2022年初中数学竞赛专题选讲配方法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.3 ）配方法一、内容提要1.配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a22ab+b2写成完全平方式（ab）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：由 a2+b2配上 2ab，由 2 ab配上 a2+b2，由 a2 2ab配上 b2. 2.运用配方法解题，初中阶段主要有：用完全平方式来因式分解例如：把x4+4 因式分解 . 原式 x4+44x24x2=(x2+2)24x2这是由 a2+b2配上 2ab. 二次根式化简常用公式：aa2，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625. 我们把 526写

2、成2 2323 2)2(2322)3(（23）2. 这是由 2 ab 配上 a2+b2. 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即 a20，当 a=0 时，a2的值为 0是最小值 . 例如：求代数式a2+2a2 的最值 . a2+2a2= a2+2a+13=(a+1)2 3 当 a= 1 时, a2+2a2 有最小值 3.这是由 a22ab 配上 b2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方 . 例如 :：求方程 x2+y2+2x-4y+5=0 的解 x, y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

3、总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载解：方程x2+y2+2x-4y+1 40. 配方的可化为（x+1）2+(y2)2=0. 要使等式成立，必须且只需0201yx. 解得21yx此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、 不等式时， 也常要有配方的知识和技巧 . 二、例题例1.因式分解： a2b2a2+4abb2+1. 解： a2b2a2+4abb2+1 a2b2+2ab+1+( a2+2abb2)（折项，分组）（ ab+1）2(ab)2（配方）（ ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2.

4、化简下列二次根式：347；32；223410. 解：化简的关键是把被开方数配方347332242)32(3223. 32232223242) 13(22) 13(2226. 2234102) 12(410）（12410246222242)22(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载=22. 例3.求下列代数式的最大或最小值：x2+5x+1；2x26x+1 . 解： x2+5x+1x2+22 5x+225425+1 （ x+25）2421. （ x+25）20，其中 0 是最小值 . 即当 x=25时， x

5、2+5x+1 有最小值421. 2x26x+1 2（x2+3x-21）= 2(x2+223x+494921) 2（x+23）2+211 2（x+23）20，其中 0 是最大值，当 x=23时， 2x26x+1 有最大值211. 例4.解下列方程：x4x2+2xy+y2+1=0 ；x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解：（ x42x21）（ x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组）(x21)2+(x+y)2=0.（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”. 得0012yxx1, 1yx或11yxx2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折项，分

6、组 ) (x+y)2+6（x+y）+9+y22y+1=0. (x+y+3)2+(y1)20.（配方）0103yyx14yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载例5.已知： a,b,c,d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2,则 mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.解： mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd (分组，添项 ) =(ac+bd)2+(ad-b

7、c)2 例6.求方程x2+y2-4x+10y+16=0 的整数解解： x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项 ) （x4）2+(y+5)225（配方）25 折成两个整数的平方和，只能是0 和 25；9 和 16. 9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222yxyxyxyx或（或或（由5504yx得04yx同理，共有12 个解104yx5-9yx51yx三、练习1.因式分解：x4+x2y2+y4 ；x2-2xy+y2-6x+6y+9 ；x4+x2-2ax-a2+1. 2.化简下列二次根式：25204912422xxxx（23x25） ；223

8、4432xxxxx(1x2)；21217；53；324411；5353；（ 1465）（ 35） ；（x3）21682xx. 3 求下列代数式的最大或最小值： 2x2+10 x+1 ；21x2+x-1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载4.已知： a2+b24a2b+5 . 求：223ba的值 . 5.已知： a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求： a+b+c 的值 .6.已知：实数a, b, c 满足等式 a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式cba111值的正负 .

9、7.已知： x=3819,求：1582316262234xxxxxx.参考答案1.（ xy3）2 2. 8，0.5x，322，2210，23，10 35，72x（x3）3.当 x=25时，有最小值223x=1 时，有最大值214.a=2,b=1 代数式值是3225.136.负数。由（ a+b+c）2=0得出 ab+ac+bc0 4.值为 5。先化简已知为43，代入分母值为2，可知 x2 8x+13=0 分子可化为（ x2+2x+1 ）(x28x+13)+10 10 5.配方（ ab）2+(bc)2=0 6.36yx1 , 11, 1yx12yx7.21312111yxyxyxyx（ x-3）2+(y+5)2=9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页