2022年苏科版九年级上册数学《圆》章节知识点2.1-2.9 .pdf

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1、文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分1 2.1 圆【知识点总结】一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点 O叫做圆心，线段 OA叫做半径 . 以点 O位圆心的圆，记作“ O ”，读作“圆 O ”0 圆可以看成是定点O的距离等于定长 r 的所有点组成的图形。例 1：下列说法：经过点P的圆又无数个；以点P为圆心的圆有无数个；半径为 2cm且经过点 P的圆有无数个；以点P为圆心，2cm长为半径的圆又无数个，其中错误的有（）A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个二、点和圆的位置关系设O的半径为 r ，点 P到圆心的距离为 d，则点 P在

2、圆内dr 点 P在圆上d=r 点 P在圆外dr 例 2：在数轴上，点 A所表示的实数为 3，点 B所表示的实数为a，A的半径为 2，则下列说法中，不正确的是（）A.当 a5 时，点 B在A内 B.当 1a5 时，点 B在A内C.当 a1 时，点 B在A外 D.当 a5 时，点 B在A外三、圆中的相关概念（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. （2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分2

3、圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（3）顶点在圆心的角叫做圆心角（4）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆 . 同圆或等圆的半径相等 . （5）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧例 3：下列说法中不正确的是：直径是圆中最长的弦，弦是直径；优弧大于劣弧，半圆是弧；长度相等的两条弧是等弧；圆心不同的圆不可能是等圆. 【典例展示】题型一性质的简单应用例 1：如图，点 A、D、G 、M在半圆 O上，四边形 ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是（）Aabc Ba=

4、b=c Ccab Dbca 题型二简单的证明题例 2：如图，在 ABCD 中， BAD为钝角，且 AEBC ，AF CD （1）试说明 A、E、C、F四点共圆（2）设线段 BD与（1）中的圆相交于点M 、N ，说明 BM=ND 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分3 题型三分类讨论题例 3：某点到圆周上的最长距离为8cm ，最短距离为 6cm 。求圆的半径题型四探索性试题例 4：如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm ，AD=4cm （1）若以点 A位圆心， 4cm为半径作

5、 A，则点 B、C、D与A的位置关系如何 ? （2）若以点 A位圆心作 A，使 B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则 A的半径 r 的取值范围是什么？题型五计算题例 5： 如图， AB是O的直径， CD是O的弦， AB 、 CD的延长线相交于点E.已知 AB=2DE ，E=18 ，求 AOC 的度数 . 题型六生活中的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分4 例 6：某部队在灯塔的周围进行爆破作业，灯塔A周围 3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离

6、A处 2km的 B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？题型七运动变化题例 7：如图， AB是O的直径，它把 O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD AB ，OCD 的平分线交 O于点 P，当 C点在上半圆（不包括A、B两点）上运动时，试探求点 P的位置. 【误区警示】误点 1 审题不清，画错图形例 1：设 AB=2cm ，画图说明：点A、B的距离都小于 1.5cm 的点的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分5 误点 2 忽视分类讨论，产生漏洞

7、例 2：如图，已知半径为5 的O ，点 O到弦 AB的距离为 3，则O上到弦 AB所在直线的距离为2 的点有（）A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个2.2 圆的对称性【知识点总结】一、圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心圆是由旋转不变性，即圆围绕圆心旋转任何角度后，仍然与原来的圆重合圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴例 1：如图是由一个圆和一个平行四边形组成的图形，要求画出一条直线，把圆与平行四边形的面积平分，应如何分割？请保留作图痕迹. 二、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等. 可简

8、称为“等对等定理”或“三个概念的相等关系”例 2：如图， AB 、DE是O的直径， C是O上的一点，AD =弧 CE ，请探求并至少写出图中三对具有相等关系的量（除对顶角和半圆相等外）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分6 二、圆心角的度数与它所对的弧的度数关系1的圆心角所对的弧叫做1的弧 .一般地， n的圆心角对着的n的弧， n的弧对着 n的圆心角 . 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 例 3：如图，在O中，半径 OC AB ，OAB=50 ，求弧 BC的度数 . 四、

9、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧. 推广：一条直线：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）错误！未找到引用源。；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧，只要具备其中两个条件，就能推出其他三个. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分7 例 4：如图， O的弦 AB垂直平分半径 OC ，若6AB, 则O的半径为【典例展示】题型一概念辨析题例 1：下列说法：圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴；垂直于弦的直线平分这条弦；平分弦的直径垂直于这条弦；在同圆或等圆中，如果

10、两条弦相等，那么它们所对的两条弧也相等，其中，不正确的有（）A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个题型二简单计算题例 2：如图，DE是O的直径，弦 AB CD ，垂足为 C，若 AB=6 ，CE=1 ，则 OC= ，CD= 题型三几何说理题例 3：如图， AOB=90 ，C、D为AB的三等分点， AB分别交 OC 、OD于点 E、F，那么 AE 、CD 、BF之间有什么数量关系？请说明你的理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分8 例 4：如图，AB是O的弦，半径 OC

11、 、OD分别交 AB于点 E、F，且 AE=BF ，请你找出线段 OE与 OF的数量关系，并给予证明. 题型四作图题例 5：某居民小区一处圆柱形输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2） 若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水面最深地方的高度为 4cm ，求这个圆形截面的半径题型五运动变化题例 6：如图， O的半径为 5cm ，C是O内的一点，过点C的最短弦 AB为 8cm ，（1）若 P是弦 AB上一动点，且点P与圆心 O的距离为整数，这样的点P有几个？（2）如果最短弦 AB的两端

12、点在圆上滑动（ AB弦长不变），那么弦 AB的中点形成怎样的图形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分9 题型六实际应用题例 7：某地有一圆弧拱桥，桥下水面的宽度为7.2m，拱顶高出水面 2.4m. 现有一艘宽3m ，船舱船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？【误区警示】误点 1 平行弦间的位置不清而导致错误例 1：已知 O的半径为 13cm ，弦 AB CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，则 AB 、CD之间的距离为（）A.17c

13、m B.7cm C.12cm D.17cm或 7cm 误点 2 不能正确理解圆心角、弧与弦之间的关系例 2：如图，在 O中，AB=2CD ，那么（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分10 A.AB 2CD B.AB 2CD C.AB = 2CD D.AB与 2CD大小关系不确定2.3 圆周角【知识点总结】一、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都相交的角的叫做圆周角例 1：下列图形中，表示圆周角的是（填写序号）二、圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一

14、半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分11 例 2：如图， OB是O的半径，点 C、D在O上，DCB=27 ，则 OBD= . 三、圆周角与直径的关系（1）直径或半圆所对的圆周角是直角（2）90的圆周角所对的弦是直径例 3： 如图，若 AB是O的直径，CD是O的弦，ABD=58 ，则BCD 的度数为（） A.116 B.32 C.58 D.64 【典例展示】题型一网格题例 1：如图所示， O的半径为5，圆心与坐标原点重合，在平面直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为

15、格点. （1）写出 O上所有格点的坐标：（2）设l为经过 O上任意两个格点的直线 . 满足条件的直线l 共有多少条？求直线 l 同时经过第一、二、四象限的概率题型二计算题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分12 例 2：（1）如图， D为 AC上一点， O为边 AB上一点， AD=DO ，以 O为圆心， OD长为半径作圆，交AC于点 F、G ，连接 EF.若BAC=32 ，则 EFG= （2）如图， ABC内接于 O ，若B=30 ，AC=3，则 O半径为 . 题型三探究题

16、例 3：如图，点 A、B、D、E在圆上，弦 AE的延长线于弦 BD的延长线交于点 C.给出下列三个条件：（ 1）AB是圆的直径；（ 2）D是 BC的中点；（ 3）AB=AC 请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明例 4：如图， A、B、C三点都在 O上，BE是O的直径， AD是ABC的高. （1）现在不添加任何线或角的情况下，图中除直角外， 还有相等的A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分13 角吗？如果有，请写出

17、来并加以说明；没有请说明理由（2）如果 O的半径 R=4cm ，AD=6cm ，求 AB AC的值题型四操作探索题例 5：如图 APC的顶点在圆外， 两边与圆相交，称它为圆外角 . （1）请你按以下步骤操作：在图内，连接OA 、OD ；用量角器测出下列各角的度数. APC= ，AOC= , DOE= .(精确到 1) （2）根据上面的数据猜想：APC与AOC 、DOE 之间有什么数量关系？（3）证明你的猜想；（4）如图、，若点O不在 PC上，则（ 2）的结论成立吗？请说明理由. （5）用语言描述你的发现 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、 -第 13 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分14 题型五学科内综合题例 6：如图，在锐角 ABC中，AC是最短边，以 AC中点 C为圆心，AC21长为半径作O ，交 BC于点 E，过 O作 OD BC交O于点 D，连接 AE 、AD 、DC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分15 【误区警示】误点 1 忽视圆心角，圆周角2 倍关系的前提例 1：如图，在 O中，AB 、AC是弦， O在BAC的内部， AOB= ，AOC= ，BOC= ，下列关系

19、式中正确的是（）A.=+ B.=2+2 C.+=180D.+=360误点 2 忽视圆中不是直径的弦所对的圆周角有两种类型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分16 例 2：如果圆的弦等于半径，那么这条弦所对的圆周角的度数等于2.4 确定圆的条件【知识点总结】一、确定圆的条件不在同一条直线上的三点确定一个圆例 1：平面上有 A、B、C三点，若经过这三点画圆，则可以画（）A.0 个 B.1个 C.0个或 1个 D.无数个二、三角形的外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角

20、形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，这个圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等例 2：如图，正方形 ABCD 是O的内接正方形， P是劣弧 AB上不同于点 B的任意一点，则 BPC的度数为【典例展示厅】题型一网格题例 1：小英家的圆形桌子被打碎了，她拿了如图所示（网格中的每个小正方形的边长为 1）的一块碎片到玻璃片到玻璃店。配成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A.2 B.5 C.22 D.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 43 页文曦教育V

21、IP1 对 1 专业团队高效提分17 题型二辨析题例 2：下列说法中不正确的是（）A.三点确定一个圆B.任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点D.三角形的外心道三个顶点的距离相等题型三开放题例 3：如图， O是ABC的外接圆， BAC=50 ，点 P在 AO上（点 P不与 A、O重合），则 BPC可能为（写出一个即可）题型四探索题例 4：在O的内接四边形 ABCD 中，AD BC ，试探索四边形 ABCD 的形状，并说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 4

22、3 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分18 题型五证明题例 5：如图， ABC内接于 O ，高 BE 、AD相交于点 P，延长 BE 、AD ，分别交 O于点 M 、N，求证：（ 1）PE=ME ，PD=ND;(2)点 C是PMN 的外心题型六操作探索题例 6: 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段 AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆 . （1）请分别作出图 1 中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄E，F，G ，H （其

23、位精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分19 置如图 2 所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由【误区警示】误点 1 不能准确根据圆的半径确定符合条件的圆的个数例 1：已知 M 、N，若经过点 M 、N画圆，则半径为 3cm的圆有个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 43 页文曦教育V

24、IP1 对 1 专业团队高效提分20 误点 2 忽视三角形外心的不同位置而产生漏解例 2：如果点 O是ABC的的外心， BOC=70 ，那么 BAC的度数为（）A.35 B.110 C.145 D.35或 1452.5 直线与圆的位置关系【知识点总结】一、直线与圆的位置关系（1）直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交（2）直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点 . （3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离例 1：下列命题中，正确的是（）A.直线与圆不相交就是相离B.如果一条直线与圆有公共点，那么这条直线与圆必须有公共点C.如果一条直线是圆的切线

25、，那么这条直线与圆必有公共点D.直线与圆相切时，“唯一公共点”是指有一个公共点二、直线与圆的位置之间的数量关系的确定如果 O的半径为 r ，圆心 O到直线l的距离为 d，那么：方法一：根据公共点的个数确定方法二：（ 1）直线l与O相交 dr （2）直线l与O相切 d=r （3）直线l与O相离 dr 例 2：已知 O的半径为 r，在直线l上有一点 P，OP=r ，则直线l与O的位置关系是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分21 （）A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交

26、三、切线的判定圆的切线垂直于经过切点的半径例 3：如图，PA与O相切，切点为 A，PO交O于点 C，B是优弧 CDA 上一点，若ABC=32 ，则 P的度数为四、切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线. 例 4：如图， O经过点 B、D、E，BD是O的直径， C=90 ，BE平分 ABC. 求证：直线 AC是O的切线例 5：如图， ABC为等腰三角形， AB=AC ，O是底边 BC的中点， O与腰 AB相切与点 D 求证： AC与O相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1

27、 专业团队高效提分22 五、三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆只有一个，这个圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三角形三边距离相等. 例 6：如图，O是ABC的内切圆，切点分别是 D、E、F，已知A=100 ， C=30 ，则 DEF的度数是（）A.55 B.60 C.65D.70六、切线长定理（1）经过圆外一点引圆的切线，这点与切点之间线段的长，称为这点到这个圆的切线长. （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角（3）切线长定理体现了圆的轴对称性例 7：如图， PA 、PB是O的切线，

28、 A、B为切点， AC是O的直径，若 BAC=25 ，则P= 【典例展示】题型一网格型试题例 1：已知O1经过 A （-4,2 ）、B（-3,3 ）、C （0,2）、O（0,0 ）四点，一次函数 y=-x-2 的图像是直线l，直线l与 y轴交于点 D. （1）在右边的平面直角坐标系中画出O1，直线l 与O1的交点坐标为；（2）若 O1上存在整点P （横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得APD为等腰三角形，所有满足条件的点 P 坐标为；（3）将 O1沿 x 轴向右平移个单位时，O1与 y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，

29、共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分23 相切；（4）将 O1沿 x 轴向右平移个单位时，O1与l相切题型二几何计算题例 2：如图，AB是O的直径，点 D在 AB的延长线上， DC且O于点 C，若A=25，则D的度数为（）A.20 B.30 C.40 D.50题型三几何说理题例 3：如图， AB是O的直径， PB为O的切线， B为切点， OP BC于点 D，且交O于点 E. （1）求证： OPB= AEC （2）若 C为半圆弧 ABC的三等分点，请你判断四边形AOEC 为哪种特殊四边形？并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

30、- - -第 23 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分24 题型四作图题例 4：如图，要在一块形状为直角三角形 （C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与 AB 、BC都相切请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）题型五探索条件题例 5：如图，在 RtABC中，ACB=90 ，AC=3 ，BC=4 ，CD为斜边 AB上的高 . 以点 C为圆心作圆，圆的半径为r. （1）当 r 取何值时， C与直线 AB相离（2）当 r 取何值时，C与直线 AB只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？

31、（3）若 r=1，C随着其圆心从点 C沿直线 CA方向移动，设移动后的圆心为P.则当点 C移动的距离为距离为多少时，P与直线 AB相切？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分25 题型六探索谈论题例 6：如图 1，线段 PB过圆心 O 。交 O于点 A、B两点，PC切O于点点 C，过点 A作 AD PC ，垂足为 D，连接 AC 、BC. （1）写出图 1 中所有相等的角（直角除外），并给出证明；（2）若图 1中的切线 PC变为图 2中割线 PCE的情形，PCE与圆 O交于

32、C，E两点，AE与 BC交于点M ，AD PE ，写出图 2 中相等的角（写出三组即可，直角除外）；（3）在图 2 中，证明： AD ?AB=AC ?AE题型七学科内综合题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分26 例 7：如图、， O在平面直角坐标系xOy中，点 A的坐标为（ 4,0），以点 A位圆心， 4 为半径的圆与 x 轴交于 O 、B两点，OC为弦， AOC=60 ，P是 x 轴上的一动点，连接 CP. （1）求 OAC 的度数；（2）如图，当 CP与A相切时，求P

33、O的长；（3）如图，当点 P在直径 OB上时，CP的延长线与 A相交于点 Q ，问 PO为何值时， OCQ 是等腰三角形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分27 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分28 题型八阅读理解题例 8：阅读材料：如图，ABC的周长为l，内切圆 O的半径为 r，连接 OA 、OB 、OC ，ABC被划分为三个小三角形，用SABC

34、表示 ABC的面积 . （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13 的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二）且面积为 S，各边长分别为 a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n 边形（ n 为不小于 3 的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为 a1、a2、a3、 an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分29 【误区警示】误点 1

35、考虑问题不周全，导致漏解例 1：已知 O的直径为 6，P为直线l上一点， OP=3 ，那么直线l与O的位置关系为误点 2 误用切线的判定方法例 2：如图， P是BAC的平分线上一点， PD AC ，垂足为 D，AB与以 P为圆心， PD为半径的圆相切吗？为什么？误点 3 对切线长性质的理解不透彻而致错例 3：如图， P是O外一点， PA 、PB分别和 O切于 A、B两点， C是AB上任意一点，过 C作O的切线分别交 PA 、PB于点 D、E，若 PDE的周长为 12，则 PA的长为（）A.12 B.6 C.8 D.无法确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

36、- - - - -第 29 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分30 2.6 圆与圆的位置关系【知识点总结】一、两圆的位置关系例 1：如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是有一种位置关系没有反映出来，它是二、圆与圆位置关系的确定方法一：根据公共点的个数确定方法二：根据两圆半径R、r 与圆心的距离的关系确定. 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 dR+r （Rr）两圆内切 R-rdR+r 两圆内含 dR-r （Rr）例 2：已知两圆的半径分别为2 和 3，圆心距为 d，若两圆没有公共点，则下列结论中，正确的是（）A.0d1 B.d5 C.

37、0d1 或 d5 D.d1 或 d5 【典例展示】题型一确定两圆的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分31 例 1：（1）已知 O1与O2的半径 r1、r2分别是方程0862xx辆实根，若 O1与O2的圆心距 d=5，则O1与O2的位置关系是（2）如图， O1与O2的半径分别为 1 和 3，连接 O1O2，交 O2于点 P，O1O2=8, 若将O1绕点 P按顺时针方向旋转360，则 O1与O2共相切次题型二分类讨论题例 2：（1）已知 O1与O2的半径分别是 r1=3、

38、r2=5，若两圆相切，则圆心距 O1O2的值是（）A.2 或 4 B.6或 8 C.2或 8 D.4或 6 （2）如图， O1与O2内切于点 A，其半径分别是 8 和 4，将O2沿直线 O1O2平移至两圆外切时，则点O2移动的长度是（）A.4 B.8 C.16 D.8或 16 题型三多圆相切题例 3：已知 O1与O2外切，半径分别为1cm和 3cm ，那么半径为 5cm且与 O1、O2都相切的圆可以作出个. 题型四类比与创新题例 4：设边长为 2a 的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为 r 的O的圆心 O在直线上运动，点A、O之间的距离为 d. 精选学习资料 - - -

39、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分32 （1）如图 1，当 ra 时，根据 d 与 a，r 之间关系，请你将 O与正方形的公共点个数填入下表：当 ra 时，O与正方形的公共点可能有个（2）如图 2，当 r=a 时，根据 d 与 a，r 之间关系，请你将 O与正方形的公共点个数填入上表 . 当 r=a 时，O与正方形的公共点可能有个【误区警示】误点考虑问题不全面，导致错误例 1：已知 O1、O2相切，若 O1的半径为 1，两圆的圆心距为5，则O2的半径为（） A.4 B.6 C.3或 6 D.4或

40、 6 例 2：若两圆下面那个切，圆心距为7，其中一圆的半径是9，则另一个圆的半径是例 3：若半径分别为 6 和 8 的两圆相离，则圆心距d 的取值范围是2.7 正方形与圆【知识点总结】一、正方形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 例 1：下列说法中，正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分33 A.平行四边形是正四边形 B. 矩形是正四边形 C. 菱形是正四边形 D正方形是正四边形二、正多边形的画法利用量角器可以画出任意正多边形；利用直尺和圆规可以作出

41、一些特殊的正多边形. 例 2：画出边长为 1cm的圆的内接正六边形 . 【典例展示】题型一对称性问题例 1：一个正多边形中心旋转60后，才与原正方形第一次重合，那么这个正多边形（）A.是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.是中心对称图形，但不是轴对称图形C.既是对称图形，也是中心对称图形 D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形题型二新定义问题例 2：一个平面封闭图形内 （含边界）任意两点间距离的最大值称为图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中精选学习资料 - -

42、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分34 正确的是（）Aa4a2 a1 Ba4a3a2 Ca1a2a3 Da2 a3a4 题型三正多边形的有关计算例 3：如图，PQR 是O的内接正三角形，四边形ABCD 是O的内接正方形， BCQR ，则 AOQ= （）A.60 B.65 C.72 D.75题型四探索规律题例 4：如图 1、2、3、 n，M 、N分别是 O的内接正三角形 ABC 、正方形 ABCD 、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE 的边 AB 、BC上的点，且 BM=CN，连接

43、OM 、ON （1）求图 1 中MON 的度数；（2）图 2 中MON 的度数是，图 3 中MON 的度数是；（3）试探究 MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系（直接写出答案）【误区警示】误点 1 对正多边形的概念理解不透彻精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分35 例 1：判断下列说法是否正确. （1）各边相等的多边形是正方形（2）圆内接菱形是正方形（3）各角相等的圆内接多边形是正方形误点 2 不理解正多边形与圆的关系致错例 2：如图，在 O中，OA=AB ，OC

44、AB ，则下列结论中结论错误的是（）A.弦 AB的长等于园内接正六边形的边长B.弦 AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.弧 AC= 弧 BC D.BAC=30 2.8 弧长及扇形的面积【知识点总结】一、弧长公式圆的周长公式：RC2. 其中是圆的周长与直径的比值，称之为圆周率 . 弧长公式：180Rnl. 其中 n 表示 1的圆心角的倍数， 它不带单位， R为圆的半径，l为 n的圆心角所对的弧长 . 例 1：如图， AB是O的切线，半径 OA=2 ，OB交O于点 C ，B=30 ，则劣弧 AC的长是（结果保留）. 二、扇形的面积公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

45、 - - - - - - -第 35 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分36 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 扇形的面积公式lRRnS213602扇. 其中 n 与弧长公式中的 n 一样，理解为 1的圆心角的倍数，不带单位，要注意与弧长公式进行比较，避免混淆.lRS21与三角形的面积公式相似，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作是底，R看成是高，这样易于记忆 . 例 2：如图，在 66 的方格中（共有 36 个小正方形），每个小方格都是边长为1 的正方形， 将线段 OA绕点 O按逆时针方向旋转得到OB （顶点均在格点上），则阴影部分面积等

46、于【典例展示】题型一列方程求解题例 1：（1） 一个扇形的圆心角是120， 面积为23cm， 那么这个扇形的弧长为 cm （2）已知一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等， 则这个扇形的圆心角是度. 题型二求路径长的问题例 2：已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直接平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，现将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 米， 半圆的直径为 4 米， 则圆心 O所经过的路线长是米题型三求阴影部分的面积例 3：（1）如图所示，在矩形ABCD 中，BC=2,DC=4, 以 AB为直径的半圆 O与 DC相切于点 E，则阴影

47、部分的面积为（结果保留）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分37 （1）如图，一次以三角形、 四边形、. 、n 边形的各顶点为圆心画半径为1 的圆，且圆与圆之间两两部相交. 把三角形与各圆不重叠部分的面积之和记为 S3， 四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4， n 边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn则 S90值为（结果保留 ）题型四情景应用题例 4：某校编排的一个舞蹈需要五把和图形状完全相同的绸扇. 学校现在有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图2 所示的一朵

48、圆形的花请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？（单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含 的式子表示）题型五设计图案题例 5：如图，M 、N分别表示边长为 a 的等边三角形和正方形， P表示直径为 a 的圆，如图是选择基本图形M 、P用尺规作出的图案，22843aaS阴影（1）请你从图 1 中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）（2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话例 4 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

49、 - - - - - - -第 37 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分38 题型六探索规律性例 6：如图（ 1）是一个扇形 AOB ，将其作如下划分：第一次划分：如图（ 2），以 OA的一半 OA1为半径画弧，再作 AOB 的平分线，得到扇形的总数为 6 个，分别为扇形 AOB 、扇形 COB 、扇形 A1OB1、扇形 A1OC1、扇形 C1OB1. 第二次划分：如图（ 3）所示，在扇形 C1OB1 中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为 11个；第三次划分：如图（ 4）所示；依次划分下去（1）根据题意，完成下表：精选学习资料 - - - - - - - -

50、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 43 页文曦教育VIP1 对 1 专业团队高效提分39 （2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2014个？为什么？题型七研究性问题例 7：在学习扇形的面积公式时，同学们推得3602RnS扇，并通过比较扇形的面积公式与弧长180Rnl，得出扇形面积的另一种计算公式：lRS21扇. 接着老师让同学们解决两个问题：问题：求弧长为4，圆心角为 120的扇形面积问题：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知 AB和 CD所在圆心都是点 O ，弧 AB的长为1l，弧 CD的长为2l，AC=BD=d ，求花坛的面积（1）