2022年北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展 3.pdf

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1、学习必备欢迎下载学科：数学教学内容：导数与微分知识拓展（一）【知识拓展】1若函数yf（x）是由参数方程所确定的，该怎样求它的导数？前面我们讨论了显函数和隐函数的导数，但在某些情况下，因变量 y 与自变量 x 的关系是通过另一参变量t 由参数方程tx和ty来给出的，对于这类函数，有时可以把它很简单地表示成显函数的形式，但有时就比较麻烦甚至不可能因此， 我们有必要找出这类函数的求导方法设tx的反函数xt1， 并设它满足反函数求导的条件，于是可把y 看作复合函数.xty1由复合函数与反函数的求导法则，得.ttdtdxdtdydxdydtdydxdy.dxdy, tsiny, tcosx1所确定的函数

2、的导数求参数方程例. tcottsintcostcostsindtdxdtdydxdy规范解法.dxyd数所确定的函数的二阶导，2tty1,tx求参数方程例22223思路启迪根据二阶导数的定义,dxyddxdydxddxyd22因此要求,dxyd22只要把 y 对 x 的导数y求出来， 再将y与 xt1 联系，重复利用参数方程求导公式，求出y对 x 的导数，即dxdy也即是我们要求y 对 x 的二阶导数.dxyd22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载.2t324t61tt4t3dtdxdxdydtd

3、dxdydxddxyd. t4t3dtdxdtdydxdy2222规范解法如果函数 yf（x）是由极坐标方程（）给出来的，则可把极坐标方程先化成参数方程，再求导数即 x（）cos,y（） sin,从而.tantansincoscossinddxddydxdy2什么是罗尔定理？我们先考察一个函数2xxfy，容易验证这个函数满足：（）在闭区间1，1上连续（）在开区间（1，1）内可导（） f（ 1） f（1） 1这个函数的导数,0 x2xf,x2xf令得 x0（ 1，1）即在开区间（1， 1）内存在点x使得00f（如图 314） 一般地，我们有（即罗尔定理）若函数 f（x）满足条件 （） 在闭区间

4、a,b上连续； （） 在开区间 （a,b）内可导； （）在区间 a,b的两个端点的函数值相等，即 f （a） f （ b） ， 则至少存在一点b, a使得. 0f罗尔定理的几何意义是：两个端点的纵坐标相等的处处存在切线（端点除外） 的连续曲线 yf（x）上，至少有一点f ,的切线是水平的如图315精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载.3, 1x,3x2xxf2满足罗尔定理证明例,1x22x2xf.03f1f ,3x1xxf规范证法显然 f（x）满足罗尔定理的三个条件，其中a 1,b3存在点 1（ 1，

5、3） ，使. 01f即符合罗尔定理的结论3什么是拉格朗日中值定理？在罗尔定理的几何意义中，可以看出在罗尔定理的条件下，曲线上至少有一条切线是水平的，这时曲线的两个端点的连线也是水平的（f（a） f（b） ） ，因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线这个结论可以推广到更一般的情况，即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理）若函数 f（x）满足：（）在闭区间a,b上连续；（）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点 （ a，b） ，使.abafbffaxabafbfafxfxF证明：作辅助函数容易验证， F（x）在 a，b上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点（ a，b） ，使.0F

6、.abafbff. 0abafbffF,abafbfxf)x(F即从而又拉格朗日中值定理的几何意义是：处处存在切线( 两个端点除外) 的连续曲线yf(x)上，至少有一条切线平行于两个端点的连线( 如图 316) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载在拉格朗日定理的证明中，采用的方法是先作出一个辅助函数，故这种方法也称辅助函数法 辅助函数法也称为构造法它是数学分析中一种重要的证题方法，这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数，然后再由已知条件、概念和定理， 推断所要证明的结论的正确性拉格朗

7、日定理是应用最广泛的微分中值定理，也是微分学中最重要的定理之一，它的结论常称为拉格朗日中值公式为运用方便，可把这个公式写成下列几种形式.10 x, xxfxfxxf.10,ababafafbf.ba,abfafbf.ba,abafbff000.10 x,xxfy0对于这些公式要灵活运用，比如：不必局限于a0 时，.a0faa即f.0af0fa即f上应用拉格朗日定理，0，a在x由f再由 f（x）在 b,ab上应用拉格朗日定理得.bayb,ayfbfbaf因xf单调递减，故对aby，有yff注意到 a0，故有yf af a，于是.afbff abfbaf从上面可以看出，拉格朗日中值定理是罗尔定理的

8、推广，而罗尔定理是拉格朗日的一种特殊情况（只要令f（a） f（ b）即得罗尔定理） 4怎样利用导数求不定式的极限？我们先看几个例子：.431x4x3xlim不存在；x1sinlimxx1xsinlim0;xlimxxlim22x0 x0 x0 x20 x从上面几个例子可以看出，有两个函数f（x）和 g（ x） ，当 xa（或 x）时都趋于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载零，或都趋于穷大，但这时的极限xgxflimxax可能存在，也可能不存在，通常把这种类型的极限称为不定式的极限若xa 时， f（x

9、）与 g（x）都趋于0，则称极限xgxflimax为00型不定式； 若当 xa 时，f（x）与 g（x）都趋于无穷大， 则称极限xgxflimax为型不定式 关于不定式的极限，我们有下面的结论.xgxflimxgxflim且存在,xgxflim则.包括存在xgxflim0;xglimxflim0;xg可导，且在点a的某去心邻域内xg,x若f洛必达法则型不定式.00(1)axaxaxaxaxax注：上面等式的右端分式是左端分式的分子和分母分别求导的结果，即是xgxf，而不是xgxf，这一点在利用上面的公式时一定要注意若xgxflimax仍是一个不定式，并且 它 仍 满 足 上 面 的 三 个 条

10、 件 ， 则 此 时 对xgxflimax再 用 一 次 洛 必 达 法 则 ， 即 此 时 有xgxflimxgxflimaxax，即洛必达法则可以重复应用上面的x 的变化趋势xa 可换成ax，,xx,x,ax或结论仍成立 .00 xsinxxcosxxlim10 x型求例思路启迪由于当 x0 时，x xcosx0,xsinx0，所以这是一个不定式，考虑利用洛必达法则规范解法易知这是00型不定式，应用洛必达法则得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载.xcoslimxsinxlimxcosxsinx

11、limxsinxcosxxsinxsinlimxcosxsinxxcoslimxsinxxcosxxlimxxxxxx312220011000000型点评本题在应用一次洛必达法则以后得极限：xcos1xsinxxcos1lim0 x由极限公式：当 x0 时，1cosxxsinx0,1 cosx0,故仍是一个不定式，且它的分子分母分别求导之后的极限存在，因此再应用一次洛必达法则.00 xxsinxlim230 x型求例则.0，考虑利用洛必达法x0,sinx0时，x当x思路启迪361x6xsinlimx3xcos1limxxsinxlim0 x20 x30 x规范解法.00 x1xarctan2l

12、im3x型求例思路启迪由于, 0 x1lim,0 xarctan2limxx故考虑利用洛必达法则. 1x1xlimx1x11limx1xarctan2lim22x22xx规范解法.f.g,gg,x,xxxgxf0300000004试求且已知设例思路启迪按照导数的定义，我们有.xxglim0 x0 xxglim0 x0fxflim0f20 x0 x0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载由已知0g存在可知g （x）在点 x 0 连续，故,00gxglim0 x显然0 x0 x2，故极限20 xxxgl

13、im为00型不定式 又0g存在， 从而0 x0gxglim21x2xglimxxglim0 x0 x20 x.0g21存在,xxg0 x0fxf，0 x2时当规范解法由洛必达法则得.230g210 x0gxglim21x2xglimxxglim0f0 x0 x20 x点评虽然0g存在，此时有,00gxglim0 x即x2xglim0 x仍为不定式，但我们不能再次利用洛必达法则而用以解法：.230g212xglimx2xglimxxglim0f0 x0 x20 x因为已知条件中只给出当x0 时 g（x）的两阶导数即0g存在， 而当 x0 时，g（x）的两阶导数即0 xxg不一定存在，即使0 xx

14、g存在，极限xglim0 x也不一定存在，故两次利用洛必达法则是错误的.xgxflimxgxflim也存在，且xgxflim则.包括存在xgxflim;xglim,xflim0;xg导，且在点a的某去心邻域可xg,x若f洛必达法则型不定式.(2)axaxaxaxaxax”.x,x,x,ax,aa”同样可换成“xx注：这里的变化趋热“.nxsinlnmxsinlnlim50 x型求例思路启迪由于nxsinlnlim,mxsinlnlim0 x0 x，故这是个不定式极限，考虑利用洛必达法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12

15、 页学习必备欢迎下载.1mxcosmnxcosnlimnm00mxsinnxsinlimnmnxcosmxsinmxcosnxsinnmlimnxsinlnmxsinlnlim0 x0 x0 x0 x型规范解法.0n为正整数，aexlim求例6xnx思路启迪当 x时，,e,xxn故这是个型不定式的极限，考虑利用洛必达法则，故有相继应用洛必达法则n 次得.0e! nlimex1nnlimenxlimexlimxnxxn2nxx1nxxnx规范解法点评对该不定式利用n1 次洛必达法则的每一结果仍是不定式，第n 次应用洛必达法则极限存在，故该极限需相继使用n 次洛必达法则才能求出极限除上述讨论的00

16、型与型不定式之外，在实际问题中，我们还常遇到一些象、0、00、1、0型的不定式，对于这些不定式，我们都可以通过一些变化把它变成00型或型的不定式，从而可以得到解决下面我们通过一些例题加以说明.0 xlnxlim720 x型例思路启迪由于当,lnx0,时，x0 x2故这是一个0型不定式，考虑首先将其变成00或型，再利用洛必达法则. 02xlimx2x1limx1xlnlimxlnxlim20 x30 x20 x20 x型规范解法点评上述解题过程是将0型变成型，再应用洛必达法则，我们看会出现什么结果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页

17、，共 12 页学习必备欢迎下载xlnx2limx1ln1x2lim00 xln1xlimxlnxlim220 x20 x20 x20 x型可以看出， 当变成00型再利用洛必达法则，不但求不出极限，而且结果比不用洛达法则以前更复杂，因此该极限不能变成00型求它的极限由该例我们得到启示：当将0型变成00型型或用洛必达法则求不出它的极限时，应考虑将它变成型型或00，再利用洛必达法则求之.0 xlim80 x0 x型例思路启迪对于00型不定式， 首先利用恒等式NlneN将其变成0型， 再利用上述方法求之.eexlim,xlimxxlnlimxlnxlimxlnxlimxxxxxx101000000规范

18、解法.xtanxseclim92x型求例思路启迪首先利用三角关系，将secxtanx 变成xcosxsin1再利用洛必达法则.0 xsinxcoslim00 xcosxsin1limxtanxseclim2x2x2x型规范解法.1xcoslim102x10 x型求例思路启迪因为x 0 时， cosx12x1故这是1型不定式，首先利用恒等式NlneN，并将其变成00型或型，再利用洛必达法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载.eexcoslim.xxsinxcoslimxxcoslimxxcoslnl

19、im,ecosxxcoslnlimxxxxxxxcoslnxx21100020120222211212规范解法.xxlimxlnx型求例012111思路启迪因为当 x时，.0 xln1,x1x2故这是一个0型不定式，首先利用恒等式NeNln即可. eeex1xlim.1x1x11limxlnx1xlnlim.ex1x1xlnx1xlnlimxln12x2x2xxlnx1xlnxln122x2规范解法从以上解题的过程可以看出，利用洛必达法则求不定式的极限是非常方便的，可以说，洛必达法则是解决不定式的极限的非常有用的方法因此希望读者能够熟练掌握此种方法凡遇到不定式的极限能够想到利用洛必达法则应用洛

20、必达法则应注意以下几个问题：（1）审查所求的极限是否为不定式，不是不定式不能应用洛必达法则，因为它不满足洛必法则的条件，如：1x2xsin2limx1xcos22limx1xcos22lim0 x20 x20 x是错误的因为极限20 xx1xcos22lim不是00型不定式事实上.0 x1xcos22lim20 x（2）除计算型型与00两种不定式外， 计算其他五种不定式、0、1、00、0型要用对数或代数运算将它转化为不定式型型或00，然后再应用洛必达法则（3）洛必达法则中有一个条件是极限xgxflim0 xx存在，如果极限xgxflim0 xx不存在，计精选学习资料 - - - - - - -

21、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载算极限xgxflim0 xx就不能应用洛必达法则虽然xgxflim0 xx不存在，但是极限xgxflim0 xx也有可能存在，这时计算它的极限要用其他的计算极限的方法例如，计算极限xxsinxlimx，应用洛必达法则有极限xcos1limxxsinxlimxxsinxlimxxx（不存在） ，而极限1xxsin1limxxsinxlimxx却是存在的所以该极限不能应用洛必达法则这种现象也不难解释，因为在洛必达法则中，条件xgxflim0 xx存在仅是充分条件，即当xgxflim0 xx不存在时，而极限xgxflim0 xx也有可能存在（4）应用洛必达法则计算不定式的极限，可能会出现xgxflim0 xx仍是不定式，这时可再应用洛必达法则值得说明的是，在计算极限的过程中，掌握以下这些极限（不定式）并进行运用，将可简化极限的步骤，这些极限是：.xxtanlim,xxlnlim,aalnxalim,xxcoslim,exlim,exlim,xxsinlimxxxxxxxxxx等11101211111100020100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页