2022年北师大课标版九年级数学下册教案圆周角和圆心角的关系 .pdf

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1、名师精编优秀教案教学目标( 一) 教学知识点1掌握圆周角定理几个推论的内容2会熟练运用推论解决问题( 二) 能力训练要求1培养学生观察、分析及理解问题的能力2在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式( 三) 情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点圆周角定理的几个推论的应用教学难点理解几个推论的“ 题设 ” 和“ 结论 ” 教学方法指导探索法教学过程创设问题情境，引入新课 师 请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系? 生 学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即圆周角定理 师 我

2、们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法? 生 分类讨论、化归、转化思想方法 师 同学们请看下面这个问题：已知弦 AB和 CD交于 O内一点 P，如下图求证： PA PB=PC PD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀教案 师生共析 要证 PA PBPC PD ，可证由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以 PD 、PB为边的三角形相似由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和 BD 要证 PAC PDB 由已知条件可得APC与 DPB相等，如能再找到一对角相等如A D 或C B便

3、可证得所求结论如何寻找A=D 或 C=B.要想解决这个问题我们需先进行下面的学习讲授新课 师 请同学们画一个圆，以A、 C为端点的弧所对的圆周角有多少个?( 至少画三个 ) 它们的大小有什么关系?你是如何得到的? 生 弧 AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的 师 大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的ABC ADC AEC?(同学们互相交流、讨论 ) 生 由图可以看出，ABC 、 ADC和 AEC是同弧 (弧 AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角AOC的一半，所以这几个圆周角相等 师 通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题A=D

4、或 C B 找到答案了吗? 生 找到了， 它们属于同弧所对的圆周角由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知 A D或 C B 师 如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗? 生 一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样， 我们便可得到等弧所对的圆周角相等 师 通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀教案 师 若将上面推论中的“ 同弧或等弧 ” 改为 “ 同弦或等弦 ” ，结论成立吗?请同学们互相议一议 生 如

5、图，结论不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的 . 注意： (1) “ 同弧 ” 指“ 同一个圆 ” (2) “ 等弧 ” 指“ 在同圆或等圆中” (3) “ 同弧或等弧 ” 不能改为 “ 同弦或等弦 ” 师 接下来我们看下面的问题：如图， BC是 O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?( 同学们互相交流，讨论) 生 直径 BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是 BOC=180 ，所以 BAC= 90 师 反过来，在图中，如果圆周角BAC=90 ，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么 ? 生 弦

6、BC经过圆心O ，因为圆周角BAC=90 连结 OB 、OC ，所以圆心角BOC=180 ，即BOC是一条线段，也就是BC是 O的一条直径 师 通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：直径所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角 直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题 师 为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题( 出示投影片332 B) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀教案 例

7、 如图示， AB是 O的直径， BD是 O的弦，延长BD到 C ，使 AC=AB ，BD与 CD的大小有什么关系 ?为什么 ? 师生共析 由于 AB是 O的直径，故连接AD 由推论直径所对的圆周角是直角，便可得ADBC，又因为 ABC中， AC AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD 下面哪位同学能叙述一下理由? 生BD=CD 理由是：连结 AD AB是 O的直径， ADB=90 即 AD BC 又 AC AB, BD CD 师 通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下， 我们探索上述问题时，用到了哪些方法?试举例说明 生 在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的

8、方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说， 学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念 .P107随堂练习1为什么有些电影院的坐位排列( 横排 ) 呈圆弧形？说一说这种设计的合理性答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等2如下图，哪个角与BAC相等 ? 答： BDC BAC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

9、 - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀教案3. 如下图， O的直径 AB10 cm ，C为 O上的一点，ABC 30 ，求 AC的长解： AB为 O的直径 ACB=90 又 ABC=30 ， AC=AB= 10=5(cm) 4小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么 ? 答：图 (2) 是半圆形、理由是：90 的圆周角所对的弦是直径下面我们一起来看一个问题：做一做( 出示投影片 3 32 C) 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点

10、，ACB就是 “ 危险角 ” 当船与两个灯塔的夹角大于“ 危险角 ” 时，就有可能触礁； 当船与两个灯塔的夹角小于“ 危险角 ” 时，就能避免触礁(1) 当船与两个灯塔的夹角大于 “ 危险角 ” 时，船位于哪个区域?为什么 ? (2) 当船与两个灯塔的夹角小于 “ 危险角 ” 时，船位于哪个区域?为什么 ? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“ 危险角 ” ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为 ，P有可能在 O外， P有可能在 O内，当 C时，船位于暗礁区域内；当 C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证解： (1) 当船与两个灯塔的夹角大于 “ 危险角 ” C

11、时，船位于暗礁区域内( 即 O内) ，理由是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀教案连结 BE，假设船在 ( O上，则有 =C，这与 C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在 O外，则有 AEB ， 即 C， 这与 C矛盾，所以船不可能在O外因此船只能位于O内(2) 当船与两个灯塔的夹角小于 “ 危险角 ” C 时，船位于暗礁区域外( 即 O外) 理由是：假设船在 O上，则有 C，这与 AEB ，即 C这与 C矛盾，所以船不可能在O内，因此，船只能位于 O外注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1) 假设命题的

12、结论不成立；(2) 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾(3) 山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确课时小结本节课我们学习了圆周角定理的2 个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此， 最终实现了圆中的角( 圆心角和圆周角) ，线段 ( 弦、弦心距 ) 、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法 . 课后作业课本 P108习题 35 活动与探究1 如下图， BC为 O的直径， AD BC于

13、D，P是弧 AC上一动点，连结PB分别交 AD 、AC于点 E、F(1) 当弧 PA= 弧 AB时，求证： AE=EB ；(2) 当点 P在什么位置时，AF=EF ，证明你的结论 过程 (1) 连结 AB证 AE=EB 需证 ABE BAE (2) 执果索因寻条件：要AF=EF ，即要 A AEF ，而 AEF= BED ，而要 A=BED ，只需B C，从而转化为弧PC= 弧 AB 结果 (1) 证明：延长AD交 O于点 M ，连结 AB、BM BC为 O的直径， AD BC于 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页

14、名师精编优秀教案弧 AB=弧 BM BAD BMD 又弧 AB=弧 AP， ABP= BMD BAD ABP AEBE(2) 当弧 PC= 弧 AB时， AF=EF 证明：弧PC=弧 AB， PBC= ACB 而 AEF BED 90 - PBC ， EAF=90 -ACB AEF=EAF AF=EF 板书设计圆周角和圆心角的关系一、推论一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等二、推论二：直径所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径三、例题四、随堂练习五、做一做 ( 反证法 ) 六、课时小结七、课后作业备课资料参考练习1若 O是 ABC的外接圆， OD BC于 D，且 BOD=48 则 BAC _ 2 ABC是半径为2 cm 的圆内接三角形，若BC=2 cm，则 A的度数为 . 3 在 O中， 直径 AB10cm， 弦 AC=6cm ， ACB的平分线交O于 D， 则 BC= cm， AD= cm，BD= cm参考答案： 1 48 或 132 2 60 或 120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀教案38 55摘自 http:/ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页