2022年初中数学总复习《四边形》精品提高测试 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载四边形提高测试（一）选择题（每小题4 分，共 32 分）1 若一个多边形的内角和是外角和的5 倍， 则这个多边形的边数是（）（A） 9 （B）10 （C）11 （D）12 【提示】为了便于计算，设每个内角都相等，那么每个内角是每个外角的5 倍【答案】 D2 已知菱形ABCD的两条对角线之和为l， 面积为S， 则它的边长为（）（A）2421lS（B）221lS（C）Sl4212（D）Sl2421【提示】设两对角线长的一半为a与b，则S2 ab，l2（ab） ，边长为22ba利用a2b2 (ab)22 ab【答案】 C3如图，矩形ABCD的边长AB6，BC8，将矩形沿EF折叠，

2、使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）（A） 75 （B ）6 （ C ）10 （D） 5 【提示】设AEx，则ED8x，CEx，用勾股定理列出方程x2(8 x)262，解出x425，而OA21AC 5【答案】 A4已知：如图，在ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF 于G、H，并有下列结论：（1）BEDF；（ 2）AGGHHC；（3）EG21BG；（4）SABE3 SAGE其中正确的结论有（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个【提示】BG2 FH2 GE【答案】 D5如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，ABAE4，BC2，则BEC是（）（A） 15

3、（B）30（C ）60（D）75【提示】作EFAB于F点，则由AE2 BC2 EF，得知EAB30【答案】 D6顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是（）（A）菱形（B）对角线相等的四边形（C）对角线垂直的四边形（D）对角线垂直且互相平分的四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载【答案】 C7如图，周长为68 的矩形ABCD被分成7 个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）（A） 98 （B）196 （ C）280 （D） 284 【提示】设小矩形的长为x，宽为y，则有yxyx5

4、26874x10，y4xy40【答案】 C8如图，在ABCD中，EFBC，GHAB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0 对（B）1 对（C）2 对（D） 3 对【提示】由SBPESBPH，SPDGSPDF和SABDSCBD可知有一边过P点的 3 对平行四边形面积相等【答案】 D（二）填空题（每小题3 分，共 18 分）9一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500，那么这个多边形的边数是_【提示】由于五边形内角和为540 500，所以多边形的边数不可能超过5显然它不可能是三角形因此分四边形、五边形两种情况验证是否存在符合要求的图形【答案】 4 或 510

5、如图，P是ABCD内的一点，ABCDAPBSS平行四边形三角形32，则ABCDCPDSS平行四边形三角形_【提示】 过P点分别作AB和BC的平行线， 与ABCD的边相交， 找出 4 对全等三角形 由此可见，ABP与CDP的面积之和为ABCD面积的一半【答案】10111用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形矩形菱形正方形等腰三角形等边三角形其中一定能够拼成的图形是_（只填题号） 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载12如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么在图形

6、所在平面内，可以作为旋转中心的点的个数为_【提示】施转中心必须在公共边CD上【答案】 313如图，梯形ABCD中，ABP的面积为20 平方厘米，CDQ的面积为35 平方厘米，则阴影四边形的面积等于_平方厘米【提示】连结MNSMNPSABP，SMNQSCDQ【答案】 5514如图，将边长为1 的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30，至正方形ABCD，则旋转前后正方形重叠部分的面积是_【提示】设CD与BC的交点为M，则AM为两正方形的对称轴又设MDx，则AM2 x，用勾股定理列方程并解之即可【答案】33（三）计算题（每小题6 分，共 12 分）15如图， 一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中

7、位线长为l，求这个等腰梯形的高【提示】如下图，过B点作AC的平行线【答案】过B作BGAC，交DC的延长线于G点在梯形ABCD中，ABDC，四边形ABGC为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载CGAB，BGACEF为梯形中位线，DGDCAB2 EF2 lACBD且ACBDBGBD且BGBDBDG为等腰直角三角形高BH21DGl16如图，矩形纸片ABCD中，AB3 cm，BC 4 cm现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分AEF的面积【提示】把AF取作AEF的底

8、，AF边上的高等于AB3由折叠过程知，EF经过矩形的对称中心，FDBE，AECEAF由此可以在ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的长【答案】如图，连结AC，交EF于点O，由折叠过程可知，OAOC，O点为矩形的对称中心E、F关于O点对称，B、D也关于O点对称BEFD，ECAF，由EC折叠后与EA重合，ECEA设AFx，则BEFDADAF4x，AEAFx在RtABE中，由勾股定理，得AB2BE2AE2，即 32(4x) 2x2解得x825SAEF2138251675（cm2）故AF的长为825cm，AEF的面积为1675cm2（四）证明题（每小题5 分，共 20 分）17已知：如图，梯形ABC

9、D中，ADBC，过C作CEAB且CEAB，连结DE交BC于F求证：DFEF【提示】连结AE交BC于O，要证DFEF，因为ADBC，所以只要证OAOE，只要证四边形ABEC为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载【答案】连结AE交BC于O点，CEAB，四边形ABEC为平行四边形，OAOE又ADBC，DFEF18如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BEED，P是对角线BD上任意一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F、G求证：PFPGAB【提示】延长GP交BC于H，只要证PHPF即可，所以只

10、要证PBFPBH【答案】BEDE，EBDEDB在矩形ABCD中，ADBC，DBCADB，EBDCBD延长GP交BC于H点PGAD，PHBCPFBE，P是EBC的平分线上PFPH四边形ABHG中，AABHBHGHGA 90四边形ABHG为矩形，ABGHGPPHGPPF故PFPGAB19如图，在梯形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，MEAN交BC于点E，求证AMNE【提示】延长AN交BC延长线于点F证明NE为ABF的中位线【答案】延长AN交BC的延长线于点F，DNCN，ANDFNC，又由ADBC，得ADNFCN，ADNFCNANNFAMBM且MEAF，BEEFNE为ABF的中位线

11、，NE21ABAM20已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上求证：AE、AF把BAC三等分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载【提示】证出CAE30即可【答案】连结BD，交AC于点O，作EGAC，垂足为G点四边形AEFC为菱形，EFACGEOB四边形ABCD为正方形，OBAC，OBGE，AEAC，OB21BD21AC，EG21AE，EAG30BAE15在菱形AEFC中，AF平分EAC，EAFFAC21EAC15EABFAEFAC即AE、AF将BAC三等分（五）解

12、答题（每小题6 分，共 18 分）21如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，MCN为定角，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则CME与CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，1 3， 2 4，用 1 和 2 表示MCN以及EMCFNC【答案】BD为正方形ABCD的对称轴，1 3， 2 4，EMC180 1 3180 21同理FNC180 22EMCFNC360 2（ 1 2） MCN180（ 1 2） ，EMCFNC总与 2MCN相等因此EMCFNC始终为定角，这定角为MCN的 2 倍22如图（1）

13、，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S DMC、S DAC和SDBC分别表示DMC、DAC、DBC的面积当ABCD时，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载SDMC2DBCDACSS（ 1）如图（ 2） ，若图（ 1）中ABCD时，式是否成立？请说明理由（2）如图（ 3） ，若图（ 1）中AB与CD相交于点O时，SDMC与SDAC和SDBC有何种相等关系？证明你的结论图（ 1）图（ 2）图（ 3）【提示】DAC，DMC和DBC同底CD，通过它们在CD边上的高的关系，来确定它们面积的关系【答案】

14、（1）当ABCD时，式仍成立分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、FM为AB的中点，MN21（AEBF） SDACSDBC21DCAE21DCBF21DC（AEBF） 2 S DMCSDMC2DACDBCSS（2）对于图（ 3）有SDMC2DACDBCSS证法一：M是AB的中点，SADMSBDM，SACMSBCM，S DBCSBDMSBCMSDMC ，SDACSADMSACMSDMC得：SDBCSDAC2 SDMCSDMC2DACDBCSS证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MNl，垂足为N，BEl，垂足为E设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2则MNh1h

15、0，BEh2h1AMBM，BE2 MNh2h12（h1h0） ，h0212hhSDMC2DACDBCSS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载23已知：如图，ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MNBC，MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证EOFO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论【提示】（1）证明OEOCOF；（2）O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形【答案】（1）CE平分BCA，BCEECO又MNB

16、C，BCECEOECOCEOOEOC同理OCOFOEOF（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：OEOF，又O是AC的中点，即OAOC，四边形AECF是平行四边形CE、CF分别平分BCA、ACD，且BCAACD180，ECFECOOCF21（BCAACD） 90AECF是矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线

17、的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1) 平行四边形对角相等；(2) 平行四边形对边相等；(3) 平行四边形对角线互相平分除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例 1 如图 2-32 所示在ABCD 中， AEBC ，CFAD ，DN=BM 求证： EF与 MN互相平分分析 只要证明 ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从

18、全等三角形下手证 因为 ABCD 是平行四边形，所以ADBC ，ABCD ， B=D又 AEBC ，CFAD ，所以 AECF是矩形，从而AE=CF 所以RtABE RtCDF(HL ，或 AAS)，BE=DF 又由已知BM=DN ，所以BEM DFN(SAS) ，ME=NF 又因为 AF=CE ，AM=CN ， MAF= NCE ，所以MAF NCE(SAS) ，所以 MF=NF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载由，四边形ENFM 是平行四边形，从而对角线EF与 MN互相平分例 2 如图 2

19、-33 所示 RtABC中，BAC=90 ，AD BC于 D，BG平分 ABC ，EF BC且交 AC于 F求证：AE=CF 分析 AE 与 CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系若作GH BC于 H，由于 BG是ABC 的平分线，故AG=GH ，易知 ABG HBG 又连接 EH ，可证 ABE HBE ，从而 AE=HE 这样，将AE“转移”到EH位置设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解证 作 GH BC于 H，连接 EH 因为 BG是 ABH的平分线， GA BA，所以 GA=GH ，从而ABG HBG(AAS) ，所以 AB=HB 在 ABE及 HBE中，ABE=

20、 CBE ，BE=BE ，所以 ABE HBE(SAS) ，所以 AE=EH ， BEA= BEH 下面证明四边形EHCF 是平行四边形因为 AD GH ，所以AEG= BGH( 内错角相等 ) 又 AEG= GEH( 因为 BEA= BEH ，等角的补角相等) ， AGB= BGH( 全等三角形对应角相等) ，所以AGB= GEH 从而EH AC(内错角相等，两直线平行) 由已知 EFHC ，所以 EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE 说明 本题添加辅助线GH BC的想法是由 BG为 ABC 的平分线的信息萌生的( 角平分线上的点到角的两边距离相等 ) ，从而构造出全等三角形ABG与

21、HBG 继而发现 ABE HBE ，完成了 AE的位置到 HE位置的过渡这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载例 3 如图 2-34 所示ABCD 中， DE AB于 E，BM=MC=DC求证： EMC=3 BEM 分析 由于 EMC 是 BEM的外角，因此 EMC= B+BEM 从而，应该有B=2BEM ，这个论断在 BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两

22、个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及 M为 BC中点的条件，延长EM与 DC延长线交于F，这样 B=MCF及 BEM= F，因此，只要证明 MCF=2F即可不难发现，EDF为直角三角形 ( EDF=90 ) 及 M为斜边中点，我们的证明可从这里展开证 延长 EM交 DC的延长线于F，连接 DM 由于 CM=BM ， F=BEM ， MCF= B，所以MCF MBE(AAS) ，所以 M是 EF的中点由于ABCD及 DE AB ，所以， DE FD，三角形 DEF是直角三角形， DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知F=MDC ，又由已知 MC=CD，所以MDC= CMD ，则MC

23、F= MDC+ CMD=2 F从而EMC= F+MCF=3 F=3BEM 例 4 如图 2-35 所示矩形ABCD 中， CE BD于 E，AF平分 BAD 交 EC延长线于 F求证： CA=CF 分析 只要证明 CAF是等腰三角形，即CAF= CFA即可由于 CAF=45 -CAD ，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与CAD相等的角 a，使得 CFA=45 -a为此，延长DC交 AF于 H，并设 AF与 BC交于 G ，我们不难证明FCH= CAD 证 延长 DC交 AF于 H，显然 FCH= DCE 又在 RtBCD中，由于 CE BD ，故 DCE= DBC 因为矩形对角线相等，所以

24、DCB CDA ，从而 DBC= CAD ，因此，FCH= CAD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载又 AG平分 BAD=90 ，所以 ABG是等腰直角三角形，从而易证HCG 也是等腰直角三角形，所以CHG=45 由于 CHG 是 CHF的外角，所以CHG= CFH+ FCH=45 ，所以 CFH=45 -FCH 由，CFH=45 -CAD= CAF ，于是在三角形CAF中，有CA=CF 例 5 设正方形 ABCD 的边 CD的中点为 E，F 是 CE的中点 (图 2-36) 求证：分析 作

25、 BAF的平分线，将角分为1 与 2 相等的两部分，设法证明DAE= 1 或 2证 如图作 BAF的平分线 AH交 DC的延长线于H，则 1=2=3，所以FA=FH 设正方形边长为a，在 RtADF中，从而所以 Rt ABG RtHCG(AAS) ，从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载RtABG RtADE(SAS) ，例 6 如图 2-37 所示正方形ABCD中，在 AD的延长线上取点E，F，使 DE=AD ，DF=BD ，连接 BF分别交CD ，CE于 H，G 求证： GHD 是等腰三角

26、形分析 准确地画图可启示我们证明GDH= GHD 证 因为 DEBC ，所以四边形BCED 为平行四边形，所以1=4又 BD=FD ，所以所以 BC=GC=CD 因此， DCG 为等腰三角形，且顶角DCG=45 ，所以又所以 HDG= GHD ，从而 GH=GD，即 GHD 是等腰三角形练习十二1如图 2-38 所示 DE AC ，BFAC ，DE=BF ， ADB= DBC 求证：四边形ABCD 是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载2如图 2-39 所示在平行四边形ABCD 中，A

27、BE和 BCF都是等边三角形 求证：DEF是等边三角形3如图 2-40 所示ABCD 中， AF平分 BAD交 BC于 F，DE AF交 CB于 E求证： BE=CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载4如图 2-41 所示矩形ABCD 中， F 在 CB延长线上， AE=EF ，CF=CA 求证： BE DE 5如图 2-42 所示在正方形ABCD 中， CE垂直于 CAB的平分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页