2022年第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案 .pdf

《2022年第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案 .pdf（39页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；数量积（是个数） 、向量积（是个向量） ；几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点向量积（方向） 、混合积（计算） ；掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；空间曲线在坐标面上的投影；特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）平面方程的几种表示方式之间的转化；直线方程的

2、几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F 或a、r、v、F；向量的模向量的大小叫做向量的模向量 a、a、AB的模分别记为|a|、|a、|AB单位向量模等于 1 的向量叫做单位向量；向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量 a 与 b平行记作 a / b零向量认为

3、是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线零向量模等于0 的向量叫做零向量记作 0 或0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面向量 ： 设有 k(k 3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果 k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面；两向量夹角 ：当把两个非零向量a 与 b 的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页角称为向量a 与 b 的夹角记作),(ba或),(ab如果向量a 与 b 中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0 与 之间任意取值；向量的线

4、性运算向量的加法 （三角形法则） ： 设有两个向量a 与 b平移向量使b 的起点与a 的终点重合此时从 a的起点到 b的终点的向量c称为向量 a与 b的和记作 a+b即 c a+b . 平行四边形法则向量 a 与 b 不平行时平移向量使a 与 b的起点重合以 a、b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b 的和 a b向量的加法的运算规律 (1)交换律 a b b a(2)结合律 (a b) c a (b c)负向量设 a 为一向量与 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量记为a向量的减法把向量 a 与 b 移到同一起点O则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所

5、引向量AB 便是向量 b 与 a 的差 b a向量与数的乘法：向量 a 与实数的乘积记作规定a 是一个向量它的模 | a| | |a|它的方向当0 时与 a相同当 0 时与 a 相反当0 时 | a| 0即a为零向量这时它的方向可以是任意的运算规律(1)结合律( a)( a) ()a； (2)分配律()aaa； (a b)ab向量的单位化设 a 0则向量|aa是与 a 同方向的单位向量记为 ea，于是 a |a|ea定理 1 设向量 a0那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯一的实数使 ba空间直角坐标系在空间中任意取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O 为

6、原点的两两垂直的数轴依次记为 x 轴(横轴 )、y 轴(纵轴 )、z 轴(竖轴 )统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为 Oxyz 坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上而 z 轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面另两个坐标面是yOz 面和 zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于 xOy 面的上方在 xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第

7、四卦限在 xOy 面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、 II 、III 、IV 、V、VI、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使rOM以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有OROQOPNMPNOPOMr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 39 页设i xOPj yOQkzOR则kjirzyxOM上式称为向量r 的坐标分解式xi、 yj、 zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点 M、向量 r 与三个有序x、y、z 之间有一

8、一对应的关系),(zyxzyxOMMkjir有序数 x、y、z 称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作 r (x y z)向量OMr称为点 M 关于原点O 的向径利用坐标作向量的线性运算设 a (axayaz) b (bxbybz) a b (axbxaybyazbz)a b (axbxaybyazbz)a ( axayaz)利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (axayaz) 0b (bxbybz)向量 b/aba即 b/a(bxbybz)(axayaz)于是zzyyxxababab向量的模、方向角、投影设向量 r (x y z)作rOM则向量的模长公式222|zyxr设有点 A(x

9、1y1z1)、 B(x2y2z2)OAOBAB(x2y2z2) (x1y1z1) (x2x1y2y1z2z1)A、 B两点间的距离公式为：212212212)()()(|zzyyxxABAB方向角： 非零向量r 与三条坐标轴的夹角、 、 称为向量 r 的方向角设 r (x y z)则x |r|cosy |r|cosz |r|coscos 、cos 、cos称为向量 r 的方向余弦|cosrx|cosry|cosrz从而rerr |1)cos,cos,(coscos2cos2cos21投影的性质性质 1 (a)u|a|cos (即 Prjua |a|cos )其中为向量与u 轴的夹角性质 2 (

10、a b)u(a)u(b)u (即 Prju(a b) Prjua Prjub)性质 3 ( a)u(a)u (即 Prju( a)Prjua)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 39 页2、数量积、向量积、混合积两向量的数量积数量积对于两个向量a 和 b 它们的模|a|、|b| 及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a 和 b 的数量积记作 a b 即a b |a| |b| cos数量积的性质(1) a a|a| 2(2) 对于两个非零向量a、b 如果a b 0 则 a b; 反之 如果 a b 则 a b0如果认为零向量与任何向

11、量都垂直则 a ba b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设(a b)则当 a 0、b 0 时 有222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa数量积的坐标表示设 a (axayaz ) b (bxbybz )则a b axbxaybyazbz 数量积的运算律(1)交换律a bb a; (2)分配律(a b) c a c b c(3) ( a) ba ( b)(a b)( a) ( b)(ab)、 为数两向量的向量积向量积设向量 c是由两个向量a 与 b 按下列方式定出c 的模 |c| |a|b|sin 其中为 a 与 b间的夹角 ; c 的方向垂直于a 与 b所决定

12、的平面c 的指向按右手规则从a 转向 b 来确定那么向量 c叫做向量a 与 b 的向量积记作 a b 即ca b向量积的性质(1) a a0(2) 对于两个非零向量a、b 如果 a b0 则 a/b 反之如果 a/b 则 a b0如果认为零向量与任何向量都平行则 a/ba b0数量积的运算律(1) 交换律 a bb a(2) 分配律(a b) ca cb c(3) ( a) ba ( b)(a b) ( 为数 )数量积的坐标表示设 a (axayaz) b (bxbybz) a b( ay bz az by) i ( azbx ax bz) j ( ax by aybx) k为了邦助记忆利用三

13、阶行列式符号上式可写成zyxzyxbbbaaakjibaaybzi azbxj axbyk aybxk axbz j azbyi 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页( ay bz az by) i ( azbx ax bz) j ( ax by aybx) k三向量的混合积混合积： 先作两向量a 和 b 的向量积ba,把所得到的向量与第三个向量c 再作数量积cba)(，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c 的混合积，记作abc abc= cba)(=zyxzyxcccbbbzyxaaa混合积的几何意义：混合积 ab

14、c是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a、b、 c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。三个向量a、b、c 共面 的充分必要条件事他们的混合积abc=0 即zyxzyxcccbbbzyxaaa=0 3、曲面及其方程曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(x y z) 0 有下述关系(1) 曲面 S上任一点的坐标都满足方程F(x y z) 0(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z) 0那么方程 F(x y z) 0 就叫做曲面S的方程而曲面 S就叫做方程F(x y z) 0 的图形例如：

15、方程(x x0)2(y y0)2(z z0)2R2表示球心在点M0(x0y0z0)、半径为R 的球面旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yO z 坐标面上有一已知曲线C它的方程为f (y z) 0把 这 曲 线 绕z 轴 旋 转 一 周就 得 到 一 个 以z 轴 为 轴 的 旋 转 曲 面它 的 方 程 为0),(22zyxf这就是所求旋转曲面的方程在曲线 C 的方程 f(yz) 0 中将 y 改成22yx便得曲线C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0),(22zyxf同理曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为0)

16、,(22zxyf柱面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 39 页柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面定曲线 C 叫做柱面的准线动直线 L 叫做柱面的母线例如方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z 轴它的准线是xOy面上的圆x2y2R2一般地只含 x、 y 而缺 z 的方程 F(x y) 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面其准线是xOy 面上的曲线CF(x y) 0类似地只含 x、z而缺 y 的方程 G(x z) 0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z) 0

17、 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面(1)椭圆锥面由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面(2)椭球面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面(3)单叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为单叶双曲面(4)双叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为双叶双曲面(5)椭圆抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为椭圆抛物面(6)双曲抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面方程12222byax12222byaxayx2依次称为 椭圆柱

18、面、双曲柱面、抛物柱面4空间曲线及其方程空间曲线的一般方程设F(x y z) 0 和 G(x y z) 0 是两个曲面方程它们的交线为C所以 C 应满足方程组0),(0),(zyxGzyxF上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程空间曲线的参数方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 39 页空间曲线 C 上动点的坐标x、y、z表示为参数t 的函数)()()(tzztyytxx .(2) 当给定 t t1时就得到 C 上的一个点 (x1y1z1)随着 t 的变动便得曲线C 上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程空间曲线在坐标

19、面上的投影以曲线 C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于 xOy 面的投影柱面投影柱面与 xOy 面的交线叫做空间曲线C 在 xOy 面上的投影曲线或简称投影 (类似地可以定义曲线 C 在其它坐标面上的投影)设空间曲线C 的一般方程为0),(0),(zyxGzyxF设方程组消去变量z 后所得的方程H(x y) 0 这就是曲线C 关于 xOy 面的投影柱面曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程为00),(zyxH5 平面及其方程平面的点法式方程法线向量如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量已知平面上的一点M0(x0y0z0)及它的一个法线向量n (A B C)，平

20、面的点法式方程为： A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 平面的一般方程平面的一般方程为：Ax By Cz D 0， 其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标即 n (A B C)特殊位置的平面方程：D 0平面过原点n (0 B C)法线向量垂直于x 轴平面平行于x 轴n (A 0 C)法线向量垂直于y 轴平面平行于y 轴n (A B 0)法线向量垂直于z 轴平面平行于z 轴n (0 0 C)法线向量垂直于x 轴和 y 轴平面平行于xOy 平面n (A 0 0)法线向量垂直于y 轴和 z轴平面平行于yOz 平面n (0 B 0)法线向量垂直于x 轴和 z轴平面平

21、行于zOx 平面求这平面的方程平面的截距式方程为：1czbyax(其中 a 0 b 0 c 0) 该平面与x、y、z 轴的交点依次为 P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)三点而 a、b、c 依次叫做平面在x、y、 z轴上的截距平面的三点式方程为：131313121212zzyyxxzzyyxx111z-zy-yx-x=0 其中 M(111,zyx)，N(222,zyx) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页P(333,zyx)是平面上的三点。两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角

22、)称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1(A1B1C1)和 n2(A2B2C2)那么平面1和2的夹角应是),(21nn和),(),(2121nnnn两者中的锐角22222221212121212121| ),cos(|cosCBACBACCBBAAnn平面1和2垂直 相当于 A1 A2 B1B2 C1C20也即21nn 垂直于平面 1和 2平行或重合 相当于212121CCBBAA也即21nn 平行于设 P0(x0y0z0)是平面 Ax By Cz D 0 外一点P0到这平面的距离公式为d222000|CBADCzByAx6 空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是

23、两个平面1和2的交线如 果 两 个 相 交 平 面1和2的 方 程 分 别 为A1x B1y C1z D10和A2x B2y C2z D20那么直线 L 满足方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA(1) 上述方程组叫做空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量已知直线L 通过点 M0(x0y0 x0)且直线的方向向量为s(mnp)则直线 L 的方程为：pzznyymxx000叫做 直线的对称式方程或点向式方程注当 m n p 中有一个为零例如 m 0 而

24、 n p 0 时这方程组应理解为pzznyyxx000当 m n p 中有两个为零例如 m n 0而 p 0 时这方程组应理解为0000yyxx设tpzznyymxx000得方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页ptzzntyymtxx000此方程组就是直线L 的参数方程两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角 )叫做 两直线的夹角设直线 L1和 L2的方向向量分别为 s1(m1n1p1)和 s2(m2n2p2)那么 L1和 L2的夹角就是),(21ss和),(),(2121ssss两者中的锐角因此| )

25、,cos(|cos21ss| ),cos(|cos21ss222222212121212121|pnmpnmppnnmm设有两直线L1111111pzznyymxxL2222222pzznyymxx则L 1L 2m1m2n1n2p1p20l1II L2212121ppnnmm直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为 直线与平面的夹角当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为2设直线的方向向量s (m n p)平面的法线向量为n (A B C)直线与平面的夹角为那么| ),(2|ns因此| ),cos(|sinns222222|sinpnmCBACpBnAm因为直线

26、与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以直线与平面垂直相当于pCnBmA因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直所以直线与平面平行或直线在平面上相当于Am Bn Cp 0设直线 L 的方向向量为(m n p)平面的法线向量为 (A B C)则LpCnBmAL/ / Am Bn Cp 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 39 页三、疑难点解析（1）数量积、向量积、混合积易混怎么办？答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量构成的平面，且满足右手法则

27、。混合积也是个常数。数量积：a b |a| |b| cosaxbxaybyazbz 向量积ca b ，|c| |a|b|sin zyxzyxbbbaaakjibaaybzi azbxj axbyk aybxk axbz j azbyi 混合积：abc= cba)(=zyxzyxcccbbbzyxaaa（2）已知平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是： “绕谁（如x）旋转谁不变，另外一个字母变成）平方和（如22zy” 。（3）同一个方程在空间和在平面中表示的图形为何不一样？答：例如：6422yx，在平面上只有两个坐标，所以表示的是

28、一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当),(00yx满足上述方程，则对任意的z, ),(00zyx也满足这个方程。（4）求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量，也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解与直线和平面相关的题时如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。然后在根据具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

29、 - - - - - - -第 10 页，共 39 页四、考点分析（一）向量的的基本概念的相关知识例 1、平行于向量)6,7,6(a的单位向量为_. 解：116,117,116例 2、 设已知两点)2, 0, 3()1 ,2, 4(21MM和，计算向量21MM的模， 方向余弦和方向角. 解、21MM=（-1，-2，1）21MM=2,21cos,22cos,21cos,3,43,32例 3、 设kjipkjinkjim45,742,853，求向量pnma34在 x轴上的投影，及在y 轴上的分向量 . 解 ：a=13i+7j+15k, 所以在 x 轴上的投影为13，在 y 轴上的分量为7j 例 4

30、、 在空间直角坐标系O;kji, 下，求 M(a, b, c)关于(1) 坐标平面； (2) 坐标轴； (3) 坐标原点的各个对称点的坐标. 解：M (a, b, c)关于 xOy 平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于 yOz 平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于 xOz 平面的对称点坐标为(a,b, c)，M (a, b, c)关于 x 轴平面的对称点坐标为(a,b,c)，M (a, b, c)关于 y 轴的对称点的坐标为(a, b,c)，M (a, b, c)关于 z 轴的对称点的坐标为( a, b, c). M (a, b, c)关

31、于原点对称的对称点的坐标为(a,b, c). （二）向量的数量积、向量积、混合积的计算例 5、设kjibkjia2,23，求 (1)babababa23)2)(2(及；及(3) a、b的夹角的余弦 . 解： （1）3)1()2(2)1(13bakjikjiba75121213（2）18)(63)2(baba，kjibaba14210)(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 39 页（3）2123),cos(bababa例 6、知) 3, 1 , 3(),1 , 3 , 3(),2 , 1, 1 (321MMM，求与322

32、1,MMMM同时垂直的单位向量. 解： 2, 2,0,1,4 ,23221MMMMkjikjiMMMMa44622014232211724,1724,1726aa即为所求单位向量。例 7、已知kjOBkiOA3,3，求OAB的面积解：思路：|21OBOASOAB=21答案：219其中kjikjiOBOA133310301，|OAOB|=19例 8、求单位向量n，使an且xn轴，其中)8 ,6 ,3(a. 解： 取ib， 则bnan,。c=ba=8j-6k,|c |=10,n=|cc, 答案：)68(101kjn例 9、),(,1 , 1 , 1, 3bababa求解：),sin(bababa=

33、3,),cos(bababa。 tan33),(ba, 答案：6),(ba例 10已知矢量ba,互相垂直，矢量c与ba,的夹角都是60，且3,2, 1cba计算：22)2)(4();3).(23)(3();)()(2( ;)(1 (cbacbbabababa解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 39 页1132460cos32460cos3214424)2)(4(;2760cos32660cos.398.6.92.3)3).(23)(3(; 321)()(2(; 52021.2)(1 (22222222222222cbc

34、bcabaacbacbcabbacbbababababbaaba例 11、已知平行四边形以a1，2，-1，b1，-2，1为两边(1)求它的边长和内角(2)求它的两对角线的长和夹角解：(1)22116,a21216bcosa bab1=-61arccos6或1arccos6(2)110cab，214cab. 1212coscccc=02例 12、已知1a,5,b3.a b试求 : (1)ab( 2 )2()()abab(3)2(2 )(2 )abba解: (1)sin( , )a b21cos ( , )a b2341( )55sin( , )ababa b4. (2)原式 = 2()()aba

35、abb2( 2)ab24 ab64. (3)原式 =2224abbbaab a2( 3)ab=924144例 13、 已知直角坐标系内矢量, ,a b c的分量 ,判别这些矢量是否共面?如果不共面 ,求出以它们为 三 邻 边 作 成 的 平 行 六 面 体 体 积 . (1)3,4,5a, 1,2,2b, 9,14,16c. (2)3,0, 1a, 2, 4,3b, 1, 2,2c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 39 页解: (1)共面( , , )a b c=016149221543向量, ,a b c共面(2)

36、不共面( , , )a b c=2221342103向量, ,a b c不共面以其为邻边作成的平行六面体体积2V（三）求平面的曲线与曲面例 14.一动点M到A)0, 3(的距离恒等于它到点)0,6(B的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M在轨迹上的充要条件是MBMA21。设M的坐标),(yx有2222)6(21)3(yxyx化简得36)6(22yx故此动点M的轨迹方程为36)6(22yx此轨迹为椭圆例 15、 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. 32xy; 0,212121aayx; 0,0333aaxyyx. 解: tytx32令4cosax, 代入方程2

37、12121ayx得42212212121sin,sincosayaaay参数方程为44sincosayax. 令,txy代入方程0333axyyx得031233atxxt03132atxtx3130tatxx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页当0 x时 ,; 0y当313tatx时,3213taty故参数方程为3231313tatytatx. ( 四) 空间的曲线与曲面方程及投影例15、 一动点移动时，与)0,0 ,4(A及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点),(zyxM，所求的

38、轨迹为C，则zMACzyxM),(亦即zzyx222)4(0)4(22yx由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(22yx例16、 求下列各球面的方程：（1）中心)3, 1,2(，半径为；6R（2）中心在原点，且经过点)3 ,2,6(；（3）一条直径的两端点是)3, 1 , 4()5 , 32(与（4）通过原点与)4,0 ,0(),0 ,3, 1 (),0 ,0, 4(（5）求中心在)2,5,3(C且与平面01132zyx相切的球面方程。. 解： （1）所求的球面方程为：36)3() 1()2(222zyx（2）球面半径73)2(6222R所以类似上题，得球面方程为精选学习资料 -

39、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 39 页49222zyx（ 3 ） 球 面 的 球 心 坐 标1235, 1213, 3242cba， 球 的 半 径21)35()31 ()24(21222R，所以球面方程为：21) 1() 1()3(222zyx（ 4）设所求的球面方程为：0222222lkzhygxzyx因该球面经过点)4, 0,0(),0, 3, 1(),0,0 ,4(),0 ,0,0(，所以08160621008160khggl（1）解（ 1）有2210kghl所求的球面方程为0424222zyxzyx（5）球面的半径为C 到

40、平面：01132zyx的距离，它为：142142814116532R，所以，要求的球面的方程为：56)2()5()3(222zyx. 即：0184106222zyxzyx例 17、 （ 1)将 xOy 坐标面上的xy22绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _ _，曲面名称为 _. 2)将 xOy 坐标面上的xyx222绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程_，曲面名称为 _. 3) 将 xOy坐标面上的369422yx绕 x 轴及 y 轴旋转一周，生成的曲面方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 39 页程为 _，曲面名称为

41、_. 4）在平面解析几何中2xy表示 _图形。在空间解析几何中2xy表示 _图形 . 解： 求旋 转曲面方程的口诀：“绕 谁（如x）旋 转谁不变，另外一个字 母变成）平方和（如22zy”（1) xzy222,旋转抛物面（xzyx2)2222,球面（3)绕 x 轴：36994222zyx旋转双叶双曲面绕 y 轴：36944222yzx旋转单叶双曲面（4） 、抛物线，抛物柱面 5 ）画出下列方程所表示的曲面 (1)(4222yxz解：(2)(422yxz解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 39 页例 18、 （1） 、指出方

42、程组319y4x22y在平面解析几何中表示_图形，在空间 = 析几何中表示 _图形 . （2） 、求球面9222zyx与平面1zx的交线在xOy面上的投影方程. （3） 、求上半球2220yxaz与圆柱体)0(22aaxyx的公共部分在xOy面及 xOz面上的投影 . （4） 、求曲线30222zxzy在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？解： （1） 、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。（2） 、082222zyxx（3） 、在 xoy 面的投影为：0)2()2(222zayax，在 xOz 面的投影为（？） ：0222ya

43、zx(4) 、先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为00922zxy。原曲线是由旋转抛物面0222xzy被3z平面所截的抛物线。例 19、已知柱面的准线为：0225)2()3() 1(222zyxzyx母线平行于x轴，求该柱面方程；解：从方程0225)2()3() 1(222zyxzyx中消去x，得到：25)2()3() 3(222zyyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 39 页即：0235622zyyzzy此即为要求的柱面方程。例 20、 已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz面与yoz面，

44、且过点)6,2, 1(和)1 , 1,31(，求这个椭圆抛物面的方程。解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：zbyax22222令确定a与b)6,2, 1 (和) 1 , 1,31(均在该曲面上。有：219112412222baba从而561,536122ba所以要求的椭圆抛物面的方程为：zyx25653622即：zyx531822（五）求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型（找到平面过的点和平面的法向量）注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。例 21（1） 、求过点 (3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 解：平面过点为（3,0 ，-1 ） ，且与

45、平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量为)5, 7,3(n,再由平面方程的点法式方程知所求方程为：04573zyx（ 2） 、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)的平面方程 . 解：因为所求平面平行于向量a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)， 所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)，根据向量的叉乘知)3, 1 , 1 (ban，在由点法式方程知所求平面为：0)1(3)1(1)1(1zyx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共

46、 39 页（3） 、求平行于xOz面且过点 (2,-5,3)的平面方程 . 解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y 轴，所以可以用z 轴上的单位向量（0,1,0 ）为法向量，再由点法式方程知所求平面为：05y（4） 、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程 . 解：因为平面过两点M(4,0,-2)和 N(5,1,7)，所以过向量NM=（1,1 ， 9）, 由因为所求平面平行于x 轴， 所以平面平行于x 轴上的单位向量i= （1,0,0 ） ， 从而) 1, 9, 0(IMNn,再由点法式方程知所求平面方程为：029zy（5） 、求过点 (2,0,-3)且与直线012

47、530742zyxzyx垂直的平面方程. 解 ： 直 线012530742zyxzyx的 方 向 向 量 可 以 作 为 所 求 平 面 的 法 向 量 ， 所 以)11,14,16()2, 5 ,3()4 ,2, 1(v， 在 由 平 面 的 点 法 式 方 程 知 所 求 平 面 为 ：065111416zyx（6） 、求过点 (3,1,-2)且通过直线12354zyx的平面方程 . 解：因为平面过直线，所以过直线上的点A （4，-3,0 ） ，已知过点B(3,1,-2),从而过向量)2, 4, 1(AB及 直 线 的 方 向 向 量),1 , 2, 5(v因 此 平 面 的 法 向 量

48、可 求 出)22,9, 8(vABn，再由平面的点法式方程知所求平面为：0592298zyx。（7） 、求过点），（302且与直线.01253,07422zyxzyx垂直的平面方程。解：) 1, 1, 1(16253422kjis所求平面方程为0)3()0()2(zyx即05zyx（8） 、求过点)2, 1 , 4(1M，) 1, 5 ,3(2M，且垂直于07326zyx的平面 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 39 页解：法一：，所求平面法向量21MMn，且 3, 2,61nn取10,3,6326347121kji

49、nMMn又平面过点)2, 1 ,4(1M，则平面方程为071036zyx解法2. 在平面上任取一点),(zyxM，则211MMMM和 3 ,2, 61n共面，由三向量共面的充要条件得0347326214zyx，整理得所求平面方程（9） 、求过直线0220121zyxzyxl，且与直线2l：211zyx平行的平面 . 解：用平面束。设过直线1l的平面束方程为0)22(12zyxzyx因为所求平面与直线2l：211zyx平行，则所求平面的法向量(1 ,2,21) 与直线2l的方向向量(1,-1,2),从而50)1(2)2()21(，因此所求平面方程为0114311zyx。（10） 、求通过x轴其与

50、点5,4,13M相距 8 个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为0.ByCz它与点5,4,13M相距 8 个单位，从而22224138.481041050.BCBBCCBC因此1235430.BCBC从而得12350BC或430.BC于是有:35:12B C或:3:4 .B C所求平面为35120yz或340.yz(11)求过 A(1,1,-2) ，B（-2，-2,2） ，C（ 1，-1,2）三点的平面方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 39 页（12） 、 已知直线13021:1zyxL， 直线11122:2zyx