2022年计算方法总结 .pdf

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1、第一章：基本概念1. 12.12.1.mmmmnmnxx xx xxxx12.12.mmmmnxx xx xxx若1102nxx，称x准确到 n 位小数，mnx及其以前的非零数字称为准确数字。各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。2. 12.( )0.ltf xxx xx进制：，字长：t，阶码：l，可表示的总数：12(1)(1)1tUL3.计算机数字表达式误差来源实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。4. 数据误差影响的估计：121(,.)nniix xxyyxx121( ,.)nniiiyyx xxxxyxy，小条件数。解接近于零的都是病态

2、问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。5.算法的稳定性若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。第二章：解线性代数方程组的直接法1.高斯消去法步骤：消元过程与回代过程。顺利进行的条件：系数矩阵A 不为零； A 是对称正定矩阵，A 是严格对角占优矩阵。2.列主元高斯消去法失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。解决：在消去过程的第K步，交换主元。还有行主元法，全主元法。3.三角分解法杜立特尔分解即LU分解。用于解方程LYbAXbLUXbUXY；用于求1122.nnALUL UUu uu。克罗特分解：11()()ALU

3、LDDULDD U，下三角阵和单位上三角阵的乘积。将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。对称正定矩阵的乔列斯基分解，TAGG，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解AXb的平方根法。改进平方根法：利用矩阵的TALDL分解。4.舍入误差对解的影响精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页向量范数定义：常用的向量范数：矩阵的范数：常用的矩阵范数：矩阵范数与向量范数的相容性：影响：()1xbAkAxbAkA，其中1( )cond AkA A，k 值大， 病态问题。第三章：插值法1.定义给定 n+1 个互不相同的点

4、，xi 及在 xi 处的函数值yi(i=0 n)，构造一个次数不超过n 次的多项式：20111( ).nnPxaa xa xa x，使满足( )niiP xy。取( )( )nf xP x。称( )nP x为插值多项式，ix为插值节点，( )f x为被插函数。插值问题具有唯一性。2.Lagrange插值多项式表达式：误差估计式：3.Newton插值多项式差商：表达式：误差表达式：差商的性质：1)差商与节点的次序无关；2)K 阶差商对应K阶导数；3) 4) 5) 4.埃尔米特（带导数）插值多项式1)Newton 法，给定f 及 f(k)为数字；2)Lagrange 法，给定f 及 f(k)为表达

5、式。5.三次样条插值函数分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间 xi-1,xi上是三次多项式，S(xi)=yi，s(x)在a,b上连续。三次样条插值函数的导出：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页第四章：函数最优逼近法1.最优平方逼近对于广义多项式：001122( )( )( )( ).( )nnP xcxcxcxcx，其中( )ix线性无关。要求：若 f(x)是表格函数， 确定 P(x)称为最小二乘拟合函数，当( )iixx，P(x)为最小二乘多项式；若 f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。2.函

6、数的内积，范数定义及其性质内积的定义：性质：范数的定义：范数的性质：正规方程组或法方程组：3.正交多项式正交函数系的定义：代入正规方程组的系数矩阵，则：几个正交多项式举例：1)勒让德多项式2)拉盖尔多项式3)埃尔米特多项式4)切比雪夫多项式四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P 多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。正交多项式的性质：1)正交多项式( )kg x线性无关，推论：( )()kP x kn与( )ng x正交。2)在区间 a,b或min(xi),max(xi) 上， n 次正交多项式gn(x)有 n 个不同的零点。3)设( )kg x是最高次项系数为1 的正交多项式，

7、则：4.最优一致逼近法(1)切比雪夫多项式的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页性质 1：( )kT x是-1,1上关于21( )1xx的正交多项式，00(,),(,)/ 2kkT TT T；性质 2：11( )2( )( )kkkTxxT xTx；性质 3：( )kT x是最高次项为12kkx的 k 次多项式，2( )kTx只含 x 的偶次项，21( )kTx只含x 的奇次项；性质 4：( )kT x有 k 个不同的零点，21cos,0,1.12iixikk；性质 5：在 -1,1上，( )1kTx，且在 k+

8、1 个极值点cos,0,1.iixikk处( )kTx依次取得最大值 1 和-1；性质 6：设 Pn(x)是任意一个最高次项系数为1 的 n 次多项式，则：11111111max( )max( )22nnnnxxPxTx(2)最优一致逼近法的定义设函数 f(x)在区间 a,b连续， 若 n次多项式001122( )( )( )( ).( )nnnP xcxcxcxcx使max( )( )nnax bPfP xf x达到最小，则称( )nPx为( )f x在a,b上的最优一致逼近函数。切比雪夫定理： n 次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间 a,b上最优一致逼近多项式的充要条件是 误 差(

9、)()()R xfxP x在 区 间 a,b 上 以 正 负 或 负 正 交 替 的 符 号 依 次 取 得max( )a x bER x的点（偏差点）的个数不少于n+2。采用如下方程组进行求解：(3)近似最优一致逼近多项式思路：使用 T 多项式性质6 若区间是 -1,1，取 xi(i=0 n)为 Tn+1的零点，则21cos(),02(1)iixinn，以此构造插值多项式Pn(x)；若区间是 a,b，通过转换,-1,122abbaxt t；方法 1：由21cos(),02(1)iitinn，构造 Pn(t)，然后将2xabtba代入 Pn(t)，可精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页得 Pn(x)。方法 2：取21cos22222(1)iiabbaabbaixtn，i=0n；构造 Pn(x)。例：(4)截断切比雪夫级数法设 f(x)在-1,1 上连续，0( )( )nkkkS xC Tx，其中(,)(,)kkkTk fCT T；记0( )( )nnkkkS xC Tx；应用切比雪夫定理及性质5，取0( )( )( )nnkkkfxS xC Tx。(5)缩短幂级数法方法 1：方法 2：第五章：数值微积分第一节 牛顿柯特斯公式( ) 1()( ) ( )( )( )( )bbxaaI fx f x dxf

11、x dxF bF a一数值算法1.数值积分算法对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。2.插值型数值积分方法对于拉格朗日插值多项式，广义积分中值定理：若f(x)在a,b上连续， g(x)在a,b上部变号，则,a b，使( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx3.牛顿柯特斯公式梯形公式：辛普森公式：二复化求积公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页1. ( )( )baI ff x dx，把a,b分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单

12、低次数值积分公式，在将其得到的结果相加。2.复化梯形公式3.复化辛普森公式三变步长的积分公式1.先取一步长h 进行计算， 再取较小步长h*计算， 若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。2.变步长复化梯形公式3.变步长复化辛普森公式四龙贝格积分法第二节 待定系数法1.代数精度定义对于近似公式( )( )IfQ f，如果f(x)是任意不超过m 次的多项式，( )()I fQ f成立，而对于某个m+1 多项式，( )()I fQ f，称代数精度为m 次。2.判定方法近似式的代数精度为m 次对( )1, ,.,mf xxx，

13、 近 似 式 精 确 成 立 ，()( )I fQ f，1( )mf xx时 不 成 立 ，()()I fQ f。梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano 定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页第三节 高斯型积分公式一定义节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Guass型求积公式。插值型积分公式定义：定理：数值积分公式()( )I fQ f至少有 n 次代数精度近似式是插值型积分公式。对于牛顿科特斯公式，若采用等距节点，n 分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n 和 n+1。二最高代数精度定

14、理：21mnSo，给定 n+1 个节点， 具有 2n+1 次代数精度的插值型数值积分公式称为Gauss型求积公式。三 Gauss型积分公式的构造方法方法 1：代数精度为2n+1，则( )1, ,.,mfxxx时成立，可解出iA和ix。方法 2：定理：代数精度21mnix是a,b上关于( )x的正交多项式1( )ngx的零点 (高斯点 )，其中( ) ( )biiaAx l x dx。四高斯型求积公式的误差五常用的高斯型求积公式1.Gauss-Legendre求积公式101( )( )( )niiif x dxA f xQ f，ix是1( )nPx的 n+1 个零点。n=0 n=1 2.Gaus

15、s-Laguerre求积公式00( )( )( )nxiiief x dxA f xQ f000( )( )( )xxxf x dxee f x dxe F x dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页()00( )()( )xa tataef x dxef at dxee F t dt3.Gauss-Hermite 求积公式20( )( )( )nxiiief x dxA f xQ f4.Gauss-Chebyshev求积公式1201( )21(cos)1221nif xidxfnnx第四节 数值微分0()( )(

16、 )limhf xhf xfxh，h 大，不精确，h 小，由于小除数引入大误差。近似函数法取等节距节点，0,0,1,.ixxih in(1)一阶导数， n=1，两个节点0 x1x(2)一阶导数， n=2，三个节点0 x1x2x(3)二阶导数， n=2，三个节点0 x1x2x实用误差估计例：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页第六章 非线性方程的迭代解法第一节 方程求根法根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数使 f()=0，称是非线性方程组f(x)=0的根。零点存在定理： 若 f(x)是闭区间 a,b上的连续

17、函数，若 f(a)f(b)0，则必然存在 , a b，使f()=0。试探法，二分法。一简单迭代法初值0 x，1()kkxx，产生迭代序列kx。简单迭代收敛定理（压缩映像原理）对于迭代函数( ) x， 若满足 (1)若 , ,( ) , xa bxa b； (2)存在正数0L1，超线性收敛；P=2，平方收敛。定理：设是方程( )xx的根，如果迭代函数( ) x满足(1)()()( ).()0,()0PP1()kkxx产生的迭代序列kx是 P阶收敛。二牛顿迭代法1()()kkkkf xxxfx收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值0 xx，产生迭代序列收敛。收敛定理：设f(x)在a,b上二阶导

18、数存在，若( ) ( )0f a f b，( )f x在a,b上单调，( )f x在a,b上凹向不变 （即( )fx在区间上不变号） ，初值0 x满足00()()0f xfx，则任意初值0 , xa b，有牛顿迭代法产生的kx收敛于方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页程的唯一根。简化牛顿法：1110()()()()()kkkkkkkkkkf xf xf xxxxxxxfxfxC三弦割法或割线法用差商代替导数111()()()kkkkkkkf xxxf xf xxx第二节 线性代数方程组迭代解法Jacobi迭代法，

19、Gauss-Seidel迭代法SOR迭代法（11(1)kkkiiGSxxx）2211()optjB迭代法的收敛性：将迭代法用矩阵表示：ADEF，1kkxBxgJacobi迭代法：G-S迭代法：SOR迭代法：定理：1kkxBxg，对0 x产生的迭代序列kx收敛的充要条件是：lim0kkB或()1B。推论 1：若1B，则收敛；推论 2： SOR方法收敛的必要条件是02；推论 3：设 A 是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S，01的 SOR方法收敛；推论 4： 1)设 A 是对称正定矩阵，则G-S方法收敛； 2) 设 A 是对称正定矩阵，若2D-A 也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-

20、A 不对称正定，则Jacobi方法不收敛； 3) 设 A 是对称正定矩阵，02，则 SOR方法收敛。第三节 非线性方程组的迭代解法11()()kkkkxxfxf x第七章 矩阵特征值和特征向量矩阵 A 主特征值模最大的特征值取为主特征值。对 n 个互不相同的特征值123.n，对应特征向量123n；任意向量01 122.nnzccc0kkzA Z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页111klimkkzc，kz是对应 A 的1的特征向量，11()()kikizz规范乘幂法1kkyAz，ky按模取最大分量maxkkym，

21、kkkyzm。01limkkz，01是1的规范化向量；1limkkm。加速法（原点位移法）1kkyApI z第八章 常微分方程数值解法的导出0( )( , ( )( )y xfx y xy ay一数值微分法欧拉公式：1(,)iiiiyyhf xy后退欧拉公式：111(,)iiiiyyhfxy终点法：112(,)iiiiyyhfx y局部截断误差：21()( )2iihy xyy二数值积分法111(,)(,)2iiiiiihyyf x yf xy预估1( ,)iiiiyyhf x y，校正111(,)(,)2iiiiiihyyf x yf xy三泰勒展示法四线性多步法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页