24等比数列(必修5优秀课件).ppt

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1、2022年年7月月8日星期五日星期五全力以赴的最大障碍是自以为全力以赴全力以赴的最大障碍是自以为全力以赴! 美国普林斯顿大学美国普林斯顿大学武汉大学武汉大学2012年大学中国排名第年大学中国排名第8名名2012年大学世界排名第年大学世界排名第8名名如果一碗面由如果一碗面由256256根面条组根面条组成成, ,请问需要拉面师傅拉几请问需要拉面师傅拉几次才能得到次才能得到? ?拉面时前拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列次拉伸成的面条根数构成一个数列: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子

2、意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也取不完” 。11111 24816，如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，视为一份，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6， 9 97 7堤堤 、木，、木， 巢、巢、 鸟、鸟、 雏、雏、 毛、毛、 色色依次构成数列：依次构成数列： 出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，

3、几有九色，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？雏，几毛，几色？孙子算经孙子算经有下面的问题：有下面的问题： 某富豪购买了某富豪购买了一辆宾利雅致汽车，一辆宾利雅致汽车，购买时的价格是购买时的价格是10001000万元，每年的万元，每年的折旧率是折旧率是10%10%, ,问这问这辆车各年开始时的辆车各年开始时的价格分别是多少价格分别是多少? ? （单位：万元）（单位：万元）10001000，100010000.90.9，100010000.90.92 2 , 1010000.93, 10000.93各年汽车的价格组成数列：各年汽车的价格组成数列：宾利雅致宾利雅致银行利息复利计算（1）

4、1，2，4，8，16，32, 64, 128, 256探究探究:观察归纳：观察归纳：（2）（4） 10001000，100010000.90.9，100010000.90.92 2, ,10000.93, 10000.93共同特点：共同特点：从第从第2项起，每一项与它的前项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。一项的比等于同一个常数。q=2q=q=0.9（3） 9 9，9 92 2，9 93 3，9 94 4，9 95 5，9 96 6， 9 97 7q=9 定义符号表示是：定义符号表示是： 或或11111 24816，121(2)nnaq na1nnaqa等比数列的定义的理解 na1nn

5、aqa*()nN(q为常数）是等比数列.如写成行不行？如写成行不行？ 1nnaqa能否改写为能否改写为 na*()n N(q为常数）是等比数列1nnaa q？为什么不能为什么不能？一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，项起，每每一项与前一项一项与前一项的的比比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列等比数列. .*(2,)nnN(1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1，(2) ,161,81,41,21(5) 1，0，1，0， 练练 习习 判断下列各组数列中哪些是等判断下列各组数列中哪些是等比比数

6、列，哪数列，哪些不是？如果是，写出首项些不是？如果是，写出首项a1 1和公和公比比q, , 如如果不是，说明理由。果不是，说明理由。是是是是是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不不是是11122aq，(6) 0，0，0，0，(7) 1, a, a2, a3 , (8) x0, x, x2, x3 , (9) 1，2，6，18，不是不是不是不是小结：小结：主要是由定义进行判断：主要是由定义进行判断：a1=x0, q=x是是不是不是1nnaa看看 是不是同一个常数？是不是同一个常数？注意：注意：(2)公比公比q一定是由一定是由后项比前项后项比前项所得，而不所得，而不

7、能用前项比后项来求，且能用前项比后项来求，且q0；(1) 等比数列等比数列an中中, an0；(3)若若q1，则该数列为，则该数列为常数列常数列 (4)(4)常数列常数列 a, a , a , a , 0a时时, ,既是等差数列，又是等比数列既是等差数列，又是等比数列;0a时时, ,只是等差数列，而不是等比数列只是等差数列，而不是等比数列. .思考：思考：如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数G，使，使a, G, b成等比数列，那么成等比数列，那么G应该满足什么条件？应该满足什么条件？2反之，若反之，若即即a,G,b成等比数列成等比数列.a, G, b成等比数列成等比数列,2ab

8、G 则则,GbaG abG (ab0) 分析：分析： 由由a, G, b成等比数列得：成等比数列得： abGabGGbaG 2(ab0) 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G，b成等比数列，那么称这个数成等比数列，那么称这个数G为为a与与b的的等比中项等比中项. 3.等比中项：等比中项：2(0)(0)GabGababGabab 是 、 的等比中项即：即： 注意：注意：若若a，b异号则无等比中项异号则无等比中项,若若a，b同号则有两个等比中项同号则有两个等比中项.14580（）求与的等比中项babccab求的等比中项，且与是）已知（,272603b练习练习：2122

9、11.nnnnnnnaaa aaaa 已已知知数数列列 满满足足: :或或（n n2 2） ，则则该该数数列列也也是是等等比比数数列列。等比数列的通项公式：累乘等比数列的通项公式：累乘法法 11145342312.nnnnqaaaaaaaaaaaa11nnqaa等比数列注：等比数列注：（1 1）等比数列的首项不为）等比数列的首项不为0 0； （3 3） q=1q=1时，时，anan为常数列；为常数列； （2 2）等比数列的每一项都不为）等比数列的每一项都不为0 0，即，即0na 以以a1为首项，为首项，q为公比的等比数列为公比的等比数列an的通的通项公式为：项公式为：4.等比数列的通项公式：等

10、比数列的通项公式：5.5.等比数列通项公式的推广：等比数列通项公式的推广：7.7.等比数列通项公式的应用：知三求一等比数列通项公式的应用：知三求一111nnmnnnnmaaaqqqaaa，6.6.等比数列的公比公式：等比数列的公比公式：1*11(,0)nnaaqa qnN；*(,0,)n mnmmaaqaqm nN； 例、一个等比数列的第例、一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项. 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1项是项是 ,公比是公比是q ，那么，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此31

11、6 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.1a1831qa1221qa练习：练习： 求下列各等比数列的通项公式：求下列各等比数列的通项公式：(1) a15, 且且2an13an .35(2)1 ,9aa例例2 2已知数列已知数列aan n 满足满足S Sn n4a4an n2 2，求求aan n 的通项公式的通项公式. . 123123a ,aaa7,a a a8ann例3、已知等比数列若，求课堂小结课堂小结等比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数通项通项公式公式1通项通项公式公式2中项中项()nmaan m d*( ,)n mN从第从第2

12、项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等于等于同一个常数同一个常数公差公差(d )d 可正、可负、可零可正、可负、可零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数公比公比(q )q可正、可负、可正、可负、不可零不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，n mnmaa q*(0,)qn mN，A2Aabab是 、 的等差中项2(0)GabGabab是 、 的等比中项2( )A. 0. 1. 2. 02bacf xaxbxcxBCD如果实数 是 ， 的等比中项，则的图象与 轴交点的个数是（）.或A练习练习:若数列若数列a

13、n的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则用通项公式表示是：则用通项公式表示是：an=2 n1上式还可以写成上式还可以写成nna221可见，表示这个等比数列可见，表示这个等比数列的各点都在函数的各点都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。 0 1 2 3 4 nan87654321 的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：xy221通项公式法通项公式法:an= bcn判断等比数列的方法判断等比数列的方法:1、(定义法定义法)利用利用an / an-1是否是一个与是否是一个与n无关的常数无关的常数2、(通项公式法通项公式法)判断判断an= bcn (bc 0

14、为常数为常数)例、例、有三个数成等比数列，若它们的积有三个数成等比数列，若它们的积等于等于64，和等于，和等于14，求此三个数？，求此三个数？注意：注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为等比数列中若三个数成等比数列，可以设为 2,a aq aq 或, ,a aqaq练习：已知三个数成等比数列，它们的积为练习：已知三个数成等比数列，它们的积为2727， 它们的立方和为它们的立方和为8181，求这三个数。，求这三个数。例、例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的积等于它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们，后三个数成等差数列，它们的和等于的和等

15、于12，求此四个数？，求此四个数？注意：注意：等比数列中若四个数成等比数列，等比数列中若四个数成等比数列，不能不能设为设为 33,aaaq aqqq因为这种设法表示公比大于零！因为这种设法表示公比大于零！练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。，求这四个数。可以设这可以设这四个数为四个数为a,b,c,d15,9,3,1或或0,4,8,16某种放射性物质不断变化为其他物质，每经某种放射性物

16、质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物这种物质的质的半衰期半衰期为多长为多长(精确到精确到1年年)？放射性物质衰变放射性物质衰变到原来的一半所到原来的一半所需时间称为这种需时间称为这种物质的半衰期物质的半衰期 .nnnaa解:设这种物质最初的质量为1，经过 年，剩留量是由条件可得，数列是一个等比数列，其中lg0.84lg0.54nn两边取对数，得得0.840.5n1110.84 0.840.84nnnnaa q又10.840.840.5naqa，4.答：这种物质的半衰期大约为 年1.等差数列等差数列：银行利息按单利计算（利息没有利息）本

17、利和=本金（1+利率存期）例如：存入10000元，利率为0.72%存期年初本金年末本利和（元）结果第一年1000010000（1+0.7251）10072第二年1000010000（1+0.7252）10144第三年1000010000（1+0.7253）10216第四年1000010000（1+0.7254）10288特点：每一项与前一项的差是同一个常数2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利）本金和=本金（1+利率）存期存期年初本金年末本利和（元）第一年1000010000（1+1.98%）1第二年100001.019810000（1+1.98%）2第三年100001.0198210000

18、（1+1.98%）3第四年100001.0198310000（1+1.98%）4例如：存入10000元，利率为1.98%特点：后一顶与前一项的比是同一个常数n2n3n6是n）21(n)31(n)61(是结论：如果是项数相同的等结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列比数列，那么也是等比数列 na nbnnba 证明：设数列证明：设数列 的公比为的公比为p， 的公比为的公比为q，那么数列，那么数列 的第的第n项与第项与第n+1项分项分别为别为 与与 ，即，即 与与 因为因为它是一个与它是一个与n无关的常数，所以是一个以无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列为公比的等比数列 na n

19、bnnba 1n11n1qbpan1n1qbpa1n11)pq(ban11)pq(ba,pq)pq(ba)pq(bababa1n11n11nn1n1n 特别地特别地，如果是如果是 等比数列，等比数列，c是不等是不等于的常数，那么数列于的常数，那么数列 也是等比数列也是等比数列 nanac探究探究对于例中的等比数列与，数列也一定是等比数列吗？ na nbnnba是a a若若aan nbbn n 是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，nnba都是等比数列都是等比数列则则aan nb bn n 和和b b若若aan n 是等比数列，是等比数列，c c是不等于是不等于0 0的常数，的常数， 那么

20、那么cacan n 也是等比数列也是等比数列等比数列的性质性质 : 在等比数列 中， 为公比， 若 且naq*,Nqpnm qpnm那么： 等比数列的性质nmpqa aa a推论: 在等比数列 中， 为公比， 若 且nad*,Npnmpnm2那么： 2nmsa aa特殊地特殊地: 211( )(2)nnnaaan小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：32415na, 6,15a1求为等比数列，、数列例aaaa6)(151-314111qqaqaqaann）（解： 除除2q21q2512或解得得：qq4a1a2q4-a16-a21q3131，时，当，时，当小组展示任务分配表小组

21、展示任务分配表典型例题：典型例题：变式、在变式、在160160与与5 5中间插入中间插入4 4个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成等比数列等比数列小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：变式、在变式、在160160与与5 5中间插入中间插入4 4个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成等比数列等比数列10a20a40a80a21q3215,160a543251661，则解：设qaaa小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：例例2 2、已知数列、已知数列 的通项公式为的通项公式为 , ,试问这个数试问这个数列是列是等比数列吗？为什么？等比数列吗？为什么？nann3a 小组展示任务分配表小组展示任务分配表典型例题：典型例题：例例2 2、已知数列、已知数列 的通项公式为的通项公式为 , ,试问这个数试问这个数列是等比数列吗？为什么？列是等比数列吗？为什么？na为公比的等比数列为首项，是以所以数列则解：由33a333a33an1n1n11nnnnnnaann3a