最新复数项级数PPT课件.ppt

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1、定理 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2,1( 的的充充要要条条件件是是收收敛敛于于复复数数列列 nn.lim,limbbaannnn ,lim nn如如果果那末对于任意给定的那末对于任意给定的0 就能找到一个正数就能找到一个正数N, , 时时当当Nn ,)()( ibaibann证证,nnniba ,)()( bbiaaaannn从而有从而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理.2,2 bbaan

2、n反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn , 时时那末当那末当Nn 从而有从而有)()(ibaibannn )()(bbiaann 定理一说明定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.lim nn所所以以证毕证毕, bbaann12 4.1 4.1 收敛序列和收敛级数收敛序列和收敛级数课堂练习: 下面各序列是否收敛？若收敛求其极限.21( ); ( ) ;1-( )(1) .3ninnnnniazb zeniicz 131( ); 1-nniazni 222112111nninnzininn解：22212;,11n

3、nnnxynn我们就有222nnnn12limlim1,limlim0.11nnnnxynn 而nlimz1n 所以142 ( ) ;ninb zecossin,22nnni解：z,sin22nnn cos在时，极限不存在。这个序列极限不存在。15( )(1) .3nnicz 331z()222nnni解：3(cossin)266nni3cos()sin()266nnni33() cos,() sin2626nnnnnnxy nnlim0,lim0nnxynlimz0,n二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义定义,), 2 , 1(为为一一复复数数列列设设 nbannn nnn 211表达式

4、表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和收敛与发散收敛与发散,收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns ,1收收敛敛那那末末级级数数 nn .lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不不收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 18:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由

5、于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为nns 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni )( 11收收敛敛的的充充要要条条件件级级数数 nnnnniba . 11都收敛都收敛和和 nnnnba定理定理4.1.2 . 11 nnnnba都都收收敛敛和和级级数数于于是是 : 极限存在的充要条件极限存在的充要条件根据根据ns , 的极限存在的极限存在和和nn 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理4

6、.1.2) )1(1 1是是否否收收敛敛？级级数数 nnin解解; 1 11发发散散因因为为 nnnna . 1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要条件必要条件重要结论重要结论:.0lim1发发散散级级数数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn :,1 nine级级数数例例如如, 0limlim innnne 因因为为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启

7、示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断., 0lim nn 3. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 . , 11也也收收敛敛那那末末收收敛敛如如果果 nnnn . 11成成立立且且不不等等式式 nnnn 注意注意 ,1的的各各项项都都是是非非负负的的实实数数 nn 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则, 知知 , 11都

8、都收收敛敛及及 nnnnba . 11也都收敛也都收敛及及故故 nnnnba由定理二可得由定理二可得. 1是收敛的是收敛的 nn , 11 nkknkk 又由又由 nkknnkkn11limlim 可知可知证毕证毕.11 kkkk 或或非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明, 22nnnnbaba 由由, 11122 nkknkknkkkbaba知知如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn 定义定义.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba ,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba所以

9、所以.1绝对收敛绝对收敛也也 nn 综上综上:1:nn判断复数项级数是否绝对收敛的方法1|nn方法一:判断正项级数是否收敛，11:,.nnnnnnnabab方法二 分出的实部 与虚部判断级数与是否绝对收敛30 4.1 4.1 收敛序列和收敛级数收敛序列和收敛级数例2 判断下列各级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛001(65 )cos n( ); ( ) ;82( ).nnnnnnniiabicn 310(65 )( )8nnnia 000(65 )6561()888nnnnnnnii（a）这个是公比小于这个是公比小于1的几何级数，所以（的几何级数，所以（a）级）级数是绝对收敛数是绝

10、对收敛320cos n ( ) 2nnibcos( )2nneein解：=100cos n ,22nnnnnniee1nlim2nnnee 又，0cos n ( ) 2nnib级数发散331( )nnicn 11(cossin)(cossin)2222nnnniiinnn解： 111(cossin)cossin2222nnnnnnniinnn11cossin22nnnnnn又和是收敛的，1nnin是收敛的。34n111nnninnn11nn而级数是发散，级数C是条件收敛的。11,nnnniinn 收敛 而发散 ; )1( 1收敛收敛因为因为 nnn,211收收敛敛也也 nn故原级数收敛故原级数

11、收敛.,)1(1收收敛敛为为条条件件但但 nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛. 21)1( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnnin例例3 3解解1(1)(1)innen因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.1(1)(1);innen.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所所以以而而0lim,1lim nnnnba解解 练习练习1 1),sin)(cos11(ninn .cos)2(innn )2(解解 innncos 由于由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.1(1),innen所以数列收敛.1lim nn

12、 且且,coshnn , n !)8( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni2 2, !81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解思考题思考题:,11问问均均发发散散和和如如果果复复数数项项级级数数 nnnn ?)(1也发散吗也发散吗级数级数 nnn 思考题答案思考题答案否否.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .41作业作业P97: 1, 342四、小结与思考四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念应了解复数列的

13、极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质收敛与条件收敛的概念与性质. 43 性质性质11( )(1,2)( )M ,(1,2),M( )Ennnnnnnfz nfznfz（1）若复变函数均定义于点集E上，且有且级数收敛，则在 上收敛；1( )(1,2)( )Ds(z)s(z)Dnnnfz nfz（2）若在区域D内连续，级数在 内收敛于函数，则在 内连续；1CC1( )(1,2)C( )C( )( ).nnnnnfz nfzCs z dzfz dz（3）若均在光滑或分段光滑曲线 上连续，级数在上一致收敛于函数s(z)，则s(z)在 上可积，且由11(4)( )(1,2)( )D( )( )D( )( )nnnnnfz nfzs zs zs zfz若在闭区域D内解析，且级数在 内收敛于函数，则在 内解析，且有