2022年北师大版九年级四边形相似难题 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载四边形 + 相似难题1、如图， AB CD 、AD CE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过G 的直线依次交AB、AD 、CD、CE于点 M、N、P、Q，求证： MN+PQ=2PN2、如图， 在 ABC 中，P 为中线 AM 上任一点， CP 的延长线交AB 于 D，BP的延长线交AC于 E，连结 DE。（1）求证： DE BC；（2）如图，在 ABC 中，DEBC，DC、BE交于 P，连结 AP 并延长交BC于 M，试问：M 是否为 BC 的中点？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页优秀

2、学习资料欢迎下载3、（ 1） 如 图 1， 在 等 边 ABC中 ， 点 M 是 BC 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 B、 C ） ，连 结 AM ， 以 AM 为 边 作 等 边 AMN ， 连 结 CN 求 证 ： ABC= ACN 【 类 比 探 究 】（ 2） 如 图 2， 在 等 边 ABC中 ， 点 M 是 BC 延 长 线 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 C） ，其 它 条 件 不 变 ， （ 1） 中 结 论 ABC= ACN还 成 立 吗 ？ 请 说 明 理 由 【 拓 展 延 伸 】（ 3） 如 图 3， 在 等 腰 ABC中 ， BA=BC， 点

3、 M 是 BC 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 B、C） ，连 结 AM ，以AM为 边 作 等 腰 AMN ，使 顶 角 AMN= ABC 连 结 CN 试 探究 ABC与 ACN的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 4、如图，在直角三角形ABC 中（ C=90 ） ，放置边长分别3 ，4 ，x 的三个正方形，则x 的值为（）5、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载5、如 图 ， 边 长 为6的 大 正 方 形 中 有 两 个 小 正 方 形 ， 若 两 个 小 正 方 形 的

4、 面 积 分 别 为S1， S2， 则 S1+S2的 值 为6、已知：如图， DE 是 ABC 的中位线，点P 是 DE 的中点， CP 的延长线交AB 于点 Q，那么 SDPQ：SABC= 7、如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EFAE，EF分别交 AC，CD 于点 M ，F，BGAC ，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H（1）求 证： ABE ECF；（2）找出 与 ABH 相似的三角形，并证 明；（3）若 E是 BC 中点， BC=2AB ，AB=2 ，求 EM 的 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，

5、共 15 页优秀学习资料欢迎下载8、（1）如 图（1），正方形AEGH 的顶点 E、H 在正方形ABCD 的边上，直接 写 出 HD ：GC：EB 的结果（不必 写计 算过程）；（2）将图 （ 1）中的正方形AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD ：GC：EB （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如 图（3），且已知 DA ：AB=HA ：AE=m ：n，此 时 HD ：GC：EB的 值与（2）小题的结果相比有 变化吗？如果有 变化，直接 写 出变化后的 结果（不必 写计 算过程）9、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

6、 4 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载10、在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,BE,CE分别交于G,H 。设三角形CDH三角形 GHE 的面积分别为S1,S2, 则 S1： S2= 11、如图，在 Rt ABC 中，ABC=90 ， BA=BC 点 D 是 AB 的中点， 连接 CD，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 CD 、CA 于点 E、F，与过 点 A 且垂直于 AB 的直 线相交于点 G，连接 DF给出以下四 个结论 ：S ABC=5S BDF，其中正确的 结论 序号是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5

7、 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载12、如图 1 ，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交CD 于点 F另一边交CB 的延长线于点G（1 ）求证： EF=EG ；（2 ）如图 2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1 ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3 ）如图 3，将（ 2）中的 “ 正方形 ABCD ” 改为 “ 矩形 ABCD ” ，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 AB=a 、BC=b ，求的值精选学习资料 - - - - -

8、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载答案：1、【答案】分析：根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系证明：延长 BA 、EC，设交点为O，则四边形OADC 为平行四边形，F 是 AC 的中点，DF 的延长线必过O 点，且AB CD，AD CE，=又=，OQ=3DNCQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页优秀学习资料欢迎

9、下载AN+CQ=2DN=2 即 MN+PQ=2PN点评：综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理2、解析：（ 1）在 AM 的延长线上取一点N，使 PM=MN ，连接 BN， CN 又 BM=CM 四边形 BNCP 是平行四边形【对角线互相平分的四边形是平行四边形】DC/BN AD/AB=AP/AN BE/NC AE/AC=AP/AN AD/AB=AE/AC DE/BC （2）过 B作 BQ CD 交 AM 的延长线于Q DEBC， BEQC 四边形BPCQ是平行四边形M 是 BC 的中点3、（ 1） 证 明 ： ABC、 AMN是 等 边 三 角 形 ， AB=AC， AM=AN，

10、 BAC= MAN=60， BAM= CAN， 在 BAM和 CAN中 ， BAM CAN（ SAS） ， ABC= ACN（ 2） 解 ： 结 论 ABC= ACN仍 成 立 ；理 由 如 下 ： ABC、 AMN是 等 边 三 角 形 ， AB=AC， AM=AN， BAC= MAN=60， BAM= CAN， 在 BAM和 CAN中 ， ABC= ACN（ 3） 解 ： ABC= ACN；理 由 如 下 ： BA=BC， MA=MN ， 顶 角 ABC= AMN ， 底 角 BAC= MAN ， ABC AMN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

11、 - - - -第 8 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载，又 BAM= BAC- MAC ， CAN= MAN- MAC ， BAM= CAN， BAM CAN， ABC= ACN4、解：在 RtABC 中（ C=90 ） ，放置边长分别3，4 ，x 的三个正方形， CEF OME PFN，OE：PN=OM ：PF，EF=x ，MO=3 ，PN=4 ，OE=x-3，PF=x-4，（ x-3 ） ：4=3 ： （x-4 ） ，（ x-3 ） （x-4 ）=12 ，x=0 （不符合题意，舍去） ，x=7 5、解析 :设正方形 S1的边长为 x， ABC 和 CDE 都为等腰直角三角形，AB=B

12、C ，DE=DC ， ABC= D=90 ，tanCAB=tan45 =，即 AC=BC，同理可得： BC=CE=CD，AC=BC=2CD ，又 AD=AC+CD=6 ，CD=2，EC2=22+22，即 EC=2；S1的面积为EC2=2 2=8； MAO= MOA=45 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载AM=MO ，MO=MN ，AM=MN ，M 为 AN 的中点，S2的边长为3，S2的面积为3 3=9，S1+S2=8+9=176、解：如图，连接PADE 是中位线， P 是 DE 中点，2D

13、E=BC ；4DP=2DE=BC，SADE：SABC=1 ：4 ，DE BC， DPQ BCQ ，4QD=QB，D 是 AB 中点，BD=AD=3DQ，2QD=QA，SDPQ：SAPQ=1 ：2 ，SAPD=SAPE，SDPQ：SADE=1 ：6 ，SDPQ：SABC=1 ：24 7、（1）证明：四 边形 ABCD 是矩形， ABE= ECF=90 AE EF，AEB+ FEC=90 AEB+ BEA=90 ， BAE= CEF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载 ABE ECF；（2） AB

14、H ECM 证明： BGAC ， ABG+ BAG=90 ， ABH= ECM ，由（ 1）知，BAH= CEM ， ABH ECM；（3）解：作MR BC，垂足 为 R， AB=BE=EC=2， AB： BC=MR ：RC=2 ，AEB=45 ， MER=45 ， CR=2MR ， MR=ER=RC=， EM=8、解 ： （ 1） 连 接 AG， 正 方 形 AEGH的 顶 点 E、 H 在 正 方 形 ABCD 的 边 上 ， GAE= CAB=45， AE=AH， AB=AD， A， G， C 共 线 ， AB-AE=AD-AH ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

15、纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载 HD=BE，（ 2） 连 接 AG、 AC， ADC和 AHG都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AD： AC=AH： AG=1：， DAC= HAG=45， DAH= CAG ， DAH CAG， HD： GC=AD： AC=1：， DAB= HAE=90， DAH= BAE，在 DAH和 BAE 中 ， DAH BAE（ SAS） ， HD=EB， HD： GC ： EB ；（ 3） 有 变 化 ，连 接 AG、 AC， DA： AB=HA： AE=m： n， ADC= AHG=90， ADC AHG，

16、AD： AC=AH： AG=m：， DAC= HAG， DAH= CAG ， DAH CAG， HD： GC=AD： AC=m：， DAB= HAE=90， DAH= BAE， DA： AB=HA： AE=m： n， ADH ABE， DH： BE=AD： AB=m： n， HD： GC ： EB=m：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载： n9、10、11 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载

17、12、解答：（1）证明： GEB+ BEF=90 ， DEF+ BEF=90 ， DEF= GEB，在 FED 和 GEB 中，Rt FED Rt GEB，EF=EG ；（2 ）解：成立证明：如图，过点E 作 EHBC 于 H，过点 E 作 EPCD 于 P，四边形 ABCD 为正方形，CE 平分 BCD ，又 EHBC，EPCD ，EH=EP ，四边形 EHCP 是正方形， HEP=90 ， GEH+ HEF=90 ， PEF+ HEF=90 ， PEF= GEH ，Rt FEPRt GEH ，EF=EG ；（ 3）解：如图，过点E 作 EMBC 于 M，过点 E 作 ENCD 于 N，垂足分别为 M、N，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载则 MEN=90 ，EMAB ，ENAD CEN CAD ， CEM CAB ，即=， NEF+ FEM= GEM+ FEM=90 ， GEM= FEN ， GME= FNE=90 ， GME FNE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页