2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习14：经验归纳法 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（14）经验归纳法一、内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例， 观察其一般规律， 得出结论，它是一种不完全的归纳法， 也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ， （ 1 ）3 1 ， （ 1 ）4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1 ，而 1 的偶次幂是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（9102） ，四位数有 91039000个（9103） ，归纳出 n 位数共有

2、 910n-1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42推断出从 1 开始的 n 个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）二、例题例1 平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点， 1 2 第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得 12

3、3 第 4 条直线和前 3 条直线都相交，增加了3 个交点，得 123 第 5 条直线和前 4 条直线都相交，增加了4 个交点，得 1234 第 n 条直线和前 n1 条直线都相交，增加了n1 个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点123 n1（个） ，这里 n2，其和可表示为 1+（n+1） 21n, 即2) 1(nn个交点。例 2符号 n！表示正整数从 1 到 n 的連乘积，读作 n 的阶乘。例如5！12345。试比较 3n与（n+1） ！的大小（ n 是正整数）解：当

4、n 1 时，3n3, （n1） ！122 当 n 2 时，3n9，（n1） ！1236 当 n 3 时，3n27, （n1） ！123424 当 n 4 时，3n81, （n1） ！12345120 当 n 5 时，3n243, （n1） ！6！720 猜想其结论是：当n1，2，3 时，3n（n1） ！ ，当 n3时 3n（n1） ！ 。例 3 求适合等式 x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。分析：这 2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从 2 个，3 个，4 个直到发现规律为止。解：x1+x2=x1x2的正整数解是

5、x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是 x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是 x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是 x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是 x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解为 x1=x2=x3=x2001=1, x2002=2，x2003=2003。三、练习 14 1除以 3 余

6、 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数有个。2十进制的两位数21aa可记作 10a1a2, 三位数321aaa记作 100a1+10a2+a3,四位数4321aaaa记作， n 位数记作精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页3由 1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13 152，1323 n3=( )2。4用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）个1101111252222个（）2；121111n个22222n个（）2。位91111位95655（）2

7、；n位n位56551111（）2 5把自然数 1 到 100 一个个地排下去： 1239101199100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算12111131211413120191（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小 . 8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长 8 等分，分成 24 个小长方形，那么这24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽 m等分, 长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数 )那么这 mn个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边

8、都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分，切成 64 个小正方体，那么这64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长 m等分, 宽 n 等分, 高 p 等分， （m,n,p 都是大于 2 的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页三

9、、练习 14 参考答案：1.3，30，3102，310n-12.10n-1a1+10n-2a2_ +10an-1+an4. 333332, 个n2333位923433，位n234335. 192位， 901 位（50 个 18，加上 1）6. 1211111112122097. a=1,2时，aa+1(a+1)a8.4,14,6 ； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2) 9.8,24,24,8 ；8，4 （m 2）（ n-2）+(p-2) ,2 （m-2）(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2), (m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页