2022年北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析 2.pdf

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1、B A O D C E 图 8 七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形OCD ，连结 AC和 BD，相交于点E，连结 BC求 AEB的大小；（ 2）如图 8， OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点 O 旋转（OAB和OCD不能重叠），求 AEB的大小 .2. 已知 :点 C 为线段 AB上一点， ACM, CBN 都是等边三角形，且AN、BM 相交于 O. 求证： AN=BM 求 AOB 的度数。 若 AN、MC 相交于点P， BM、NC

2、交于点 Q，求证： PQAB。（湘潭中考题）同类变式 ： 如图 a，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接 AF和 BE. (1) 线段 AF和 BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2) 将图 a 中的 CEF绕点 C旋转一定的角度，得到图 b，(1) 中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3) 若将图 a 中的 ABC绕点 C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c( 草图即可) ，(1) 中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图 c 3. 如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形C

3、 B O D 图 7 A E A B C M N O P Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页（ 1）当把ADE绕A点旋转到图10 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（ 2）当ADE绕A点旋转到图11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由同 类 变 式 ： 已 知 ， 如 图 所 示 ， 在ABC和ADE中 ，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD， ，在一条直线上， 连接BECDMN，分别为BECD，的中点（ 1）求证：BECD；AN

4、AM；（ 2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABG ADE ；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；图 9 图 10 图 11 C E N D A B M 图C A E M B D N 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（ 0BAE180） ，设ABE的面积为1S，ADG的面积为2S，判断

5、1S与2S的大小关系，并给予证明5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论C G A E D B F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1.如图， ABC 中， ACB90 ，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于D求证：（ 1）AECD；（ 2）若 AC12 cm，

6、求 BD 的长C F G E D B A H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页2.（西安中考）如图(1), 已知 ABC中, BAC=900, AB=AC, AE是过 A的一条直线 , 且 B、C在 A、E的异侧 , BD AE于 D, CEAE于 E 。图(1) 图(2) 图(3) (1) 试说明 : BD=DE+CE. (2) 若直线 AE绕 A点旋转到图 (2) 位置时 (BDCE), 其余条件不变 , 问 BD与 DE、CE的关系如何 ? 写出结论 , 可不说明理由。3. 直 线CD 经 过B C A的

7、顶 点C， CA=CB E、F 分 别 是 直 线CD 上 两 点 ， 且BECCFA（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线 CD上，请解决下面两个问题：如图1，若90 ,90BCA，则EFBEAF（填“” ， “”或“”号） ；如图 2，若01 80BCA，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（2）如图 3，若直线CD 经过BCA的外部，BCA，请探究EF 、与 BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

8、 - - - -第 4 页，共 11 页考点 2：利用角相等证明垂直1.已知 BE ，CF是 ABC的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP与 AQ的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰Rt ABC中， ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1) 求证： CD=BF ；(2) 求证： AD CF；(3) 连接AF，试判断 ACF的形状 . 拓展巩固： 如图 9 所示， ABC是等腰直角三角形，ACB90， AD 是 BC边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交AB于点 E，交 AD 于点 F，求证： ADC BDE（提示： 对比

9、此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？ ）BACEFQPDA B C D E F 图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页3. 如图 1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC. （ 1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（ 2） 将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图 2， 连接AE和GC.你认为（ 1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 4. 如图 1，ABC的边BC在直线l上

10、，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2 的位置时，EP交AC于点Q, 连接,AP BQ. 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点 Q,连结,AP BQ, 你认为（ 2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. l (1) A B (F) (E) C P A B E C

11、 F P Q (2) l A B E C F P l (3) Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1.如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC交于F求证：BEAF，AECFABCDEF2.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,E A C 三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M ，连结,ME MC 试判断EMC的形状，并说明理由MEDCBA压轴题拓展： （三线合一性质

12、的应用）已知RtABC中，ACBC，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时 （如图 1） ， 易证12DEFCEFABCSSS 当E D F绕D点旋转到DE和AC不垂直时， 在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

13、- - - - - -第 7 页，共 11 页3.已知：如图，ABC中， ABC=45， CDAB 于 D，BE平分 ABC，且 BE AC于 E，与 CD相交于点F，H 是 BC边的中点，连结DH 与 BE相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE =12BF(3)CE与 BC的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1.如图 1，四边形ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E在 AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点F . 如图 141 ，当点 E在 AB 边

14、的中点位置时： 通过测量DE，EF 的长度，猜想DE 与 EF 满足的数量关系是； 连接点 E 与 AD 边的中点N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E在 AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得 NE=BF ，进而猜想此时DE 与 EF有怎样的数量关系并证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页2. 在 Rt ABC中， ACBC， ACB90 ，D 是 AC的中点， DGAC交 AB于点 G. （1）如图 1， E为线段 DC上任意一点，点F在

15、线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF与 CF ，过点 F作 FHFC，交直线 AB于点 H求证： DG=DC 判断 FH 与 FC的数量关系并加以证明（ 2）若 E为线段 DC的延长线上任意一点，点F在射线 DG上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）同类变式：（期末考试原题哦）已知： ABC为等边三角形，M 是 BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且 60o 角的顶点 E在 BC上滑动，（点 E不与点 B、C重合） ，斜边与 ACM的平分线CF交于点 F（

16、 1）如图（ 1）当点 E在 BC边得中点位置时1 猜想 AE与 EF满足的数量关系是. 2 连结点 E与边得中点，猜想和满足的数量关系是. 3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？ADBCGE图 2 GHFEDCBA图 1 图（1）NFMCBAE图（ 2）FMCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页四、 角平分线问题1. 如图： E在线段 CD上， EA 、EB分别平分 DAB和 CBA, AEB=90 , 设 AD x, BC y，且,x y满足2268

17、250 xyxy（1）求 AD和 BC的长； （2）你认为 AD和 BC还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由. 2. 如图， OP是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、CE 分别是 BAC 、 BCA的平分线， AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与 FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然

18、成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3. (北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作 CEAB于 E，并且1()2AEABAD ，则ABCADC等于多少？EDCBA4. 如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . A C B D E EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

19、 - - -第 10 页，共 11 页五、中点问题1. 在 ABC中, D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F, 交AC的平行线BG于点G。DEGF, 并交AB于点E. 连结EG. （ 1）求证 : BGCF；（ 2）请猜想BECF与EF的大小关系 , 并加以证明2.如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为BC边的中点求证：2ABDEEDCBA3.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线求证2CDCE（提示：倍长中线试试）EDCBA附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90BADCAE.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是； 线段AM与DE的数量关系是；将图 中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图 所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由图NMEDCBA图NMEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页