2022年初中九年级数学几何定理符号语言 .pdf

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1、初中数学“图形与几何”内容九年级上册51、旋转：（1）定义：把一个图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫图形的旋转。（2）性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。52、中心对称 ：（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。（2）性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。53、中心对称图形：（1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对

2、称图形。（2）中心对称图形的举例。54、关于原点对称的点的坐标：点 P(x，y)关于原点的对称点为P (-x，-y)。55、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。56、推论： 平分弦（ 不是直径 ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。注： （1）上述定理中，共有五个条件，即：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧，这五个条件中知其中二个可得另外三个。（2）相关计算： 垂径定理的基本图形中，若半径OC 、弦心距 OE 、弦 CD （或弦的一半） 、弓形高 BE这四个量，知其中二个可求得另外二个。所以在相关题目中，可根据具体情况作出相应的辅助线。具体公式为：

3、BE+OE=OB，OC 2+ CE 2= OC 2。57、弧、弦、圆心角定理 ：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（或所对弦的弦心距相等） 。 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。（定理）几何语言：如图所示，AB 是直径， ABCD 于 E CE=DE，BC=BD，AC=AD （推论）几何语言：如图所示，AB 是直径， CE=DE ABCD，BC=BD，AC=AD （定理）几何语言： 如图所示， 在O 中， AOB=COD AB=CD ，AB=CD AB=CDAOB=COD，AB=CD AB=CDAOB=

4、COD，AB=CD 注：若过点 O 分别作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，则 OE=OF。 即为上述定理中的“所对弦的弦心距相等” 。FEODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页58、圆周角定理 ：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。59、圆周角定理的推论 ：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。60、圆内接四边形的性质 ：圆内接四边形的对角互补。61、不在同一直线上的三个

5、点确定一个圆。62、切线的判定定理 ：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（常用辅助线：连半径，证垂直；作垂直，等半径。）63、切线的性质 ：圆的切线垂直于过切点的半径。 （辅助线：作过切点的半径）64、切线长定理 ：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。附几个特殊图形：OCBA（推论）几何语言： 如图所示， 在O 中， AB 是直径（或弧 AB 是半圆）C90 C90AB 是直径（性质）几何语言： 如图所示，在 O 中，四边形 ABCD 是圆内接四边形A+C180 （或 B+D180 ）LAO（判定定理）几何语言：如图所示，在 O

6、 中，OA 是半径， OAL 于 A 直线 L 是O 的切线（性质定理）几何语言 ：如图所示，在 O 中，直线 L 切O 于点 A OAL （定理）几何语言： 如图所示，在 O 中，PC、PD 切O 于 A、B 两点PA=PB，APO=BPO EODCBAPGFPABCDOE注：如左图，若在图中再添加几条线段，则图形涵盖了垂径定理、 弧弦圆心角的关系、 圆周角定理（推论）、圆内接四边形、切线、切线长定理的基本图形。ODABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页ABCDEOPABCDOE65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种

7、位置关系的数量关系及判断方法：位置关系名称公共点个数数量关系说明点和圆点在圆外无d r d:点到圆心的距离r:圆的半径点在圆上d = r 点在圆内d r d:直 线 到 圆 心的距离r:圆的半径相切只有 1 个d = r 相交2个d r1+r2 d:圆心距r1、r2:圆的半径(r1 r2) 外切只有 1 个d = r1+r2 相交2个r2- r1d r1+r2 内切只有 1 个d = r2- r1 内含0个d r2- r1 66、三角形的外心和内心：（1）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外。（2）三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，到三角形

8、三个顶点的距离相等；（3）三角形的内心是三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。67、正多边形：O 是 RtABC的内切圆， D 、E是切点，则四边形 ODCE 是正方形。SABC 21（AC+BC+AB） OD （此公式对于一般三角形也成立）PB、PA、CD 分别切O 于 B、A、E，则PCD 的周长等于 PB+PA ，即：PCD的周长 2 PB如左图所示：AB 是直径， CA、CD、DB 分别切 O 于 A、E、B，则COD90再连接 OE，则 ACO ECO ，DEO DBOGABCDEFO如左图所示：正多边形的每一个内角，如A（n-2） 180 n ，中心角 COD360 n

9、正 n 边形的半径把正n 边形分成 n 个全等的等腰三角形正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的EODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页68、弧长公式 ：L= n R180 （n：圆心角度数； R：半径）69、扇形面积 ：S扇形=nR 360=LR2（n：圆心角度数； R：半径； L：弧长）70、求阴影部分的面积 ：认真观察图形， 注意图形特征。71、圆锥与扇形的关系：（1）圆锥的母线（ PB）是其侧面展开图扇形的半径；圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。（2）圆锥的母线（ PB） 、

10、圆锥的高（ PO） 、底面圆半径（OB）构成一个直角三角形。72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。73、与半径相等的弦所对的圆心角是60 。九年级下册74、相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 （以相似三角形为例）ABCDEF75、相似比为 1 时，相似的两个图形全等。76、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。应用于三角形中，会出现以下两种情况：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。77、三角形相似的判定方法：（1） 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。几何语言： 如左图

11、所示：ABC DEF A=D，B=E，C=F，DEAB= EFBC=EFACOABP如左图（ 1） ：L3L4L5，AD：AB=AE ：AC； AD：DB=AE ：EC；DB：AD=EC：AE；DB：AB=EC：AC 如左图（ 2） ：L3L4L5，DA：AC=EA：AB； DA：DC=EA：EB；AB：EA=AC：DA；AB：EB=AC：DC （ 1）（2）L1L2L5L4L3L2L1EDCBAEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页DECBA（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3

12、）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。ABCDEF78、相似直角三角形的判定方法：一般三角形相似的判定方法也适用。满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。FEDBCA79、相似多边形（三角形）的相关量的比：相似多边形（三角形）周长的比等于相似比；相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。相似多边形（三角形）面积的比等于相似比的平方。78、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标

13、的比等于k 或k。80、锐角三角函数：（1）定义：如右图，sinA=cosB=ABBC，sinB=cosA= ABAC，tanA=ACBC，tanB= BCAC。（2）特殊角的三角函数值 ：304560几何语言： 如图所示：DE BC ADE ABC 几何语言： 如图所示：（2）DEAB= EFBC=EFACABC DEF （3）DEAB= EFBC，B=E ABC DEF （4） A=D，B=E ABC DEF第（3） （4）还有其它情况，也成立。BAC几何语言： 如图所示：DEAB= EFBC（或DEAB=EFAC）ABC DEF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

14、总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页(正弦)sin 21(余弦)cos 21(正切)tan 1 381、解直角三角形 ：(1)定义 ： 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程。 （元素指三边和两个锐角）(2)求解过程中，用到的关系：三边关系： a2+b2=c2（勾股定理）；两锐角之间的关系：A+B=90 ； 边角之间的关系： sinA=cosB=ABBC， sinB=cosA= ABAC，tanA=ACBC，tanB= BCAC。（3）用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形问题）；根据条件的特点，适当选用

15、锐角三角函数等去解直角三角形；得到数学问题的答案；得到实际问题的答案。82、投影与视图 ：(1) 平行投影、中心投影、正投影: 定义 ：由平行光线形成的投影是平行投影 ；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影是 中心投影 ；投影线垂直于投影面产生的投影是正投影 。当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。(2) 三视图：三视图分别为主视图、左视图、俯视图； （在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。）三种视图的位置如右图 ：画几何体的三视图 时，要注意“ 长对正、

16、高平齐、宽相等 ” （主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等），还要注意看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。根据三视图说出立体图形的名称：要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。常用辅助线：BA1、连接 AB。2223232233主视图左视图俯视图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页11DCBACBA2、过点 A 作 ADBC 于 D。3、延长 AB 到 C，使 BC= 21AB。4、过点 O 作 OE AB 于 E，延长ECBAOHGFABCDE5、延长 CG交 AF 于点 H。ABCDE6、分别延长 BA、CD 交于 E。EABCD7、过点 D 作 DEAC，交 BC 的延ABCDE8、 过点 D 作 DEBC， 交 AC 于 E。21121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页