2022年考研数学一历年真题 .pdf

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1、20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷九、 (本题满分6 分) 设12,s 为线性方程组AXO的一个基础解系, 1112221223121,sstttttt , 其中21,tt为实常数 ,试问21,tt满足什么条件时12,s 也为AXO的一个基础解系? 十、 (本题满分8 分) 已知三阶矩阵A和三维向量x,使得2,AAxxx线性无关 ,且满足3232AAAxxx. (1)记2( ,),PAAxxx求B使1APBP. (2)计算行列式AE. 十一、 (本题满分7 分) 设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布 ,每位乘客在中途下车的概率为(01),pp且中途下车与否相互独

2、立.Y为中途下车的人数 ,求: (1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页(2)二维随机变量(, )X Y的概率分布 . 十二、 (本题满分7 分) 设2(,)XN抽取简单随机样本122,(2),nXXXn样本均值niiXnX2121,niiniXXXY12)2(,求( ).E Y20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷九、 (本题满分6 分) 已知四阶方阵1234(,)A , 1234, 均为四维列向量,其中234,线性无关,1232.若1234 ,

3、求线性方程组xA的通解 . 十、 (本题满分8 分) 设,AB为同阶方阵 ,(1)若,AB相似 ,证明,AB的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,AB为实对称矩阵时,证明 (1)的逆命题成立. 十一、 (本题满分7 分) 设维随机变量X的概率密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页( )f x1cos0220 xxx其它对X独立地重复观察4 次,用Y表示观察值大于3的次数 ,求2Y 的数学期望 . 十二、 (本题满分7 分) 设总体X的概率分布为X0 1 2 3 P2)

4、1 (2221其中(102)是未知参数 ,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3. 求的矩估计和最大似然估计值20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷七 、(本题满分12 分) 设函数()yy x在),(内具有二阶导数,且)(,0yxxy是()yy x的反函数 . (1)试将()xx y所满足的微分方程0)(sin(322dydxxydyxd变换为()yy x满足的微分方程. (2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页八 、(本

5、题满分12 分) 设函数( )f x连续且恒大于零, )(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF,ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(, 其中),()(2222tzyxzyxt,.),()(222tyxyxtD(1)讨论( )Ft在区间),0(内的单调性 . (2)证明当0t时,).(2)(tGtF九 、(本题满分10 分) 设矩阵322232223A,010101001P,1*BPA P ,求2BE的特征值与特征向量,其中*A 为A的伴随矩阵 ,E为 3 阶单位矩阵 . 十 、(本题满分8 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax, :2

6、l032acybx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页:3l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba十一、(本题满分10 分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3 件合格品和3 件次品 ,乙箱中仅装有3 件合格品 . 从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、(本题满分8 分) 设总体X的概率密度为( )f x2()2e0 x0 xx其中0是未知参数 . 从总体X中抽取简单随机样本nXXX,21

7、,记),min(?21nXXX(1)求总体X的分布函数( )Fx. (2)求统计量?的分布函数)(?xF. (3)如果用?作为的估计量 ,讨论它是否具有无偏性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(19)(本题满分12 分) 设( , )zz x y是由2226102180 xxyyyzz确定的函数 ,求( , )zz x y的极值点和极值. (20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa

8、xxnnxnxnax试问a取何值时 ,该方程组有非零解,并求出其通解 . (21)(本题满分 9 分) 设矩阵12314315aA的特征方程有一个二重根,求a的值 ,并讨论A是否可相似对角化. (22)(本题满分 9 分) 设,AB为随机事件 ,且111( ),(|),(|)432P AP B AP A B,令;,0, 1不发生发生AAX.,0, 1不发生发生BBY精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页求:(1)二维随机变量(, )X Y的概率分布 . (2)X和Y的相关系数.XY(23)(本题满分 9 分) 设总体X

9、的分布函数为, 1, 1,0,11),(xxxxF其中未知参数nXXX, 121为来自总体X的简单随机样本, 求:(1)的矩估计量 . (2)的最大似然估计量. (20)(本题满分 9 分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2. (1)求a的值；(2)求正交变换xyQ,把),(321xxxf化成标准形 . (3)求方程),(321xxxf=0 的解 . (21)(本题满分 9 分) 已知 3 阶矩阵A的第一行是cbacba,),(不全为零 ,矩阵12324636kB(k为常数 ),且ABO,求线性方程组0 xA的通解 . 精选学习资料

10、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页(22)(本题满分 9 分) 设二维随机变量(,)X Y的概率密度为(,)fxy1001,02xyx其它求:(1)(, )X Y的边缘概率密度)(),(yfxfYX. (2)YXZ2的概率密度).(zfZ(23)(本题满分 9 分) 设)2(,21nXXXn为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X 为样本均值 ,记., 2, 1,niXXYii求:(1)iY的方差niDYi,2, 1,. (2)1Y与nY的协方差1Cov(,).nY Y20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(20

11、)(本题满分9 分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx有 3 个线性无关的解, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页(1)证明方程组系数矩阵A的秩2r A. (2)求,a b的值及方程组的通解. (21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2, 1,0, 1,1TT是线性方程组0 xA的两个解 . (1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵A,使得TQ AQA. (22)(本题满分 9 分) 随机变量

12、x的概率密度为21, 1021,02,40,令其它xxfxxyxFxy为二维随机变量(, )X Y的分布函数 . (1)求Y的概率密度Yfy. (2)1,42F. (23)(本题满分 9 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页设总体X的概率密度为(,0)F X100112xx其它,其中是未知参数(01),12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,.,nxxx中小于 1 的个数 ,求的最大似然估计.20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(21)(本题满分11 分) 设线性方程组1

13、231232123020,40 xxxxxaxxxax与方程12321,xxxa有公共解 ,求a的值及所有公共解. (22)(本题满分11 分) 设 3 阶实对称矩阵A的特征向量值12311,2,2.(1, 1,1)T是A的属于特征值1的一个特征向量,记534,BAAE其中E为 3 阶单位矩阵 . (1)验证1是矩阵B的特征向量 ,并求B的全部特征值与特征向量. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页(2)求矩阵B. (23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2,01,01( , )0,x

14、yxyfx y其他(1)求2 .P XY(2)求ZXY的概率密度 . (24)(本题满分 11 分) 设总体X的概率密度为1,021( ;),12(1)0,xf xx其他12,nXXX是来自总体x的简单随机样本, X 是样本均值(1)求参数的矩估计量?. (2)判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(20)(本题满分11 分) TTA ,T为的转置 ,T为的转置 .证明 : (1)()2r A. (2)若,线性相关 ,

15、则()2r A. (21)(本题满分 11 分) 设矩阵2221212n naaaaaA,现矩阵A满足方程A XB,其中1,TnxxX,1,0,0B, (1)求证1nnaA. (2)a为何值 ,方程组有唯一解,求1x. (3)a为何值 ,方程组有无穷多解,求通解 . (22)(本题满分 11 分) 设随机变量X与Y相互独立 ,X的概率分布为11,0,13P Xii,Y的概率密度为1010Yyfy其它,记ZXY, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页(1)求102PZX. (2)求Z的概率密度 . (23)( 本题满

16、分 11 分) 设12,nXXX是总体为2( ,)N的简单随机样本. 记11niiXXn,2211()1niiSXXn,221TXSn(1)证明T是2的无偏估计量 . (2)当0,1时 ,求D T. 20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(20)(本题满分11 分) 设111111042A,1112(1)求满足21A的2.231A 的所有向量2,3. (2)对(1)中的任意向量2,3证明123, 无关 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页(21)(本题满分 11 分) 设二次型2221231231

17、323,122fxxxaxaxaxx xx x. (1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为2212yy,求a的值 . (22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球 ,2 个黑色球与3 个白球 ,现有回放地从袋中取两次,每次取一球 ,以, ,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1)求10p XZ. (2)求二维随机变量,XY概率分布 . (23)(本题满分 11 分) 设总体X的概率密度为2,0()0,xxexf x其他,其中参数(0)未知 ,1X,2X, nX是来自总体X的简单随机样本. (1)求参数的矩估计量 . (2)求参数的最大似

18、然估计量.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(15)(本题满分10 分) 求微分方程322 exyyyx的通解 . (16)(本题满分10 分) 求函数221( )()extf xxtdt的单调区间与极值. (17)(本题满分10 分) (1)比较10ln ln(1)nttdt与10ln(1,2,)ntt dt n的大小 ,说明理由 . (2)记10lnln(1)(1,2,),nnuttdt n求极限lim.nxu(18)(本题满分10 分) 求幂级数121(

19、1)21nnnxn的收敛域及和函数. (19)(本题满分10 分) 设P为椭球面222:1S xyzyz上的动点 ,若S在点P的切平面与xoy面垂直 ,求P点的轨迹,C并计算曲面积分22(3)2,44xyzIdSyzyz其中是椭球面S位于曲线C上方的部分 . (20)(本题满分 11 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页设11010,1 ,111aAb已知线性方程组Axb存在两个不同的解. (1)求, . a(2)求方程组Axb的通解 . (21)(本题满分 11 分) 设二次型123(,)TfxxxAxx在

20、正交变换xyQ下的标准形为2212,yy且 Q 的第三列为22(,0,).22T(1)求.A(2)证明AE为正定矩阵 ,其中E为 3 阶单位矩阵 . (22)(本题满分 11 分) 设二维随机变量()XY的概率密度为2222( ,)e,xxyyf x yAxy求常数及A条件概率密度|(|).Y Xfy x(23)(本题满分 11 分) 设总体X的概率分布为X1 2 3 P122其中(0,1)未知 ,以iN来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(1,2,3),i试求常数123,a aa使31iiiTaN为的无偏估计量,并求T的方差 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页