2022年考研数学三必背知识点概率论与数理统计 .pdf

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1、名师精编优秀资料概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBABAAB结合律CBACBACBA)()(ABCBCACAB)()(分配律ACABCBA)()()(CABABCA德摩根律BABABAAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式)(1)(APAP加法公式)()()()(ABPBPAPBAP条件概率公式)()()(APABPABP乘法公式)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP全概率公式niiiABPAPBP1)()()(贝叶斯公式（逆概率公式）1)()()()()(iijjjjABPAPABPAPBAP伯努力概

2、型公式nkppCkPknkknn, 1 ,0,)1()(两件事件相互独立相应公式)()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；1)()(ABPABP；1)()(ABPABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页名师精编优秀资料二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(bFbXP)()()(aFbFbXaP2、 离散型随机变量分布名称分布律0 1 分布), 1(pB1 ,0,)1()(1kppkXPkk二项分布),(pnBnkppCkXPknkkn, 1 ,0,)1()(泊松分布)(P, 2, 1

3、 ,0,!)(kkekXPk几何分布)(pG, 2, 1 ,0,)1()(1kppkXPk超几何分布),(nMNH),min(, 1,)(MnllkCCCkXPnNknMNkM3.连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(baU其他, 0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF, 1,0)(指数分布)(E其他,00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx正态分布),(2Nxexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(标准正态分布)1 ,0(Nxexx2221)(xttexFd21)(222)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

4、 - - - - - -第 2 页，共 6 页名师精编优秀资料三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布jjijjiiipyYxXPxXPp),()(iiijjijjpyYxXPyYPp),()(2、离散型二维随机变量条件分布2, 1,)(),()(iPpyYPyYxXPyYxXPpjijjjijiji2, 1,)(),()(jPpxXPyYxXPxXyYPpiijijiijij3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvduvufyxF),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xXdvduvufxF),()(密度函数：dvvxfxfX),(

5、)(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(5、二维随机变量的条件分布yxfyxfxyfXXY,)(),()(xyfyxfyxfYYX,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：1)(kkkpxXE连续型随机变量：dxxxfXE)()(2、数学期望的性质(1)为常数C,)(CCE)()(XEXEE)()(XCECXE(2)()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()()()()(1111nnnnXECXECXCXCE(3)若 XY 相互独立则：)()()(YEXEXYE(4)()()(222YEXEXYE3、方差：)()()(22XEXEXD4、方差的

6、性质(1)0)(CD0)(XDD)()(2XDabaXD2)()(CXEXD(2),(2)()()(YXCovYDXDYXD若 XY 相互独立则：)()()(YDXDYXD5、协方差：)()(),(),(YEXEYXEYXCov若 XY 相互独立则：0),(YXCov精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页名师精编优秀资料6、相关系数：)()(),(),(YDXDYXCovYXXY若 XY 相互独立则：0XY即 XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1)(),(XDXXCov),(),(XYC o vYXC o v(2)

7、,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXa b C o vdbYcaXCov8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布), 1(pBp)1 (pp二行分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P几何分布)( pGp121pp超几何分布),(nMNHNMn1)1 (NmNNMNMn均匀分布),(baU2ba12)(2ab正态分布),(2N2指数分布)(E121五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2XDXE对于任意0有2)()(XDXEXP或2)(1)(XDXEXP2、大数定律：若nXX1相互独立且n时，niiDniiXEnXn

8、11)(11(1)若nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Mi2则：niiPniinXEnXn11)(),(11(2)若nXX1相互独立同分布，且iiXE)(则当 n时：PniiXn113、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，当n充分大时有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师精编优秀资料) 1 ,0(1NnnXYnkkn(2)拉普拉斯定理：随机变量),()2, 1(pnBnn则对任意x 有：xtnxxdtexpnpnpP)(21)1(lim22(3)近似计算：)

9、()()()(11nnannbnnbnnXnnaPbXaPnkknkk六、数理统计1、总体和样本总体 X 的分布函数)(xF样本),(21nXXX的联合分布为)(),(121knknxFxxxF2、统计量(1)样本平均值：niiXnX11(2)样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11(3)样本标准差：niiXXnS12)(11(4)样本k阶原点距：2, 1,11kXnAnikik(5)样本k阶中心距：nikikkkXXnMB13 ,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21nXXX的观察值),(21nxxx，将nxxx21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2(

10、)1(nxxx，记取值为)(ix的样本分量为)(iX，则称)()2()1(nXXX为样本),(21nXXX的次序统计量。),min(21)1(nXXXX为最小次序统计量；),max(21)(nnXXXX为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量nXXX21,相互独立，且都服从标准正态分布) 1 , 0(N，则随机变量222212nXXX所服从的分布称为自由度为n 的2分布，记为)(22n性质：nnDnnE2)(,)(22设)(),(22nYmX且相互独立，则)(2nmYX(2)t分布：设随机变量)(),1 ,0(2nYNX，且 X 与 Y 独立，则随机变量：nYXT所服从的分布

11、称为自由度的 n 的 t 分布，记为)(ntT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师精编优秀资料性质：)2( ,2)(,0)(nnnntDntE222)(21)1 , 0()(limxneNnt(3) F 分布：设随机变量)(),(2212nVnU，且 U 与 V 独立，则随机变量2121),(nVnUnnF所服从的分布称为自由度),(21nn的F分布，记为),(21nnFF性质：设),(nmFX，则),(1mnFX七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用),(21nXXX估计总体参数， 称),(21nXXX为的估计

12、量， 相应的),(21nXXX为总体的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：（总体矩 =样本矩）离散型样本均值：niiXnXEX11)(连续型样本均值：dxxxfXEX),()(离散型参数：niiXnXE1221)(3、点估计中的最大似然估计最 大 似 然 估 计 法 ：nXXX,21取 自 X 的 样 本 ， 设)()(),(PXXPxfXi或则 可 得 到 概 率 密 度 ： )()(),( ),(),(1121121niiniinnniinPxXPxXXXXPxfxxxf或基本步骤：似然函数： )( ),()(11niiniiPxfL或取对数：niiXfL1),(lnln解方程：0ln, 0ln1kLL最后得：),(,),(212111nkknxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页