2022年初中数学定义定理公理公式证明汇编 2.pdf

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1、初中数学定义、定理、公理、公式直线、线段、射线七上 p128 1. 过两点有且只有一条直线. （简：两点决定一条直线）七上 p132 2. 两点之间线段最短七上 p142 3. 同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 七下 p4 4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直七下 p6 5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. （简：垂线段最短）平行线的判断七下 p13 1. 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 七下 p13 2. 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 （简：平行于同一直线的两直线平行）七下 p14 3. 同位角相等，

2、两直线平行. 七下 p14 4. 内错角相等，两直线平行. 七下 p15 5. 同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质七下 p20 1. 两直线平行，同位角相等. 2. 两直线平行，内错角相等. 3. 两直线平行，同旁内角互补. 三角形三边的关系七下 p64 1. 三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系七下 p73 1. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180 .2. 直角三角形的两个锐角互余. 已知： RtABC,C=90求证： A+B=90证明： C=90， A+B+ C=180 A+ B=90七下 p75 3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

3、内角的和 . 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 全等三角形的性质、判定八上 p3 1. 全等三角形的对应边、对应角相等. 八上 p9 2. 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 八上 p11 3.角边角公理 ( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 八上 p12 4. 推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 八上 p7 5. 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 . 八上 p14 6.斜边、 直角边公理 (HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质

4、、判定八上 p20 性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 八上 p21 判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上. 等腰三角形的性质八上 p50 1. 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 ( 即等边对等角 ). 2. 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页并且垂直于底边 . 已知：ABC中，AB=AC,AD是 BAC 的角平分线求证： AD 平分 BC,AD BC. 证明： AB=AC,AD是 BAC 的角平分线 AD 平分 BC,AD BC

5、.（三线合一）八上 p50 3. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. 八上 p54 4. 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 . 等腰三角形判定八上 p52 1 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）八上 p54 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 八上 p54 3. 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 . 线段垂直平分线的性质、判定八上 p33 1. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 . 八上 p33 2. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂

6、直平分线上. 3. 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合. 轴对称、中心对称、平移、旋转八上 p30 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形八上 p32 八上 p32 2. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线八上 p33 3. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上八上 p32 4. 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 九上 p64 5. 关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 九上 p64 6. 若两

7、个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分， 那么这两个图形关于这一点成中心对称. 九上 p57 p62 7. 平移或旋转前后的图形是不变的. 中心对称是旋转的特殊形式。八下 p65 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2 . 八下 p73 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角八上 p55 直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半. 八下 p95 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. n 边形、四边形的内角和、外角和七下 p82 1. 四边形的内角和等于36

8、0 . 七下 p83 2. 四边形的外角和等于360七下 p82 3. 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2 ）180 . 七下 p83 . 推论任意多边的外角和等于360. 平行四边形性质八下 p84 1. 平行四边形的对角相等. 八下 p84 2. 平行四边形的对边相等. 3. 夹在两条平行线间的平行线段相等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页a b A B C D DDEACBCEADBCACEDAC=DE,ACB=DEBBD=ACBD=DEDBC=DEBDBC=ACBAC=BD,BC=CB过点作

9、交延长线与点，四边形是平行四边形已知：直线ab,线段 ABCD. 求证： AB=CD. 证明： a b, ABCD，四边形ABDC 是平行四边形 AB=CD 八下 p85 4. 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形判定八下 p83 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 八下 p87 2. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 八下 p87 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 八下 p87 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 八下 p88 5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形八下 p94 矩形性质1. 矩形的四个角都是直角 . 2. 矩形的对角线相等. 矩形

10、判定八下 p95 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 八下 p96 2. 有三个角是直角的四边形是矩形. 八下 p96 3. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 八下 p98 菱形性质1、菱形的四条边都相等. 2. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3、 菱形面积 =对角线乘积的一半，即abs21证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形 , 且菱形对角线互相平分设 菱 形 对 角 线 长 为x,y则S菱 形=41/2 (x/2 y/2)=1/2 xy 所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半八下 p99 菱形判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形2. 四边都相等的

11、四边形是菱形3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 八下 p100 正方形性质1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 2. 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 正方形判定八下 p100 1. 四个角都是直角， 四条边都相等的四边形是正方形2. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 . 证明：对角线互相平分平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形菱形；对角线相等的平行四边形矩形形；菱形 +矩形正方形八下 p107 等腰梯形性质1. 等腰梯形在同一底上的两个角相等. 2. 等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定八下 p108 1. 同一底上的两个角相等的

12、梯形是等腰梯形2. 对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形ABCD 中， AD BC,AC=BD. 求证：梯形ABCD 是等腰梯形。证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 . 已知：梯形ABCD中， AD BCEF，其中E是 AB 中点。求证： F 是 CD 中点证明：连接 AC 交 EF 于点 G AD BCEF AEG ABC E是 AB 中点12AEAGABAC12CGAC同理可证12CFCGCDAC F是 CD 中点 .经过三角形一边的中点与另一边平行的直线

13、，必平分第三边. （证法参照上题）八下 p89 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半)(21bal，S=Lh 已知：梯形ABCD中，AD BC, EF 是梯形的中位线，设AD=a,BC=b,EF=l, 梯形高为h。求证：)(21bal S=Lh 证明：连接AF交 BC延长线与G点ABCDDF=CFADBCG=DAG,D=DCGADFGCFAD=CG= ,ABG1EFBG,EF=BG21()21=BG212ABGEFa AFFGEFlabSShSLh梯形是中位线是的中位线九下 p36 比例的基本性质如果

14、a:b=c:d ad=bc 相似三角形判定九下 p42 1. 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页1kOBOAACOEODED1kOCOAACOFODFD1kACBABCOAFDEDEFOD九下 p46 2. 两角对应相等，两三角形相似. 九下 p44 3. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似九下 p43 4. 三边对应成比例，两三角形相似九下 p47 5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比

15、例，那么这两个直角三角形相似. 已知： RTABC 和 RTDEF ，AC 与 DF 为斜边， AB： DE=AC ：DF求证： RTABCRT DEF 证明：由勾股定理得：BC= 22AC -ABEF=22-EFDE设 AB： DE=AC ：DF=k AB:AC=DE:DF=k （ AB:AC ）2 =（DE:DF ）2 =k2AB2=k2AC2,DE2=k2DF2BC=222-k ACAC=21-k ACEF=222-k DFDF=21-k DFBC:EF=21-k AC：21-k DF=AC:DF=AB ：DE 三边对应成比例RTABCRTDEF 相似三角形性质九下 p52 1. 相似三

16、角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2. 相似三角形周长的比等于相似比. 3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 九下 p59-60 4. 位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。以三角形为例：已知：ABC与DEF是以 O 为位似中心的位似图形，位似比为1：k 求证：ABC与DEF的相似比为1：k ABC与DEF是以O 为位似中心的位似图形 理可得,ABCDEF，ABC与DEF的相似比为 1：k 圆九上 p791. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 九上 p90 2. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径. 的点的集合 . 3. 圆的外部可以看作是到

17、圆心的距离大于半径的点的集合. 九上 p79 4. 同圆或等圆的半径相等. 九上 p92 5. 不在同一直线上的三点确定一个圆。垂径定理九上 p81 1. 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 . 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于1kBCEFOBCOEFOBOCBCOEOFEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页,OAOB ADBDODABCDAB又,11,22(BACDOEAB OFCDAEAB CFCAECFOAEOCFAECFOAOCOAEOCF HOEOF在Rt和Rt中RtRt弦，并且平分弦所

18、对的两条弧 . 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 . 已知：AB为圆 O的一条弦，CE垂直平分AB ，垂足为D 求证： CE是过点 O ，ACBC,AEBE证明：假设CE不过点 O 连接 OA,OD,OB 过点 D 有两条直线与AB 垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立 CE 是过点 O，即 CE是圆 O的直径根据推论1，可得ACBC,AEBE平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 . 已知： O 为圆心， CE 是直径，ACBC求证：AEBE，ECAB，ADBDACBC AOC BOC. OA=OB AOB 为等腰三

19、角形，CE 平分它的顶角。从 “ 三线合一定理” ，ECAB，ADBD又 AOE 180 -AOC 180 -BOC BOE. AEBE九上 p82 3. 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 . 九上 p83 4. 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等 . 5. 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等. 以下是等弦推出等弦心距的情况，其他的类似已知： AB ，CD为圆 O的两条等弦 , OEAB, OF CD求证： OE=OF 证明：九上 p85 圆周角定理 ： 一条弧所对的圆周

20、角等于它所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆 （或直径） 所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径. 九上 p87 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 . 三角形的外心， 三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等. 如图， 三种ABC中，1l为 AB 的垂直平分线，2l为 BC 的垂直平分线，1l与2l交于点O，连接 OA 、OB 、OC ，1l是 AB 的垂直平分线， OBOA 又2l是 BC的垂直平分线OBOC 故 OA OB OC O在 BC的垂直平分线上，即 AC的

21、垂直平分线过点O。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页OAlOBl又OAAlBl又九上 p97 三角形的内心， 三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等. 已知， I 是三角形 ABC中ABC和BAC的角平分线的交点求证： AI 平分BCA，I 到三边的距离相等证明：作,IDBC IEACIFAB I是三角形ABC中ABC和BAC的角平分线的交点,IDIF IDIEIFIE点 I 在BCA的角平分线上，即AI 平分BCA且IDIFIE直角三角形三边为a、b、c，c 为斜边，则外 接 圆 的 半

22、 径2cR； 内 切 圆 的 半 径2a b cr已知例2：如图， RtABC ， C=90，两直角边 a，b，斜边为 c，它的内切圆O分别与BC，AC ，AB相切于点D、E、F （ 1）求这个三角形外接圆半径R和内切圆的半径 r. 解：做出如图辅助线, C=90AB为外接圆直径直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点外接圆半径R=c2（ 2）Rt ABC的内切圆 O分别与 BC ，AC ，AB相切于点D、E、F ,OEAC ODBC四边形 CDOE 是矩形，又OE=OD 矩形 CDOE 是正方形， EC=CD=r 由切线长定理可得：BD=BF=a-r AF=AE=b-r AF+BF=c a-r+

23、 b-r=c 2ab cr九上 p94 直线和圆的位置关系直线 L 和O 相交 d r 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 d r 九上 p95 切线的判定： 经过半径的外端且垂直于这切线九上 p96切线的性质 ： 圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 已知：直线l 是圆 O切线， A为切点， OBl，垂足为B 求证：直线OB 不经过 A 点证明：假设直线 OB 不过 A 点直线 l 是圆 O切线， A为切点过点 O有两条直线OA和 OB与直线 l 垂直，这与 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立直线 OB 过 A 点

24、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 已知：直线 l 是圆 O切线，A 为切点， ABl，AB 与圆 O 交于点 B 求证：直线AB 过圆心 O证明：假设直线AB 不经过圆心 O直线 l 是圆 O切线， A为切点过点 A有两条直线OA和 AB与直线 l 垂直，这精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页ABBCCDDEEAABBCCDDEEA,3ABBCCDDEEA BCECDAABABBCDE同理与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立直线 AB 过圆心 O九上 p97 切线长定理 .从圆外一

25、点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 圆和圆的位置关系如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上证明： 圆是轴对称图形， 过圆心的直线是它的对称轴， 两圆组成的图形也是轴对称图形，连心线是它的对称轴，假设切点不在连心线上，则它关于连心线的对称点也不在连心线上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相切只有一个公共点矛盾，所以切点一定在连心线上九上 p100两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r dR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(R r) 两圆内含dR-r(R r) 正多边形和圆依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形n(n3

26、):以五边形为例已知：圆O中, 求证：五边形ABCDE 是O的内接正五边形又，五边形 ABCDE 的顶点都在圆O 上，五边形 ABCDE 是圆 O的内接正五边形。经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。已五边形为例，经过圆的五等分点作圆的切线，观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？已知， PQ 、QR 、RS 、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的 O的切线求证： 五边形 PQRST 是O的外切正五边形证明：,OAOBOEAOBAOEABOAEOABOBAOAEOEAOABOBAOAEOEAO PQ、QR 、RS 、ST分别是经过分点A、B、C

27、、D、E的 O的切线PAB=TAE,()PAPB TATEPABPBATAETEAPABPBATAETEAABAEPABTAE ASAOAPTOAP= OATOAP- OAB= OAT- OAE即,PAPBTATEPTQPPAPBTATEPQQRRSSTTP同理， RC=CQ=QB=BP,ES=SD=DR=RC,T=S= R=RC=CQ=QB=ES=SD=DR五边形PQRST 是 O的外切正五边形定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 以五边形为例证明：如果正五边形ABCDE 有外接圆， 则 A、B、C、D、E 五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等 不在同一直线

28、上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE 的顶点 A、B、 C 作 O， 连结 OA 、 OB、 OC、 OD、 OE 则OA=OB=OC ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页OABODC ABCDE 有一个外接圆 O既然正五边形有一个外接O，那么正五边形的五条边也就应是O 的五条等弦根据弦等、弦心距相等，证明参见 p4，可知点 O 到五边的距离等 以该弦心距为半径作圆，可得该圆与各边都相切，所以同样，正n 边形也应有一个内切 O，且两圆同心定理正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角

29、形. 以五边形为例已知： 正五边形 ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR, 为五边形各边的边心距求证：正五边形的半径和边心距把正五边形分成十个全等的直角三角形. 证明：正五边形 ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR, 为五边形各边的边心距,11,22,OPAE OTABPAAE ATABAEABPAAT OPOT（弦等推出弦心距等证明参见p4）)OPAOATPAATOPOTOPAOAT HLOPAOPEOAOTOPOPOPAOPE HLOPAOATOPE在和中（在和中（同理其他直角三角形也全等，每条边和圆心以及对应半径一共组成5 个三角形，每个三角形可以分割成两个直角三角形，所以一共有

30、10个全等的直角三角形。正三角形面积243as， a 表示边长 . 已知，正ABC边长为 a 求证：正三角形面积243as证明：作ADBC于 D，正ABC边长 a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页22222222222()222()4242()ababaabbababababaabbabaabbab2222212234211332224ABCABACBCaaBDBCaADABBDaaSADBCaaa九上 p110 扇形弧长 ：180rnl九上 p111 扇形面积 ：213602rnsrrn180lr21圆拄的侧面

31、积rhs2圆柱展开图是矩形， 长和宽中其中一条是圆柱的高 h，另一条是圆柱底面周长2 r，所以面积为2 rh圆拄的表面积222rrhs九上 p113圆锥的侧面积rlrls2.21圆锥的表面积2rrls幂的运算：八上 p160 a0 时 a0=1，八下 p19 a-p=pa1八上 142am an= am+n； （am）n= am n 0 的 0 次幂没有意义八上 p151 平方差 ：a2-b2=(a+b)(a-b) 八上 p154 完全平方： a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2推广： a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab证明：八上

32、p27 一次函数y=kx+b （k0）八上 p30 k0，y 随 x 的增大而增大k0，y 随 x 的增大而增大, 直线 y=kx 经过（0，0），（ 1，k）, 经过第一、三象限k0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随 x 的增大而减少.k0 方程有两个不等的实根. b2-4ac0 抛物线与x 轴有两个交点b2-4ac0 抛物线与x 轴有没有公共点. 证明：由一 元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式与以下三条即可推出抛物线与x 轴只有一个公共点. 方程有两个相等的实根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11

33、 页方程有两个不等的实根方程有两个不等的实根 . 方程没有实根方程没有实根 . 九下 p3 抛物线的一般式： y=ax2+bx+c。 （a0）九下 p9 抛物线的顶点式：y=a（x-h ）2+k。顶点（ h， k），对称轴为直线habx2九下 p23 最大（小）值为abac442（左同右异）抛物线的两根式： y=a （x-x1）（ x-x2）22212122112212112()()()()()()yaxbxcbca xxaaa xxx xx xa xx xx xx xa x xxx xxa xxxx）常见的勾股数（整数）3， 4，5； 6，8，10；5，12，13; 8，15，17， 9，4

34、0， 41 等。常见的无理数；，23，等等2 1.414 31.732 52.236九下 p79 锐角三角函数030456090sin0 2122231 cos1 2322210 tan0 331 3/ 七上 p46 有效数字： 从左边第一个不是0 的数起， 到最后一个数止。 如 0.03120 有效数字为3、1、2、0 共 4 个有效数字。八下 p130 中位数： 把一列数从大到小（或从小到大） 排列，若有奇数个数， 中间一个为中位数，若有偶数个数，中间两个的平均数为中位数. 八下 p139 （2）方差公式：2222121()()() nsxxxxxxn五个连续整数的方差是2，标准差为2. 证明：设这五个连续的整数n-2,n-1,n,n+1,n+2 平均数为x2112555nnnnnnxn2222222222221221(2)(1)()(1)(2) 51(2)(1)()(1)(2) 5121 0 ( 1)( 2)5110 25snxnxn xnxnxnnnnn nnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页