2022年北师大版八年级下册数学第一章《证明》知识点及习题160 .pdf

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1、1 / 101 等腰三角形知识点 1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等 边对 等角 )用符号 语言表示 为：如 图 11 所示，在ABC 中， ABAC， B C定理的 证明：取 BC 的中点 D， 连接 AD ABD ACD(SSS)(),()()ABACBDCDADAD中中中中中义中中中边中 B C(全等三角形的对应 角相等 )定理的作用： 证明同一个三角形中的两个内角相等拓展等腰三角形 还具有其他性 质 (1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45 (2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是 钝角或直角，但 顶 角可以是 锐角、钝角或直角(3)

2、等腰三角形的三边关系： 设腰长为 a，底边长为 b， 则a2b(4)等腰三角形的三角关系：设顶 角为 A，底角为 B， C， 则 A180 B C180 2 B180 2 C知识点 2 等腰三角形的性质定理的推 论推论 1：等腰三角形 顶角的平分 线、底边上的中 线、底边上的高互相重合(简称“ 三线合一 ”)(1)用符号 语言表示 为：如 图 13 所示， 在ABC 中， AB AC， 1 2， AD BC BDDC； 在ABC 中， AB AC， AD BC， 1 2， BDDC； 在ABC 中， AB AC， BDDC， 1 2， AD BC(2)推论 1 的证明 在ABC 中， AB A

3、C， 1 2， ADAD， ABD ACD(SAS) BDDC， ADB ADC 90 AD BC 在ABC 中， AD BC， ADB ADC90 ABAC， B C又 ADAD， Rt ADB RtADC(AAS) 12， BD CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 在ABC 中， AB AC， ADAD， BD CD， ABD ACD(SSS) 12， ADB ADC90 ， AD BC.(3)推论 1 的作用：证明角相等、 线段相等或垂直 .推论 2：等 边三角形的三个角都相等，并且每个角都等

4、于60 (1)用符号 语言表示 为：如 图 14 所示，在ABC 中， ABBCAC， A B C 60 (2)推论 2 的证明： ABAC， B C ABBC， A C A B C又 A+ B+ C180 ，即3 A180 ， A B C60 知识 点 3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角 对等 边)用符号 语言表示 为：如 图 16 所示，在ABC 中， B C， ABAC判定定理的 证 明：如 图 16 所示过 A 作 AD BC 于 D， 则 ADB ADC90 B C， ADAD， ABD ACD(AAS) ， ABAC 判定定理

5、的作用： 证明同一个三角形中的边 相等拓展如图 16 所示，在 ABC 中，(1)如果 AD BC， 1 2，那么 ABAC；(2)如果 AD BC， BDDC，那么 ABAC；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10(3)如果 1 2， BDDC，那么 ABAC知识 点 4 等腰三角形的判定定理的推论推论 1(1)推论 1 的内容：有一个角等于60 的等腰三角形是等边 三角形(2)用符号 语言表示 为：如 图 18 所示，在ABC 中， AB AC， A60(或 B60 或 C 60)， ABACBC(3)

6、推论 1 的证明：在ABC 中， ABAC， B C又 A60 ， B C6001802A ABAC BC(或 B 60 ， A180 2 B60 ABACBC或 C 60 ， A1802 C60 ABACBC ) 推 论 2(1)推论 2 的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形(2)用符号 语言表示 为：如 图 18 所示，在ABC 中， A B C， ABACBC(3)推论 2 的证明：在ABC 中， A B， BCAC(等角 对等边)又 B C， AB AC(等角 对等边) AB ACBC(4)推论 1 和推 论 2 的作用：证明一个三角形是等边三角形拓展判定一个三角形是等边三角形主要

7、有以下三种方法：(1)根据等 边三角形的定 义 ， 证明三条 边相等；(2)根据推 论 1， 证明两条 边相等，有一个角是60 ；(3)根据推 论 2， 证明三个角都相等 推 论 3(1)推论 3 的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30。，那么它所 对 的直角 边等于斜 边的一半(2)用符号 语言表示 为：如 图 19 所示，在 Rt ABC 中， C90 ， A30 ， BCAB21(3)推论 3 的作用：证明一条 线段是另一条 线段的一半或2 倍精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10知识 点 5

8、 反证法先假 设命题的 结论 不成立，然后从假 设出发，推导出与定 义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结 果，从而否定假 设， 证明命 题的结论 一定成立， 这 种证明方法称 为 反证法拓展反证法是一种常用的间 接证明方法，用反 证法的一般步 骤是：(1)假设命题不成立；(2)从假 设出发推 导出矛盾；(3)否定假 设，从而肯定命 题的结论 规律方法小 结1 转化思想：在等腰三角形的性质 定理和判定定理的证明过程中，都是通 过构造全等三角形， 转化为全等得以 证明的2 类比思想：采用 类比思想，把等腰三角形的性质和判定 对照着学 习3用反证 法进行证明时，注意推理的 规范性和 逻辑 的严密性

9、，不能忽略任何一种可能的情况探究交流想一想：还有其他方法 证明等腰三角形的性质定理 吗？解析有，作等腰三角形ABC 的顶角平分 线 AD，如图 12 所示 ., )(),(21, )(公共边角平分线定义已知ADADACAB ABD ACD(SAS). B C(全等三角形的对应 角相等 )课堂 检测1、如图 110 所示，在ABC 中，ABAC， ADAC， AEAB求证 BDCE32322、如图 112 所示，已知点 D， E 在ABC 的边 BC 上，ABAC， ADAE求证 BDCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 1

10、0 页5 / 103、如 图 1 13 所示，已知 CAE 是ABC 的一个外角， 1 2， AD BC，求证ABC 是等腰三角形4、下面是数学 课堂的一个学 习片段，阅读 后，回答问题 学习等腰三角形的有关内容后，张 老师请 同学 们交流 讨论这样 一个 问题 ：已知等腰三角形 ABC 的 A 等于 30 ，求其余两角同学 们经过 片刻的思考与交流后，李明同学举手说： “ 其余两角是30 和 120 ” 王华同学 说： “ 其余两角是75 和 75 ” 还有一些同学也提出了不同的看法假如你也在 课 堂上，你的意 见如何 ?为什么 ?5、已知等边三角形 ABC 和点 P， 设点 P 到ABC

11、三边 AB， AC， BC 的距离分 别是 h1， h2， h3， ABC 的高为 h，若点 P 在边 BC 上，如图 117(1)所示，此时 h30，可得结论 ： h1+h2+h3h请直接 应用上述信息解决下列问题 ：点 P 在ABC 内，如图 117(2)所示点 P 在ABC 外，如图 117(3)所示，这两种情况 时，上述结论 是否还 成立 ?若成立， 请给 出证明；若不成立，h1， h2， h3与 h 之间又有怎 样的关系 ?请写出你的猜想，不需证明体验 中考1、已知等腰三角形ABC 的周 长为 10若设腰长为 x， 则 x 的取 值范围是2、如图 120 所示，在ABC 和DEF 中

12、，ABDE， BECF， B 1求证 ACDF (要求：写出证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10过程中的重要依据)2 直角三角形知识概览图知识点 1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角 边的平方和等于斜 边的平方，即 c2a2+b2(c 为斜边长) 勾股定理的作用(1)已知直角三角形的两 边求第三 边(2)已知直角三角形的一条 边，求另外两条边的数量关系(3)用于证明平方关系的 问题(4)利用勾股定理作出 长为的线段n勾股定理的各种表达形式在 Rt ABC 中， C90 ， A， B， C

13、 的对边长 分别为 a， b， c， 则a2c2b2， b2c2a2， c2a2+b2， c， a， b22ba22bc22ac勾股定理的逆定理：如果三角形两 边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股定理： a2+b2c2（a， b 为直角边长， c 为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形

14、是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先确定最大 边(如 c)(2)验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系若 c2a2+b2， 则 ABC 是直角三角形；若 c2 a2+b2， 则 ABC 不是直角三角形勾股数(1)能够成为直角三角形三 边长的三个正整数称 为勾股数或勾股弦数(2)勾股数必 须是正整数如 3， 4， 5； 5， 12， 13等拓展应用勾股定理 时，必 须是在同一直角三角形中； 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形 时，一定是最长边所对的角是直角，其他两 边所对的角是 锐角知识点 2 互逆命 题

15、与互逆定理在两个命 题中，如果一个命题的条件和 结论分别是另一个命 题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命 题，其中一个命题称为另一个命 题的逆命 题拓展每个命 题都有逆命 题原命题是真命 题，而它的逆命题不一定是真命 题原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真如果一个定理的逆命 题经过证 明是真命 题那么它也是一个定理，这两个定理称 为互逆定理，其中一个定理称 为另一个定理的逆定理拓展每个命 题都有逆命 题但不是所有的定理都有逆定理 .知识点 3 直角三角形全等的判定定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

16、 7 页，共 10 页8 / 10直角三角形全等的判定定理：斜 边和一条直角 边对应 相等的两个直角三角形全等 这一定理可以 简单地用“ 斜边、直角边” 或“HL ” 表示 定理的作用：判定两个直角三角形全等 定理的 证明：如 图 130所示，已知 Rt ABC， Rt A B C ， C C 90 ，ABA B ， ACA C ，求 证 Rt ABC Rt A B C 证明： 在 ABC 和 A B C 中， C C 90 ， BC， B C .22ACAB22CABA ABA B ， ACA C ， BCB C Rt ABC RtABC (SSS)知识拓展“HL ” 是直角三角形所独有的判

17、定定理， 对于一般三角形不成立判定两个直角三角形全等 时， 这两个直角三角形已 经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必 须有一个是 边对应 相等与一般三角形全等一 样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等课堂检测1、写出命题“ 同位角相等，两直 线平行” 的逆命 题，并判断真假2、如 图 131 所示，在 Rt ABC 中， ACB90 ，AB50， BC30， CD AB 于点 D，求CD 的长3、在正方形 ABCD 中，如图 132 所示，F 为 DC 的中点，E 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

18、 8 页，共 10 页9 / 10BC 上一点，且 ECBC，求 证 EFA90 414、 试判断三 边长分别为 2n2+2n， 2n+1， 2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如 图 1-38 所示，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得 MAD30 ， 货轮以每小 时20 海里的速度航行， 1 小时后到达 B 处， 测得 MBD=45 ， 该货轮 到达灯塔 M 的正东方向的 D处时， 货轮与灯塔 M 的距离是多少 ?(精确到 0 1 海里， 1 732)3体验中考1、如 图 1-41 所示，在 ABC 中， AB=AC ， AD 是底边上的高，若 AB=5 cm， BC=6 cm，求AD 的长度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 102、如 图 145 所示，在直角梯形 ABCD 中 AD BC， ABC90 ， DE AC 于点 F，交BC于点 G，交AB 的延长线于点 E，且AEAC（ 1）求 证 BGFG；（ 2）若ADDC2，求AB 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页