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(),(. 3zyxx ：若若曲曲面面则则2.:( , ),yy x z若若曲曲面面解解.255,d)(22所所截截得得的的部

31、部分分被被柱柱面面为为平平面面其其中中计计算算 yxzySzyx,5:yz 积分曲面积分曲面,25:22 yxxOy面上的投影区域面上的投影区域在在yxzzSyxdd1d22 yxdd)1(012 ,dd2yx 例例1 Szyxd)(故故 xyDyxyyxdd)5(2 xyDyxxdd)5(2 d)cos5(25020 d.2125 对坐标的曲面积分的概念、对坐标的曲面积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲面积分的概念一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面

32、积分之间的联系为研究问题的需要为研究问题的需要, ,在双侧曲面上选定某一侧在双侧曲面上选定某一侧. .选定了侧的双侧曲面称为选定了侧的双侧曲面称为定向曲面定向曲面. ., 相反侧的曲面记为相反侧的曲面记为则选定其则选定其的定向曲面的定向曲面表示一张选定了某个侧表示一张选定了某个侧用用 曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. . ,)( xySxoyS 面面上上的的投投影影为为在在.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表表示示投投影影区区域域的的面面积积其其中中xy ,

33、 S 上取一小块曲面上取一小块曲面在有向曲面在有向曲面.dddddddddddddddddd , . 1212121 yxRxzQzyPyxRxzQzyPyxRxzQzyP则则可可表表示示成成如如果果.dd),(dd),(dd),(dd),(dd),(dd),(. 2 yxzyxRyxzyxRxzzyxQxzzyxQzyzyxPzyzyxP二、对坐标的曲面积分的性质oxyz z三、对坐标的曲面积分的计算, ),( )1(所给曲面的上侧所给曲面的上侧是由方程是由方程设积分曲面设积分曲面yxzz yxD),(kkk yxk)( , xyDxOy面面上上的的投投影影为为在在 , ),( , ),(上

34、连续上连续在在一阶连续偏导数一阶连续偏导数上具有上具有在在 zyxRDyxzzxy注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. . .dd),(,dd),(,dd),(取下侧取下侧取上侧取上侧xyxyDDyxyxzyxRyxyxzyxRyxzyxR yzDzyzyzyxPzyzyxPdd,),(dd),( 则有则有Oxyz .dd,),(,dd,),(取取后后侧侧取取前前侧侧yzyzDDzyzyzyxPzyzyzyxP,),()2(给给出出由由如如果果zyxx ,),()3(给给出出由由如如果果xzyy zxDxzzxzyxQxzzyxQdd)

35、,(,dd),( 则有则有xyzO .dd),(,dd),(,取左侧取左侧取右侧取右侧zxzxDDxzzxzyxQxzzxzyxQ.0, 01,dd222的的部部分分的的外外侧侧并并满满足足是是球球面面其其中中计计算算 yxzyxyxxyz.分分成成上上下下两两块块将将 .,1:221上上侧侧上上块块yxz .,1:222下下侧侧下下块块yxz . 0, 0, 1:22 yxyxDxy投影区域均为投影区域均为xyz2 1 21ddddddyxxyzyxxyzyxxyz例例1解解 12ddddddyxxyzyxxyzyxxyz xyxyDDyxyxxyyxyxxydd)1(dd12222 xyD

36、yxyxxydd1222.152dd1cossin222 xyDrrrr 说明说明: :如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的, ,必须分片计算积分必须分片计算积分, ,然后把结果相加然后把结果相加. .解解:分成以下六部分分成以下六部分把有向曲面把有向曲面 ;)0 ,0(:1的的上上侧侧byaxcz ;)0 ,0(0:2的下侧的下侧byaxz ;)0 ,0(:3的的前前侧侧czbyax ;)0 ,0(0:4的的后后侧侧czbyx ;)0 ,0(:5的的右右侧侧czaxby 例例2222d dd dd d ,( , , )|0, 0, 0.xy zyz x

37、zx yx y zxaybzc 求求曲曲面面分分其其中中 是是方方体体 的的整整表表面面的的外外积积长长个个侧侧;)0 ,0(0:6的的左左侧侧czaxy ,43面面上上的的投投影影为为零零其其余余四四片片曲曲面面在在外外除除yOz zyxdd2类似地可得类似地可得,dd22acbxzy 因此因此zyxdd32 4.dd2zyxzyzyaxyxyDDdd0dd22 .2bca .dd22abcyxz 于是所求曲面积分为于是所求曲面积分为.)(abccba oxyz, ),( )1(确定确定是由方程是由方程设积分曲面设积分曲面yxzz yxD , xyDxOy面面上上的的投投影影为为在在 , )

38、,( , ),(上连续上连续在在一阶连续偏导数一阶连续偏导数上具有上具有在在 zyxRDyxzzxy四、两类曲面积分之间的联系 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,dd),(则则oxyzyxD 的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为曲面曲面 n.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz SRQPyxRxzQzyPd)coscoscos(dddddd 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系合一投影法合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分二重积分. .那那么么上上连连续续在在函函数数的的方方

39、程程为为如如果果,),(),(),(,),(),( yxRyxQyxPDyxyxzzxy yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( xyDxyxzyxzyxP),(),(, , , ( , )( , ) , , ( , )d dyQ x y z x yzx yR x y z x yx y.,取取下下侧侧时时为为负负取取上上侧侧时时为为正正积积分分前前的的符符号号当当 ).(,),(),(:)2( CRQPDxzxzyyzx zxDxxzyzxzyxP),(),(, , ( , ), , ( , ), ( , )d dzQ x y z x zR x y z x zy z

40、 xz x yxRxzQzyPdddddd.,取取左左侧侧时时为为负负取取右右侧侧时时为为正正积积分分前前的的符符号号当当 ).(,),(),(:)3( CRQPDzyzyxxyz yzDyzyxzyzyxQzyzyxP),(,),(,),( ( , ), , ( , )zR x y zy zxy zdydz .,取取后后侧侧时时为为负负取取前前侧侧时时为为正正积积分分前前的的符符号号当当 yxRxzQzyPdddddd解解.20)(21,)(222之之间间部部分分的的下下侧侧和和介介于于平平面面是是旋旋转转抛抛物物面面其其中中计计算算曲曲面面积积分分 zzyxzzdxdydydzxz.面上的

41、二重积分面上的二重积分转化为转化为xOy. 4:),(21),(:2222 yxDyxyxzzxy,取取下下侧侧 xzx例例42222211 ()()()42xyDxyxxxydxdy 原原式式22222211()()42xyDx xyxxydxdy 2221()2xyDxxydxdy 0 , 对称对称关于关于因为因为xyDxy 22,xyxyDDx dxdyy dxdy 2221()2xyxyDDx dxdyxydxdy22()xyDxydxdy .8dd20220 rr 2222211 ()()()42xyDxyxxxydxdy 原原式式2221()2xyDxxydxdy 高斯公式及其应用

42、高斯公式及其应用 一、高斯公式一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件那么那么上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在如果函数如果函数的曲面所组成的曲面所组成滑滑由有限块光滑或分片光由有限块光滑或分片光定理设空间闭区域定理设空间闭区域,),(),(),(,zyxRzyxQzyxP,ddddddd yxRxzQzyPvzRyQxP . ),( cos,cos,cos, 处处的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦在在点点是是的的边边界界曲曲面面的的外外侧侧取取其其中中zyx 一、高斯公式SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d 或或.,dd)(

43、dd)(dd)(个个表表面面的的外外侧侧的的轴轴向向正正方方体体的的整整边边长长为为是是以以原原点点为为中中心心其其中中计计算算ayxxzxzzyzyyx , ,xzRzyQyxP vzRyQxPd原式原式 vd)111()(3的体积的体积 根据高斯公式根据高斯公式例例1解解.33a 使用高斯公式时的注意事项使用高斯公式时的注意事项;,. 1量量求求偏偏导导数数并并注注意意分分别别对对哪哪个个变变三三个个函函数数正正确确确确定定RQP;,. 2连连续续偏偏导导数数三三个个函函数数是是否否具具有有一一阶阶判判断断RQP. 3面的外侧面的外侧注意曲面积分取封闭曲注意曲面积分取封闭曲.)0(0,dd

44、dddd222222之间的部分的下侧之间的部分的下侧及及介于平面介于平面为锥面为锥面其中其中计算曲面积分计算曲面积分 hhzzzyxyxzxzyzyx,222zRyQxP .2,2,2zzQyyQxxP 1 ,:2221取取上上侧侧补补充充顶顶面面hzhyx 利利用用高高斯斯公公式式的的外外侧侧构构成成所所围围锥锥体体定定向向曲曲面面,1 例例3解解 1dddddd222yxzxzyzyx vzyxd)(2 vzd2 zDhyxzzddd20 1dddddd222yxzxzyzyx 1dd2yxz.dd42hyxhxyD yxzxzyzyxdddddd222故故 1 .21d2402hzzzh

45、 4421hh .214h 斯托克斯公式及其应用斯托克斯公式及其应用 一、一、斯托克斯公式斯托克斯公式二、典型例题二、典型例题1.1.定向曲面边界曲线的方向定向曲面边界曲线的方向:,的的正正向向为为规规定定其其边边界界曲曲线线曲曲面面是是具具有有边边界界曲曲线线的的定定向向设设 .,上上法法向向量量的的指指向向相相同同的的拇拇指指的的指指向向与与竖竖起起依依边边界界的的绕绕行行方方向向时时当当右右手手除除拇拇指指外外的的四四指指即即的的法法向向量量符符合合右右手手法法则则这这个个方方向向与与定定向向曲曲面面 .的正向边界曲线的正向边界曲线曲面曲面向的边界曲线称为定向向的边界曲线称为定向按照这种

46、方式规定了方按照这种方式规定了方 一、斯托克斯公式;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取上侧取上侧 .,时时针针方方向向的的圆圆周周曲曲线线正正向向边边界界为为顺顺取取下下侧侧 ;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为顺正向边界为顺取后侧取后侧 .,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取前侧取前侧 2.2.斯托克斯公式斯托克斯公式则则有有上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数连连同同边边界界在在函函数数侧侧符符合合右右手手规规则则的的正正向向与与向向曲曲面面为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的定定以以是是闭闭曲曲线线为为分分段段光

47、光滑滑的的空空间间有有向向设设定定理理,)( ),(),(),( . , , 1 zyxRzyxQzyxP.ddd dddddd zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyR斯托克斯公式斯托克斯公式.ddddddddd zRyQxPRQPzyxyxxzzy为了便于记忆为了便于记忆, 斯托克斯公式可记为斯托克斯公式可记为斯托克斯公式的另一种形式斯托克斯公式的另一种形式.dddcoscoscos zRyQxPRQPzyx . )( )cos,cos,(cos处的单位法向量处的单位法向量在在为为x,y,zn 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲

48、线上的第二类曲线积分之间的关系的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. .是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广; ;是格是格林公式的推广林公式的推广. .则则面面取取上上侧侧位位于于若若, 0),(xOyzyxR .dddd yQxPyxyPxQxyzO n 格林公式格林公式斯托克斯公式的实质二、典型例题., ,12,ddd2222取逆时针方向取逆时针方向轴正向看去轴正向看去从从若若的交线的交线与柱面与柱面是平面是平面其中其中曲线积分曲线积分利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算 zyxzyzzyxxyI1:22 yxDxy,22zRxQyP .2所所围围的的部部分分的的上上侧侧被被为为 zy例例1解解 22ddddddzxyzyxyxxzzyI yxydd)21( xyDyxydd)21( 1020d)sin21(drr .