2022年解析几何知识点总结 .pdf

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1、名师总结精品知识点解析几何知识点总结第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围： （0,180）2.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.k=tan（1）.倾斜角为90的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。（3）设经过A（x1,y1）和 B（x2,y2）两点的直线的斜率为K，则当 X1X2时， k=tan=Y1-Y2 /X1-X2；当 X

2、1=X2时， =90；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（ x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程： y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx 注意：正确理解“截距 ”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（ x2,y2）两点，且（ X1X2，y1 y2）则直线的方程：121121xxxxy

3、yyy；注意：不能表示与x 轴和 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式0)()(112112xxyyyyxx时， 方程可以适应在于任何一条直线。4 截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a， b （a 0， b 0） 则直线方程：1byax；注意： 1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0 ； （A,B 不同时为零） ；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。三、两条直线的位置关系位置关

4、系222111:bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师总结精品知识点平行21kk，且21bb212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0) 重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或1221BABA时它们相交， 交点坐标为方程组2211bxkybxky或0022

5、2111CyBxACyBxA解；五、点到直线的距离公式：1. 点 P(X0，Y0)到直线L: Ax+By+C=0的距离为：2200|BACByAxd；2. 两平行线L1: Ax+By+C1=0 ，L2: Ax+By+C2=0的距离为：2221|BACCd；六、直线系：（1）设直线L1: A1x+B1y+C1=0 ，L2: A2x+B2y+C2=0 ，经过L1,L2的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去 L2） ；如：Y=kx+1y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与 x=0 的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。直线L: （m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个

6、定点。（2）和L: Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0（3）与L: Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0 ；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a.b ）关于C （c,d ）的对称点（2c-a,2d-b ）直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用L1/L2由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2

7、 页，共 10 页名师总结精品知识点如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1, 1(P对称的直线2l的方程。（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。直线关于直线对称： （设ba,关于l对称）、若 a.b 相交，则a 到 L 的角等于b 到 L 的角；若a L，则 bL，且 a.b 与 L 的距离相等。、求出a 上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为

8、所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。第二部分：圆与方程2.1 圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222ryx. 2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r ；(2)点在圆外dr ；(3)点在圆内dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M在圆C内22020)()(rbyax M 在圆 C 上22020)()rbyax（ M 在圆 C 外22020)()(rb

9、yax2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx. 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：（ 1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师总结精品知识点0422AFED. 圆的直径系方程：已知AB是圆的直径0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2.4 直线与圆的位置关系：直线0CByA

10、x与圆222)()(rbyax的位置关系有三种， d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad(1)0相离rd；(2)0相切rd； （3）0相交rd。2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd； （2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr； （4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外切相交内切内含2.6 圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径r； （2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点

11、在圆外。若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7 圆的弦长问题：半弦2L、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义： 平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师总结精品知识点圆，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a|F1F2|=2c ；

12、这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（cFFa2221时为线段21FF，cFFa2221无轨迹）。2标准方程：222cab焦点在x 轴上：12222byax（ab0） ； 焦点 F（ c，0）焦点在y 轴上：12222bxay（ ab0） ； 焦点 F（0, c）注意：在两种标准方程中，总有ab0，222cba并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：221xymn或者), 0,0(122nmnmnymx二椭圆的简单几何性质： 1. 范围（1）椭圆12222byax（ ab0） 横坐标 -a xa , 纵坐标 -bxb （2）椭圆12222bxay（ab0） 横坐

13、标 -b xb, 纵坐标 -a x a 2.对称性椭圆关于x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0） ，A2（a，0） ，B1（0，-b） ，B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4 离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作 e（10e） ，22221()beaac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

14、 5 页，共 10 页名师总结精品知识点e 越接近于 0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于 1 （e 越大），椭圆越扁；5椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 6. 几何性质（1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）abAB22（ 2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221bSFMF其中21MFF7 直线与椭圆的位置关系：(1) 判断方法 : 联立直线方程与椭圆方程消y( 或 x) 得到关于x 的一元

15、二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点000(2) 弦中点问题 : （用点差法解决） 斜率为 k 的直线 l与椭圆),0, 0( 12222nmnmnymx交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是 AB的中点，则：0022yxmnkAB(3) 弦长公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（第四部分：双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0, 0(12222babxay精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

16、 -第 6 页，共 10 页名师总结精品知识点定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨 迹 叫 双 曲 线 。 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 。aMFMFM221212FFa范围xa，yRya，xR对称轴x轴 ，y轴；实轴长为2a, 虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2( ,0)Fc1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122F Fc顶点坐标（a,0 ） (a,0) (0, a,) (0，a) 离心率eace(1) 重要结论（1）通径（

17、过焦点且垂直于实轴的弦）abAB22（2）焦点三角形：2cot2tan2221bbSFMF渐近线方程xabyyabx共 渐 近 线的 双 曲 线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长 =半虚轴长；xyP1F2FxyxyP1F2Fxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师总结精品知识点（2）其标准方程为Cyx22其中 C0；（3）离心率2e；（4）渐近线：两条渐近线y=x 互相垂直；第五部分：抛物线知识点总结图象)0(22ppxy)0(22ppxy

18、)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。MFM=点 M到直线l的距离 范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1 准线方程2px2px2py2py焦点到准线的距离p焦半径11(,)A xy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFyx y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 精选学习资料 - - - - -

19、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师总结精品知识点焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy抛物线，)0(p联立方程法：pxybkxy220)

20、(2222bxpkbxk设 交 点 坐 标 为),(11yxA,),(22yxB， 则 有0, 以 及2121,xxxx， 还 可 进 一 步 求 出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦 AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b. 中点),(00yxM, 2210 xxx，2210yyy点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy22

21、22pxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师总结精品知识点将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线 段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页